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証明:
一次写像・線形写像の行列表示・行列表現
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(p.28);志賀『線形代数30講』17講(p.109);
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(p.89);
藤原『線形代数』4.3(p.102);神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。;
酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.23);]
(舞台設定)
K:体 (例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 n次元。
{ v1, v2, …, vn }:Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合
W :K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 m次元。
{ w1, w2, …, wm }:Wの基底をなす、Wに属すベクトルの集合
(定理の確認)
一次写像f:V→Wにたいして、
f (v1)=a11w1+a21w2+…+am1wm
f (v2)=a12w1+a22w2+…+am2wm
: :
f (vn)=a1nw1+a2nw2+…+amnwm
を満たす「体K上の(m,n)型行列」
が一意的に存在する。
※ f (v1), f (v2), …, f (vn) を縦に並べた(n,1)型行列、
Wの基底をなすベクトルw1, w2, …, wm を横に並べた(1,m)型行列を用いると、
上記は、行列の乗法を使って、次のように、簡潔に表せる。
を満たす「体K上の(m,n)型行列」Aが一意的に存在する
(証明)
v1, v2, …, vn ∈Vであるとされていた。
fは、VからWへの一次写像とされていた。
したがって、fによるv1, v2, …, vnの像は、Wに属す。
つまり、 f (v1), f (v2), …, f (vn)∈W。 …(1)
{ w1, w2, …, wm }はWの基底であるとされた。
よって、
Wに属す任意のベクトルを、{ w1, w2, …, wm }の一次結合として一意的に表せる。(∵)
だから、(1)により、
f (v1), f (v2), …, f (vn)も、それぞれ、{ w1, w2, …, wm }の一次結合として一意的に表せることになる。
これは、すなわち、
f (v1)=a11w1+a21w2+…+am1wm
f (v2)=a12w1+a22w2+…+am2wm
: :
f (vn)=a1nw1+a2nw2+…+amnwm
を満たす「体K上の(m,n)型行列」
が一意的に存在するということにほかならない。