〜が張るRnの部分ベクトル空間:トピック一覧 〜 数学についてのwebノート |
・定義:〜を含む最小の部分ベクトル空間/〜が張る部分空間/両者の一致 |
※ 実n次元数ベクトル空間関連ページ:実n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立・従属の関係/次元※Rnの部分ベクトル空間:定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/部分空間の集合算/和・直和和・直和分解・補空間/部分空間の基底/部分空間の次元 ※実ベクトル空間関連ページ:実ベクトル空間の定義/一次結合/線形従属・線形独立/基底/次元 →線形代数目次・総目次 |
定義:〜を含む最小の部分ベクトル空間 |
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舞台 |
R :実数体(実数をすべて集めた集合)Rn:実n次元数ベクトル空間 v1, v2, …, vl:l個の実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、 v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n ) ∈Rn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n ) ∈Rn : : vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln ) ∈Rn したがって、v1, v2, …, vl ∈Rn 。 なお、個数lが有限個であること、 個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。 { v1, v2, …, vl }:l個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl からなる集合。 つまり、{ v1, v2, …, vl } ={ ( v11, v12, …, v1n ) , ( v21, v22, …, v2n ) , …, ( vl1, vl2, …, vln ) } これは、実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合となるが、 必ずしも、Rnの部分ベクトル空間とはならない。 |
[ 文献]ホフマン 永田 |
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本題 |
{ v1, v2, …, vl }を含む最小の「Rnの部分ベクトル空間」とは、 任意の「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」に含まれる「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」のこと。 つまり、 「W0が、{ v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』である」とは、 W0が、以下の3条件を満たすこと。 条件1: W0⊃{ v1, v2, …, vl }であること。 条件2: W0が『Rnの部分ベクトル空間』であること(→その必要十分条件)。 条件3: 任意の『Rnの部分ベクトル空間』Wに対して、 W⊃{ v1, v2, …, vl } ⇒ W⊃W0 が成立すること。 すなわち、 「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦで表すと、 (∀W∈Ц)(W0⊂W) |
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噛み砕いた説明 |
Step 1. 「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」として、いろいろなものが考えられるが、そのすべてを考えるとしよう。 これら、様々な「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」を、 W1,W2,W3,W4,…と名づけることにする。 つまり、Wiは『Rnの部分ベクトル空間』であって、{ v1, v2, …, vl }⊂Wi Step2. 「W0が、{ v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』である」とは、 ・W0が「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」であって、 つまり、W0は『Rnの部分ベクトル空間』であって、 { v1, v2, …, vl }⊂W0 ・W0⊂W1 , W0⊂W2 , W0⊂W3 , W0⊂W4 ,… を満たす ことをいう。 |
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※ |
例: 〜から生成された部分ベクトル空間 |
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※ |
これは 〜が張る部分空間と一致する(→理由) |
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※類概念: |
〜を含む最小のσ加法族 |
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※上位概念 |
体上のベクトル空間における「〜を含む最小の部分ベクトル空間」、実ベクトル空間における「〜を含む最小の部分ベクトル空間」 |
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舞台 |
R :実数体(実数をすべて集めた集合)Rn:実n次元数ベクトル空間 v1, v2, …, vl:l個の実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、 v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n ) ∈Rn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n ) ∈Rn : : vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln ) ∈Rn したがって、v1, v2, …, vl ∈Rn 。 なお、個数lが有限個であること、 個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。 { v1, v2, …, vl }:l個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl からなる集合。 つまり、{ v1, v2, …, vl } ={ ( v11, v12, …, v1n ) , ( v21, v22, …, v2n ) , …, ( vl1, vl2, …, vln ) } これは、実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合となるが、 必ずしも、Rnの部分ベクトル空間とはならない。 |
[ 文献]砂田 ホフマン 松坂 |
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本題 |
実n次元数ベクトルの集合{ v1, v2, …, vl }が張る部分空間とは、 あらゆる「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」の共通部分。 記号《v1, v2, …, vl》で表す つまり、「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおくと、 《v1, v2, …, vl》≡∩Ц |
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性質0 |
「 実n次元数ベクトルの集合{ v1, v2, …, vl }が張る部分空間」は、『Rnの部分ベクトル空間』の定義を満たす。 ※なぜ?→証明 |
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性質 1 |
「〜が張る部分空間」は、 〜から生成された部分ベクトル空間に一致する。 |
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性質 2 |
「〜が張る部分空間」は、 〜を含む最小のベクトル空間に一致する。(→理由) |
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定理:「〜を含む最小の部分ベクトル空間」と、「〜が張る部分ベクトル空間」は一致する。 |
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舞台 |
R :実数体(実数をすべて集めた集合)Rn:実n次元数ベクトル空間 v1, v2, …, vl:l個の実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、 v11, v12, …, v1n∈Rとして、v1=( v11, v12, …, v1n ) ∈Rn v21, v22, …, v2n∈Rとして、v2=( v21, v22, …, v2n ) ∈Rn : : vl1, vl2, …, vln∈Rとして、vl=( vl1, vl2, …, vln ) ∈Rn したがって、v1, v2, …, vl ∈Rn 。 なお、個数lが有限個であること、 個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。 { v1, v2, …, vl }:l個の実n次元数ベクトルv1, v2, …, vl からなる集合。 つまり、{ v1, v2, …, vl } ={ ( v11, v12, …, v1n ) , ( v21, v22, …, v2n ) , …, ( vl1, vl2, …, vln ) } これは、実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合となるが、 必ずしも、Rnの部分ベクトル空間とはならない。 Ц:「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系 W0:{ v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』 《v1, v2, …, vl》:{ v1, v2, …, vl }が張るRnの部分ベクトル空間 |
[ 文献]砂田 『行列と行列式』 §5.2補題5.23の議論の骨格から(p.163); |
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本題 |
「 { v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」W0と、「{ v1, v2, …, vl }が張るRnの部分ベクトル空間」《v1, v2, …, vl》は一致する。 |
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証明 |
W0 ⊃《v1, v2, …, vl》かつ《v1, v2, …, vl》⊃W0を示せばよい。Step1: ・「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおく。 ・「{ v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」W0は、 「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」である。 ∵「Sを含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」の定義 したがって、W0∈Ц …(1-1) ・《v1, v2, …, vl》の定義より、《v1, v2, …, vl》=∩Ц …(1-2) ・集合系の積集合の性質より、任意のW∈Цにたいして、W⊃(∩Ц) …(1-3) ・(1-3)に(1-2)を代入すると、 任意のW∈Цにたいして、W⊃《v1, v2, …, vl》 …(1-4) となる。 ・(1-1)と(1-4)より、W0⊃《v1, v2, …, vl》 以上によって、W0⊃《v1, v2, …, vl》は示された。 Step2: ・「{ v1, v2, …, vl }を含む『Rnの部分ベクトル空間』」をすべて集めた集合系をЦとおく。 ・「{ v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」W0は、 ( ∀W∈Ц )( W⊃W0 ) …(2-1) を満たす。 ∵「{ v1, v2, …, vl }を含む最小の『Rnの部分ベクトル空間』」の定義 したがって、集合系の積集合の性質より、(2-1)のもとで、 ∩Ц⊃W0 …(2-2) が成立する。 《v1, v2, …, vl》=∩Ц (∵《v1, v2, …, vl》の定義) を用いて、(2-2)を書きかえると、 《v1, v2, …, vl》⊃W0 以上によって、《v1, v2, …, vl》⊃W0 は示された。 |
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