リーマン・スチルチェス積分 Riemann-Stieltjes integral

 前:有界変動スチルチェス積分の定義性質(1)可積分条件 
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V. リーマン・スチルチェス積分の性質(その2)

 

定理:スチルチェス積分のリーマン積分への帰着

 [杉浦『解析入門I』357.; ルディン『現代解析学』6-1;高橋『経済学とファイナンスのための数学』95.]
 f(x)閉区間[a,b]有界リーマン積分可能t(x)[a,b]C1ならば
 f(x)t(x)に関し、リーマン・スチルチェス積分可能となって、
  

なぜこうなるの?直感的なだいたいの説明:  [高橋『経済学とファイナンスのための数学』95.]

分割の分点を、a=x0<x1<x2<<xn=b、で表すとする。
 (つまり、分割は、閉区間[a,b]I1=[a, x1], I2=[x1, x2],,In=[xn1, b]に分けるものとする)
分割をIkの代表点をζkとした際の、関数fの関数tに関するスチルチェス和は、
  
     
     
ここで、|處→0とすると、xk xk10で、ζk[xk1 , xk]も考慮にいれると、
   
(tは微分可能, t'も連続なので) 。
すると、|處→0で、関数fの関数tに関するスチルチェス和
  
となって、関数f t'リーマン和に近づく。
この仮定下では、関数f t'もリーマン可積となるから、よって
  

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厳密な証明:  [杉浦『解析入門I』357.] 

仮定f(x)閉区間[a,b]有界
    すなわち、
任意x[a,b]に対して、f(x)MとなるMが存在する…*0
   f(x)閉区間[a,b]リーマン可積分…*1
   t(x)閉区間[a,b]C1
     すなわち、
t(x)閉区間[a,b]で微分可能で、
         その
導関数t'(x)閉区間[a,b]で連続  …*2 
   
分割の分点を、a=x0<x1<x2<<xn=b、で表すとする。
       つまり、
分割は、閉区間[a,b]I1=[a, x1], I2=[x1, x2],,In=[xn1, b]に分けるものとする。 
準備0:*2より、t'(x)閉区間[a,b]一様連続) …*3
    *2より、t'(x)閉区間[a,b]リーマン積分可能)…*4
    *1 4より、f(x) t'(x)リーマン積分可能)…*5 
準備1: *5は、
    
分割の分点x1<x2<<xn1の取り方、
    それによってできた小区間
Ik (k=1,2,,n)の代表点ζkの取り方によらず、
    
||さえ小さくしてゆけば、 
    
凵A{ζk }に関するf(x) t'(x)リーマン和 R[ ft' ;;{ζk } ]収束することを意味する。 
    すなわち、  
      …*
6 
     ※正確を期して書けば、
     
任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
     「 
0||<δ ならば 
        
任意の(分点の取りかたで作れる)分割任意の代表点の取り方{ζk }に対して、
        
| R [ f t' ;;{ζk}]J|<ε 
       を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
  
準備2: *2より、t(x)閉区間[a,b]で微分可能定理から[a,b]連続にもなる)だから、
   
[a,b]内部の任意の区間について、t(x)に対して平均値定理を適用可能。
   ゆえに、
[a,b]分割によって生じた小区間I1=[a, x1], I2=[x1, x2],,In=[xn1, b]でも、
   
t(x)に対して平均値定理を適用可能。
   よって、
k = 1,2,,nについて、
     
t ( xk )t ( xk1 )=t ' (ζ'k ) ( xkxk1 )     
   を満たすζ
'kIk =[ xk1, xk ]内に存在する   …*7 
準備3: *3は、
   任意の正数εに対して、
      
| xy| δ x,y[a,b] ならば| t' (x)t' (y) |<ε
   を成り立たせるある正数δが存在    …*
8 
  することを意味する。 
本題1: 関数fの関数tに関する(分割をIkの代表点をζkとした際の)スチルチェス和は、 
 
