一般のベクトル空間における一次結合・線形結合
・定義:
一次結合・線形結合
/
〜から生成された部分ベクトル空間
・定理:
一次結合の和
/
一次結合のスカラー倍
/
一次結合と部分ベクトル空間
※
ベクトル空間関連ページ:
ベクトル空間の定義
/
部分ベクトル空間
/
線形独立・線形従属
/
基底
/
次元
※
一次写像関連ページ:
一次写像−定義
/
一次写像と演算
/
一次写像の代数系
/
一次写像と線形独立
/
同型写像
/
同型写像と線形独立
※
いろいろなベクトル空間における線型結合:
一般の数ベクトル空間での線形結合
/
実ベクトル空間での線形結合
/
実
n
次元数ベクトル空間での線形結合
/
実2次元数ベクトル空間での線形結合
→
線形代数目次
→
総目次
定義:一次結合・線形結合
linear combination
[『
岩波数学辞典
』210線形空間:C線形結合(p.571);志賀『
線形代数30講
』14講(p.90);永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.2(p.10);1.3(p.16);藤原『
線形代数
』4.2(p.94);本部『
新しい代数
』5.2-Aベクトル空間(p.133);酒井『
環と体の理論
』1.6(p.23);ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(p.32);神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1.3(p.108);松坂『
集合・位相入門
』3章§5C(p.134);]
※
いろいろなベクトル空間における定義:
一般の数ベクトル空間での線形結合
/
実ベクトル空間での線形結合
/
実
n
次元数ベクトル空間での線形結合
/
実2次元数ベクトル空間での線形結合
【舞台設定】
K
:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合
Q
、
実数をすべて集めた集合
R
、複素数をすべてあつめた集合
C
)
V
:
K
上のベクトル空間
+
:
ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの:
K
上のベクトル空間
V
において定義されている
スカラー乗法
v
1
,
v
2
, …,
v
l
:
V
に
属す
ベクトル
。つまり、
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
V
。なお、個数が有限個であることに注意。
【本題】
V
に
属す
有限個の
ベクトル
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
の
一次結合・線形結合
とは、
それらの(
V
で定義された)
スカラー積
a
1
v
1
,
a
2
v
2
, …,
a
l
v
l
(
a
1
,
a
2
, …,
a
l
∈
K
)の(
V
で定義された)
ベクトル和
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
で表された
V
上の
ベクトル
のこと。
※
いろいろなベクトル空間における線型結合の定義:
一般の数ベクトル空間での線形結合
/
実ベクトル空間での線形結合
/
実
n
次元数ベクトル空間での線形結合
/
実2次元数ベクトル空間での線形結合
※
「
V
に
属す
ベクトル
の一次結合」も、「
V
に
属す
ベクトル
」になるのはなぜ? [草場『
線形代数
』2.9(
p
.54)]
【
Step
1:
スカラー積
が「
V
に
属す
ベクトル
」になるわけ】
体
K
上のベクトル空間
V
において定義されるスカラー乗法
とは、
「
体
K
の
任意
の
元
a
と、
V
の
任意
の
元
v
の組に対して、
V
の
元
を一意的に定める演算」
のこと。
だから、
任意
の
a
i
∈
K
,
v
i
∈
V
に対して、
V
に定められた
スカラー乗法
をおこなった結果出てきた
スカラー積
a
i
v
i
は、
V
の
元
である。
(そもそも、演算結果が
V
の
元
にならないなら、その演算は
V
に定められた
スカラー乗法
とは呼べない)
V
の
元
を「
V
に
属す
ベクトル
」と呼ぶのだから、
任意
の
a
i
∈
K
,
v
i
∈
V
に対して、
V
に定められた
スカラー乗法
をおこなった結果出てきた
スカラー積
a
i
v
i
は、
「
V
に
属す
ベクトル
」となる。
【
Step
2:
ベクトル和
が「
V
に
属す
ベクトル
」になるわけ 】
ベクトル空間Vにおいて定義される"ベクトルの加法"
+
"とは、
「
任意
の
u
,
v
∈
V
に対して、それに対応する
u
+
v
∈
V
を一つずつ定める」演算のこと。
だから、
任意
の
u
,
v
∈
V
に対して、Vに定められた
ベクトルの加法
をおこなった結果出てきた
ベクトル和
u
+
v
は、
V
の
元
である。
(そもそも、演算結果が
V
の
元
にならないなら、その演算は
V
に定められた
ベクトルの加法
とは呼べない)
V
の
元
を「
