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定義：実2次元数ベクトルから生成された部分ベクトル空間、～の線形包linear hull |
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設定 |
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
R2：実2次元数ベクトル空間
+：実2次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてスカラーを並べて書いたもの：実数体Rにおいて定義されている乗法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：
実2次元数ベクトル空間R2に定められているスカラー乗法
v1,v2,…,vl：l個の実2次元数ベクトル。
具体的に書くと、
v1= ( x1, y1 ) ただし、x1, y1 ∈R
v2= ( x2, y2 ) ただし、x2, y2 ∈R
： ：
vl= ( xl, yl ) ただし、xl, yl ∈R
したがって、v1 , v2 , …, vl ∈R2 。
なお、個数lが有限個であることに注意。
a1,a2,…,al ：スカラー。c,a1,a2,…,al∈R
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[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅲ§2(p.94;95-6);
・グリーン『計量経済分析I』定義2.7(p.26);
・佐和『回帰分析』2.1.1(p.16);
※実n次元数ベクトル空間への一般化
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定義 |
l個の実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlを選び、固定する。
この、固定した実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlにたいして、
その一次結合a1v1+a2v2+…+alvl(a1,a2,…,al ∈R)は、a1,a2,…,alの選び方に応じて、多様である。
実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一次結合をすべてあつめた集合
{ a1v1+a2v2+…+alvl | a1,a2,…,al ∈R }
を、v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間、v1,v2,…,vlの線形包とよび、
記号〈 v1,v2,…,vl 〉等で表す。
※〈 v1,v2,…,vl 〉の定義では、v1,v2,…,vlが一次独立であることは要求されていない。
{ v1,v2,…,vl }が一次独立ならば、v1,v2,…,vlは〈 v1,v2,…,vl 〉の基底の定義を満たす。
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性質1 |
v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間〈 v1,v2,…,vl 〉は、
R2の部分ベクトル空間の定義を満たす。
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なぜ？ |
v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間〈 v1,v2,…,vl 〉は、
R2の部分ベクトル空間となるための必要十分条件Q1-Q2-Q3を満たす。
Q1：〈 v1,v2,…,vl 〉は、「R2の部分集合」であって、空集合ではない。
※なぜ？
・〈 v1,v2,…,vl 〉は、実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一次結合の集合 ∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
・実2次元数ベクトルv1,v2,…,vlの一次結合は、どれも、実2次元数ベクトル。（∵）
・上記２点より、〈 v1,v2,…,vl 〉は、実2次元数ベクトルの集合
つまり、空集合ではない「R2の部分集合」
であるといえる。
Q2：〈 v1,v2,…,vl 〉は、「R2に定められているベクトルの加法」について閉じている。
つまり、〈 v1,v2,…,vl 〉に属す任意の実2次元数ベクトルu,u' に対して、u+u' ∈〈 v1,v2,…,vl 〉
※なぜ？ 次の3点による。
・〈 v1,v2,…,vl 〉に属す任意のu,u'とは、v1,v2,…,vl の任意の二つの一次結合のこと。
∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
・定理より、v1,v2,…,vl の任意の二つの一次結合のベクトル和も、v1,v2,…,vl の一次結合となる。
・「v1,v2,…,vl の一次結合」は、「〈 v1,v2,…,vl 〉の元」と言換えてよい。∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
Q3：〈 v1,v2,…,vl 〉は、「R2に定められているスカラー乗法」について閉じている。
つまり、〈 v1,v2,…,vl 〉に属す限りで任意の実2次元数ベクトルuと、任意のスカラーk∈Rに対して、
ku∈〈 v1,v2,…,vl 〉
※なぜ？ 次の3点による。
・〈 v1,v2,…,vl 〉に属す任意のuとは、v1,v2,…,vlの任意の一次結合のこと。
∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
・定理より、v1,v2,…,vlの任意の一次結合の、任意のスカラー倍も、v1,v2,…,vlの一次結合となる。
・「v1,v2,…,vlの一次結合」は、「〈 v1,v2,…,vl 〉の元」と言換えてよい。∵〈 v1,v2,…,vl 〉の定義
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性質2 |
v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間〈 v1,v2,…,vl 〉は、
{ v1,v2,…,vl }を含む最小の「R2の部分ベクトル空間」となる。
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性質3 |
「{ v1,v2,…,vl }を含む最小の「R2の部分ベクトル空間」」は、
「{ v1,v2,…,vl }が張る部分空間」《v1,v2,…,vl》と一致するから（→理由）、
「v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間」〈v1,v2,…,vl〉は、
「{ v1,v2,…,vl }が張る部分空間」《v1,v2,…,vl》と一致する。
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性質4 |
{ v1,v2,…,vl }が一次独立ならば、v1,v2,…,vlは〈 v1,v2,…,vl 〉の基底となる。
→詳細
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性質5 |
・「v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間」〈v1,v2,…,vl〉における一次独立なベクトルの最大個数は、l個と等しいか、l個未満であって、決してl個をこえることはない。
・「v1,v2,…,vlから生成された部分ベクトル空間」〈v1,v2,…,vl〉における一次独立なベクトルの最大個数がl個となる場合は、{ v1,v2,…,vl }が一次独立であって、〈 v1,v2,…,vl 〉の基底となる場合。
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佐武『線形代数学』Ⅲ§2(pp.95-6);
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関連 |
Rnの無限集合から生成された部分ベクトル空間も定義できるが、この点については、以下参照。
→実ベクトル空間一般における生成された部分ベクトル空間
→ベクトル空間一般における生成された部分空間 |
