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証明：一次写像・線形写像の行列表示･行列表現　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(p.28);志賀『線形代数30講』17講(p.109);　
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(p.89);
　　藤原『線形代数』4.3(p.102);神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。;
　　酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.23);]
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
V ：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 n次元。　
{ v₁, v₂, …, v_n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　
W ：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 m次元。　
{ w₁, w₂, …, w_m }：Wの基底をなす、Wに属すベクトルの集合　　
(定理の確認)
一次写像f:V→Wにたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m 　　
　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
を満たす「体K上の(m,n)型行列」
　　　　　　　　　
が一意的に存在する。　
　※ f (v₁), f (v₂), …, f (v_n) を縦に並べた(n,1)型行列、
　　Wの基底をなすベクトルw₁, w₂, …, w_m を横に並べた(1,m)型行列を用いると、
　　上記は、行列の乗法を使って、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　を満たす「体K上の(m,n)型行列」Aが一意的に存在する

（証明）　　
v₁, v₂, …, v_n ∈Vであるとされていた。
fは、VからWへの一次写像とされていた。
したがって、fによるv₁, v₂, …, v_nの像は、Wに属す。
　　　つまり、　 f (v₁), f (v₂), …, f (v_n)∈W。　…(1)　
{ w₁, w₂, …, w_m }はWの基底であるとされた。　　
よって、
Wに属す任意のベクトルを、{ w₁, w₂, …, w_m }の一次結合として一意的に表せる。（∵）　　
だから、(1)により、
　 f (v₁), f (v₂), …, f (v_n)も、それぞれ、{ w₁, w₂, …, w_m }の一次結合として一意的に表せることになる。
これは、すなわち、
　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m 　　
　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
を満たす「体K上の(m,n)型行列」
　　　　　　　　　
が一意的に存在するということにほかならない。