V
に
属す
ベクトル
」と呼ぶのだから、
任意
の
u
,
v
∈
V
に対して、
V
に定められた
ベクトルの加法
をおこなった結果出てきた
ベクトル和
u
+
v
は、
「
V
に
属す
ベクトル
」となる。
【
Step
3:
一次結合
が「
V
に
属す
ベクトル
」になるわけ 】
step1より、
V
に
属す
任意
の
ベクトル
v
1
,
v
2
, …,
v
l
に対して、
それらの(
V
で定義された)
スカラー積
a
1
v
1
,
a
2
v
2
, …,
a
l
v
l
(
a
1
,
a
2
, …,
a
l
∈
K
)
は、すべて、「
V
に
属す
ベクトル
」となる。
したがって、これらの(
V
で定義された)
ベクトル和
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
は、
「
V
に
属す
ベクトル
」の
ベクトル和
であるから、
step2より、
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
も、「
V
に
属す
ベクトル
」となる。
つまり、
V
に
属す
ベクトル
v
1
,
v
2
, …,
v
l
の
一次結合
は、「
V
に
属す
ベクトル
」である。
定理:一次結合の和
※
いろいろなベクトル空間における具体例:
一般の数ベクトル空間での一次結合の和
/
実ベクトル空間での線形結合の和
/
実
n
次元数ベクトル空間での線形結合の和
/
実2次元数ベクトル空間での線形結合の和
【舞台設定】
K
:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合
Q
、
実数をすべて集めた集合
R
、複素数をすべてあつめた集合
C
)
V
:
K
上のベクトル空間
+:
体
K
において定義されている加法
+
:
ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトルの加法
v
1
,
v
2
, …,
v
l
:
V
に
属す
ベクトル
。つまり、
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
V
。
a
1
,
a
2
, …,
a
l
:
スカラー
。
a
1
,
a
2
, …,
a
l
∈
K
b
1
,
b
2
, …,
b
l
:
スカラー
。
b
1
,
b
2
, …,
b
l
∈
K
【本題】
任意
の
ベクトル
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
V
と、
任意
の
スカラー
a
1
,
a
2
, …,
a
l
,
b
1
,
b
2
, …,
b
l
∈
K
にたいして、
(あるいは、
任意
の「
V
に
属す
ベクトル
の
一次結合
」
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
,
b
1
v
1
+
b
2
v
2
+
…
+
b
l
v
l
にたいして)
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)
+
(
b
1
v
1
+
b
2
v
2
+
…
+
b
l
v
l
)=(
a
1
+
b
1
)
v
1
+
(
a
2
+
b
2
)
v
2
+
…
+
(
a
l
+
b
l
)
v
l
つまり、
【なぜ?】
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)
+
(
b
1
v
1
+
b
2
v
2
+
…
+
b
l
v
l
)
=(
a
1
v
1
+
b
1
v
1
)
+
(
a
2
v
2
+
b
2
v
2
)
+
…
+
(
a
l
v
l
+
b
l
v
l
) ∵
ベクトル和の結合則・可換則
=(
a
1
+
b
1
)
v
1
+
(
a
2
+
b
2
)
v
2
+
…
+
(
a
l
+
b
l
)
v
l
∵
スカラー積のスカラーに関する分配則
【意義】
この定理は、以下の点を意味している。
・「
V
に
属す
ベクトル
」
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
の
任意
の二つの
一次結合
の「
V
で定義された
ベクトル和
」も、同じ「
V
に
属す
ベクトル
」
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
の
一次結合
となる。
∵
体
の定義より、
体
の加法"+"は
二項演算
だから、Kが
体
で
a
i
,
b
i
∈
Kならば、
a
i
+
b
i
∈
K。
したがって、上記右辺は「
V
に
属す
ベクトル
の
一次結合
」の定義を満たす。
【文献】
・ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(
p
.32)。
→[
トピック一覧:一般のベクトル空間における線型結合
]
→
線形代数目次
・
総目次
定理:一次結合のスカラー倍
※
いろいろなベクトル空間における具体例:
一般の数ベクトルの線形結合のスカラー倍
