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定理：一次写像の階数と、一次写像の行列表示の標準形
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37);斎藤正彦『線形代数入門』４章§5[5.1](p.116);
　　砂田『行列と行列式』§5.5-d(p.194).]　
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上の有限次元ベクトル空間。　
W ：K上の有限次元ベクトル空間。　
(本題)
一次写像f ：V→W　には、
　　f (v1)=w1, f (v2)=w2,…, f (vrankf )=wrankf , f (vrankf+1)=０ , f (vrankf+2)=０ ,…, f (vdimV)=０ 　
を満たす
Vの基底{v1,v2,…,vdimV }、Wの基底{w1,w2,…,wdimV' }(これはImagefの基底を拡大して得たWの基底)が存在する。

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(証明)
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37);砂田『行列と行列式』§5.5-d(p.194).]
・Image fの基底の定義を満たす、rank f個の「Image fに属すベクトル」を　　　
　　　　{w1 , w2 , …, wrankf }とおく。…(1)　　
　なお、この設定下では、Image fには、rank f個の基底が必ず存在する。
　なぜなら、
　　W はK上の有限次元ベクトル空間で、Image fはW の部分ベクトル空間である（∵）から、
　　rank f（=dimImage f）≦dimW　
　　したがって、Image fはK上の有限次元ベクトル空間。
　　K上の有限次元ベクトル空間とは、有限個の基底が存在するベクトル空間のことであるから、
　　Image fには、有限rank f個の基底が存在することになる。　
・f−1 (w1 ), f−1 (w2 ),…, f−1 (wrankf )をv1, v2,…,vrankf　とおく。　　
　　f (v1)=w1　を満たすv1∈V　
　　f (v2)=w2　を満たすv2∈V　
　　　：　　　　　　　　　：　　　
　　f (vrankf )=wrankf 　を満たすvrankf ∈V　
　となる。…(2)　　　
・Ker fの基底の定義を満たす、dim(Ker f)個の「Ker fに属すベクトル」を　　　
　　　　{vrankf+1,vrankf+2,…,vrankf+dim(Kerf)}とおく。　
　定理より、dimV＝rank f ＋dim(Ker f)　だから、
　Ker fの基底{vrankf+1,vrankf+2,…,vrankf+dim(Kerf)}は、
　{vrankf+1, vrankf+2,…, vdivV}と書いてよい。…(3)　　
・Ker fの定義より、vrankf+1 , vrankf+2 ,…, vdivV [→(3)]について、次が成り立つ。　
　　f (vrankf+1)=〇 , f (vrankf+2)=〇 ,…, f (vdivV )=〇　…(4)　
　　　　　（右辺の〇は、V'に属す零ベクトル）　
・定理より、
　「Ker fの基底」{vrankf+1, vrankf+2,…, vdivV} [→(3)]に
　「Image fの基底のfによる逆像」{v1 , v2 , …, vrankf } [→(2)]を付け加えたもの
　　　{v1 , v2 , …, vrankf , vrankf+1, vrankf+2,…, vdivV }　　
　は、Vの基底となる。…(5)
・Image fの基底{w1 , w2 , …, wrankf }[→(1)]は、
　Wに属す線形独立なベクトルである。（∵Image fの定義、基底の定義）
　よって、
　定理により、{w1 , w2 , …, wrankf }を拡大して、
　　Wの基底{w1,w2,…, wrankf , wrankf+1 , wrankf+2,…, wdimW }を得ることができる。…(6)
・以上で、
　一次写像f：V→W　には、
　　　Vの基底{v1 , v2 , …, vrankf , vrankf+1, vrankf+2,…, vdivV }　[→(5)]　
　　　Wの基底{w1,w2,…, wrankf , wrankf+1 , wrankf+2,…, wdimW }　[→(6)]　
　が存在し、
　　f (v1)=w1, f (v2)=w2, …, f (vrankf )=wrankf 　を満たし、[→(2)]　　　
　　 f (vrankf+1)=０ , f (vrankf+2)=０ ,…, f (vdimV)=０ 　を満たす[→(4)]　
　ことを示せたことになる。　　

　

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