     
(ζ'kは*7で存在が保証されたζ'k Ik=[ xk1, xk ] ) …*9
本題2: 分割をIkの代表点をζkとした際の、
    
f(x)t(x)に関するスチルチェス和と、f(x) t'(x)リーマン和の差の絶対値をとると、
 
| S[ f ;t ;;{ζk } ]R[ f t' ;;{ζk } ]|  
    
(9より)
 =| {f (ζ1 ) t' (ζ'1 )( x1a )+ f (ζ2 ) t' (ζ'2 )( x2 x1 ) ++ f (ζn ) t' (ζ'n )( b xn-1 ) }
   −{ f (ζ1 ) t' (ζ1 )( x1a )+ f (ζ2 ) t' (ζ2 )( x2 x1 ) ++ f (ζn ) t' (ζn )( b xn-1 ) } | 
 
=| {f (ζ1 ) t' (ζ'1 )( x1a )f (ζ1 ) t' (ζ1 )( x1a ) }
   + { f (ζ2 ) t' (ζ'2 )( x2 x1 ) f (ζ2 ) t' (ζ2 )( x2 x1 ) }
  …+ { f (ζn ) t' (ζ'n )( b xn-1 )f (ζn ) t' (ζn )( b xn-1 ) } |
 
=| f (ζ1 ) ( x1a ) { t' (ζ'1 )t' (ζ1 ) }+ f (ζ2 ) ( x2 x1 ) { t' (ζ'2 )t' (ζ2 ) }+
                    …+ f (ζn ) ( b xn-1 ) { t' (ζ'n ) t' (ζn )} | 
  …*
10
本題3: 任意の正数εにたいして、*8よりある正数δが存在し、
   このδよりも小区間
Ik =[ xk1, xk ]の幅(xkxk1)を小さくするような(つまり0||<δとなる)
   任意の分割にたいして、
 | S[ f ;t ;;{ζk } ]R[ f t' ;;{ζk } ]| 
  (*10より)   
  
         (ζ'k ,ζk Ik=[ xk1, xk ]かつxkxk1<δだから、
                   
|ζ'k−ζk | δとなって、
              *
8より、  | t' (ζ'k)t' (ζk) |<ε )
   
    (*0より、) 
   
 =ε|M(b−a) | =ε(b−a)|M | 
以上をまとめると、
   任意の正数εにたいして、*8よりある正数δが存在し、
     0<|處<δとなる限りで任意の分割にたいして、
   
| S[ f ;t ;;{ζk } ]R[ f t' ;;{ζk } ]| <ε(ba)|M|…*11
正数εが任意なら、ε(ba)|M|も任意だから、
*11は、  
     任意の(どんな)正の実数ε(ba)|M|に対して(でも)、
    「 
0||<δ ならば
      
分割の取り方、それによってできた小区間Ik (k=1,2,,n)の代表点ζkの取り方によらず、
      
|S [ f ; t ;;{ζk}]R[ f t' ;;{ζk } ]|<ε(ba)|M| 」
     を成り立たせる、ある正の実数δが存在する、  
ことを意味している。
これは、f(x)t(x)に関しリーマン・スチルチェス積分可能であることの定義にほかならない。
また、|處→0で、S [ f ; t ;;{ζk}]  が*6に収束することを意味する。
         (←この最後のところ、緩いのでは?)


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定理:スチルチェス積分の第2平均値定理I

   [杉浦『解析入門I』358:証明付;]
関数f(x)閉区間[a,b]で連続、関数t(x)閉区間[a,b]単調増加ならば
 
を成立させる、あるc[a,b]が存在する。

定理:スチルチェス積分の第2平均値定理II

  [杉浦『解析入門I』358.証明付;]

 関数f(x)閉区間[a,b]で連続、関数t(x)閉区間[a,b]単調増加ならば
  
 を成立させる、あるc[a,b]が存在する。

定理:スチルチェス積分の第2平均値定理III

[杉浦『解析入門I』359証明付; Lang, Real and Functional Analysis 286;]

 関数f(x)閉区間[a,b]で連続、関数t(x)閉区間[a,b]単調増加かつt(x)≧0ならば
  
 を成立させる、あるc[a,b]が存在する。
 関数f(x)閉区間[a,b]で連続、関数t(x)閉区間[a,b]単調減少かつt(x)≧0ならば
  
 を成立させる、あるc[a,b]が存在する。



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(reference)

高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.93-99;104-106.
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、pp. 129-132;443-445.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、p.345;pp.349-361.
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第6章。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,pp.224-5:Exercisesとして。
Lang,Serge.Real and Functional Analysis(Graduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1993,pp.278-287.
Ross,Kenneth A.Elementary Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1980,pp.203-221.