/
実ベクトルの線形結合のスカラー倍
/
実
n
次元数ベクトルの線形結合のスカラー倍
/
実2次元数ベクトルの線形結合のスカラー倍
【舞台設定】
K
:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合
Q
、
実数をすべて集めた集合
R
、複素数をすべてあつめた集合
C
)
V
:
K
上のベクトル空間
+
:
ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトルの加法
v
1
,
v
2
, …,
v
l
:
V
に
属す
ベクトル
。つまり、
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
V
。
c ,a
1
,
a
2
, …,
a
l
:
スカラー
。
c , a
1
,
a
2
, …,
a
l
∈
K
スカラー
に続けて
スカラー
を並べて書いたもの:
体
K
において定義されている乗法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの:
K
上のベクトル空間
V
において定義されている
スカラー乗法
【本題】
任意
の
ベクトル
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
V
と、
任意
の
スカラー
a
1
,
a
2
, …,
a
l
,
c
∈
K
にたいして、
(あるいは、
任意
の「
V
に
属す
ベクトル
の
一次結合
」
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
と、
任意
の
スカラー
c
∈
K
にたいして)
c
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)=(
ca
1
)
v
1
+
(
ca
2
)
v
2
+
…
+
(
ca
l
)
v
l
つまり、
(なぜ?)
c
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)
=
c
{
a
1
v
1
+
(
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)} ∵
ベクトル和の結合則
=(
ca
1
)
v
1
+
c
(
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
) ∵
スカラー積のベクトルに関する分配則
=(
ca
1
)
v
1
+
c
{
a
2
v
2
+
(
a
3
v
3
+
…
+
a
l
v
l
)} ∵
ベクトル和の結合則
=(
ca
1
)
v
1
+
(
ca
2
)
v
2
+
c
(
a
3
v
3
+
…
+
a
l
v
l
) ∵
スカラー積のベクトルに関する分配則
:
:
=(
ca
1
)
v
1
+
(
ca
2
)
v
2
+
…
+
(
ca
l
)
v
l
【意義】
この定理が意味しているのは、
「Vに
属す
ベクトル
」
v
1
,
v
2
, …,
v
l
の
任意
の
一次結合
の、
任意
の「Vで定義された
スカラー倍
」も、
同じ「Vに
属す
ベクトル
」
v
1
,
v
2
, …,
v
l
の
一次結合
となる
ということ。→
生成された部分ベクトル空間
。
∵
体
の定義より、
体
の乗法は
二項演算
だから、Kが
体
で
c
,
a
i
∈
Kならば、
ca
i
∈
K。
したがって、上記右辺は「
V
に
属す
ベクトル
の
一次結合
」の定義を満たす。
【文献】
・ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(
p
.32)
→[
トピック一覧:一般のベクトル空間における線型結合
]
→
線形代数目次
・
総目次
定義:〜から生成された部分ベクトル空間、〜の線形包
linear hull
[『
岩波数学辞典
』210線形空間:F部分空間と商空間(p.571);永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.5(p.32);神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1.4(p.112);ホフマン『
線形代数学I
』2.2部分空間-定理3(p.37);砂田『
行列と行列式
』補題5.23(p.163);]
※
いろいろなベクトル空間における定義:
一般の数ベクトル空間における線形包
/
実ベクトル空間における線形包
/
実
n
次元数ベクトル空間における線形包
/
実2次元数ベクトル空間での線形包
【舞台設定】
K
:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合
Q
、
実数をすべて集めた集合
R
、複素数をすべてあつめた集合
C
)
V
:
K
上のベクトル空間
S
:
V
の
部分集合
。つまり、
V
に
属す
ベクトル
の集合。(
V
の
部分ベクトル空間
である必要はない。また、無限個のベクトルが
S
に属していてもよい。)
【本題】
1.
