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証明：行列と、数ベクトル空間から数ベクトル空間への一次写像。　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』(p.26-7);斎藤『線形代数入門』2章§3(pp.44-5);
　　佐武『線形代数学』�T§4(pp.17-19);志賀『線形代数30講』7講(pp.42-5)10講(p.63);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4例13(p.91);;]
(舞台設定)
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
Kⁿ：体K上のn次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Kⁿ=K×K×…×K＝{ ( v₁, v₂, …, v_n )｜v₁∈Kかつv₂∈Kかつ…かつv_n∈K }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Kⁿに属すすべての n次元数ベクトルは、 n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
v：体Kからつくった n次元縦ベクトル。
K^m：体K上のm次元数ベクトル空間。　
　　　すなわち、K^m=K×K×…×K＝{ ( v₁, v₂, …, v_m )｜v₁∈Kかつv₂∈Kかつ…かつv_m∈K }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　　　　　
　　ただし、K^mに属すすべての m次元数ベクトルは、 m次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
(定理の確認)
「体K上の(m,n)型行列」Aを用いて、
「体K上のn次元数ベクトル空間」Kⁿから、「体K上のm次元数ベクトル空間」K^mへの写像f:Kⁿ→K^mを、
次式で定義する。　　　
　　任意の n次元縦ベクトルv∈Kⁿにたいして、f (v)=(Av)　
つまり、
Kⁿの元である n次元数ベクトルvを、K^mの元である m次元数ベクトル(Av)にうつす写像を、　　
写像f:Kⁿ→K^m　として定義する　　
　　　　　*Aは「体K上の(m,n)型行列」、vは n次元縦ベクトル(つまり、(n,1)型行列)だから、
　　　　　　行列積の定義により、(Av)は、 m次元縦ベクトル(つまり、(m,1)型行列)となる。
すると、
任意の「体K上の(m,n)型行列」Aに対して、
　　(∀v∈Kⁿ) ( f (v)=(Av) )で定義した写像f:Kⁿ→K^m　は、一次写像となる。　

(証明)　　
・体K上のn次元数ベクトル空間Kⁿも、体K上のm次元数ベクトル空間K^mも、
　体K上のベクトル空間の一例。（∵）　　　　…(1)　　
・行列積の定義より、
　「体K上の(m,n)型行列A」と「体Kからつくった n次元縦ベクトル[つまり(n,1)型行列]」との積は、
　　　「体Kからつくった m次元縦ベクトル」になる。　　　　…(2)　
・任意の n次元縦ベクトル∈Kⁿ　と、
　　任意の n次元縦ベクトル ∈Kⁿに対して、
　体K上の(m,n)型行列Aと「u＋v」の積は、
　「(m,n)型行列Aとuの積」と「(m,n)型行列Aとvの積」との、ベクトル和に等しい。　
　　つまり、　　A(u＋v)=Au＋Av　（∵行列積の分配則）　　　　　…(3)　
・任意のスカラーα∈K　と、
　　任意の n次元縦ベクトル ∈Kⁿに対して、
　　体K上の(m,n)型行列Aと「vのスカラーα倍」の積は、　
　　「体K上の(m,n)型行列Aとvの積」のスカラーα倍に等しい。　　　
　　　　　　　　A(αv)＝α(Av)　　　（∵）　　　　　　…(4)　
・(1)(2)より、
　「体K上の(m,n)型行列A」と「体Kからつくった n次元縦ベクトル」との乗法は、
　　K上のベクトル空間KⁿからK上のベクトル空間K^mへの写像A:Kⁿ→K^m である。　…(5)　
・(3)より、写像A:Kⁿ→K^m は、一次写像であるための第１要件「ベクトル和の保存」を満たす。　…(6)　
・(4)より、写像A:Kⁿ→K^m は、一次写像であるための第2要件「スカラー倍の保存」を満たす。　…(7)　
・(5) (6) (7)より、「体K上の(m,n)型行列A」と「体Kからつくった n次元縦ベクトル」との乗法は、
　　K上のベクトル空間KⁿからK上のベクトル空間K^mへの一次写像A:Kⁿ→K^m である。