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の
任意
の
一次結合
をすべてあつめた集合
〈
S
〉=
{
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
|
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
∈
K,
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
S
⊂
V
}
は、
S
を含む最小の「
V
の部分ベクトル空間」
となる。(→
証明
)
2.
「
S
を含む最小の「
V
の部分ベクトル空間」
」は、「
S
が張る部分空間
」《
S
》と一致するから(→
理由
)、
上記の〈
S
〉は、「
S
が張る部分空間
」《
S
》と一致する。
3.
そこで、
S
に
属す
任意の
ベクトル
の任意の
一次結合
をすべてあつめた集合〈
S
〉を、
V
の
部分集合
S
から生成された部分ベクトル空間
、
V
の
部分集合
S
の
線形包
とよぶ。
(1.
の証明
)
[
永田『
理系のための線形代数の基礎
』
1.5(
p
.32);
砂田『
行列と行列式
』§
5.2
補題
5.23(
p
.163); ]
step
1:
〈
S
〉は、
V
の
部分ベクトル空間
。
step
1-1:
〈
S
〉は、
V
の
部分集合
。
V
の
部分集合
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の任意の
一次結合
を全てあつめた集合〈
S
〉は、
V
の
部分集合
である。
なぜなら、
V
の
部分集合
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
は、
ベクトル空間
V
に
属す
ベクトル
だから、
その
任意
の
一次結合
は、
ベクトル空間
V
に
属す
ベクトル
。
よって、
V
の
部分集合
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の任意の
一次結合
をすべてあつめた集合〈
S
〉は、
V
の
部分集合
である。
※
V
の
部分集合
S
に
属す
ベクトル
の
一次結合
は、必ずしも
S
に
属す
ベクトル
とはいえないことに注意。
ここでは、
V
は
ベクトル空間
だが
S
は必ずしも
ベクトル空間
とは設定されていない。
step
1-2:
〈
S
〉は「
V
で定義された
ベクトルの加法
」について閉じている
任意
の
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
∈
K,
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
S
⊂
V,
任意
の
a
'
1
,
a
'
2
,
…
,
a
'
m
∈
K,
v
'
1
,
v
'
2
,
…
,
v
'
m
∈
S
⊂
V
に対して、
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)
+
(
a
'
1
v
'
1
+
a
'
2
v
'
2
+
…
+
a
'
m
v
'
m
)
=
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
+
a
'
1
v
'
1
+
a
'
2
v
'
2
+
…
+
a
'
m
v
'
m
∵
ベクトル和の結合則
は、
V
の
部分集合
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
,
v
'
1
,
v
'
2
,
…
,
v
'
m
の
一次結合
の定義を満たしている(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
,
a
'
1
,
a
'
2
,
…
,
a
'
m
∈
K
だから)。
つまり、
任意
の二つの「
V
の
部分集合
S
から取り出した有限個の
ベクトル
の
一次結合
」の「
V
で定義された
ベクトル和
」は、
「
V
の
部分集合
S
から取り出した有限個の
ベクトル
の
一次結合
」となる。
ということは、〈
S
〉に
属す
任意
の二つの
元
の「
V
で定義された
ベクトル和
」は、〈
S
〉に
属す
。
step
1-3:
〈
S
〉は「
V
で定義された
スカラー乗法
」について閉じている
任意
の
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
∈
K,
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
S
⊂
V,
任意
の
c
∈
K
に対して、
一次結合のスカラー倍の定理
より、
c
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
)=
(
ca
1
)
v
1
+
(
ca
2
)
v
2
+
…
+
(
ca
l
)
v
l
つまり、
V
の
部分集合
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の
任意
の
一次結合
の
任意
の
スカラー倍
は、
その
S
に
属す
ベクトル
の
一次結合
となる(
ca
1
,
ca
2
,
…
,
ca
l
∈
K
だから)。
ということは、〈
S
〉に
属す
任意
の二つの
元
の「
V
で定義された
スカラー乗法
」は、〈
S
〉に
属す
。
step
1-4:
以上三点から、〈
S
〉は
V
の
部分ベクトル空間となるための必要条件
を満たす。
Step
2:
〈
S
〉は
S
を含む。
〈
S
〉は、
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の
任意
の
一次結合
をすべてあつめた集合であった。
「
S
に
属す
任意
の
ベクトル
」自体も、「
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の
任意
の
一次結合
」の一例である。
よって、
S
に
属す
任意
の
ベクトル
は、〈
S
〉に
属す
。
これを、
"
⊂
"
の定義にしたがって、言いなおすと、
S
⊂
〈
S
〉
Step
3:
任意の
「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」は、〈
S
〉を含む。
Step
3-1:
任意の
「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」
W
は、
『
V
の
部分ベクトル空間
』であることの
必要十分条件
より、以下を満たす。
1. W
は、
V
の
空
でない
部分集合
。
2.
任意
の
ベクトル
v
1
,
v
2
∈
W
に対して、
V
に定められた
ベクトル和
v
1
+
v
2
∈
W
3.
任意
の
ベクトル
v
∈
W
と
スカラー
c
∈
K
に対して、
V
に定められた
スカラー積
c
v
∈
W
この
2.3.
の組み合わせと繰り返しによって、
任意
の
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
∈
K,
任意
の
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
W
⊂
V
に対して、
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
∈
W
となる。
つまり、
W
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
の、
V
に定められた
ベクトル和
・
スカラー積
による
一次結合
は、
W
に
属す
。
Step
3-2:
ここでは、
W
として、
任意の
「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」を考えているのだから、
S
⊂
W
。
ということは、
"
⊂
"
の定義より、
S
に
属す
元
は、すべて、
W
にも
属す
。
だから、
S
から取り出した
任意
の有限個の
元
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
も、すべて、
W
にも
属す
。
すなわち、
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
S
⇒
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
W
この点と、
step3-1
の結論を合わせて考えると、
任意
の
a
1
,
a
2
,
…
,
a
l
∈
K,
任意
の
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
S
に対して、
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
l
v
l
∈
W
となる。
つまり、
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
は、
W
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
でもあるから、
step3-1
の結論より、
それら有限個の
ベクトル
の、
V
に定められた
ベクトル和
・
スカラー積
による、
任意
の
一次結合
はすべて、
W
に
属す
。
「
S
から取り出した
任意
の有限個の
ベクトル
の、
V
に定められた
ベクトル和
・
スカラー積
による
任意
の
一次結合
」とは、〈
S
〉の
任意
の
元
に他ならないから、
上記は、要するに、〈
S
〉の
任意
の
元
は、
W
に
属す
ということ。
これを、
"
⊃
"
の定義にしたがって、言いなおすと、
W
⊃
〈
S
〉。
Step
3-3:
以上から、
任意の
「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」
W
に対して、
W
⊃
〈
S
〉。
が成り立つことがわかった。
Step
4:
step1,step2の結果より、〈S〉は、「S
を含む
『Vの
部分ベクトル空間
』」の一つであるといえる。
また、step3の結果より、
任意の
「S
を含む
『Vの
部分ベクトル空間
』」は、〈S〉
を含む
。
以上から、〈S〉は、S
を含む最小の「Vの部分ベクトル空間」
の定義を満たすことが、明らかになった。
→[
トピック一覧:一般のベクトル空間における線型結合
]
→
線形代数目次
・
総目次
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I
』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-9)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:
線形代数30講
』朝倉書店、1988年、14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『
線形代数学
(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:
線形代数
』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
草場公邦『
線形代数
(増補版)』(森毅、斉藤雅彦責任編集『すうがくぶっくす』2巻)朝倉書店、1999年。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5:
新しい代数
』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:
環と体の理論
』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。