広義積分の性質

1変数関数についての広義積分の性質

　[高木『解析概論』104:証明なし; 吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし.]
　関数fが有限区間Iにおいて広義積分可能、
　　または
　関数fが無限区間Iにおいて広義積分可能とすると、
　Iに含まれる任意の区間で広義積分可能。
　　cf.この定理の定積分版、

[高木『解析概論』104:証明なし・広義積分に向きをつけた上で;小平『解析入門I』178:証明は176:向きの付かない広義積分で;吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし;.]

　定積分の区間加法性は、広義積分でも成り立つ。
　すなわち、 a<b<cに対して、
　広義積分

が収束しているならば、
　[すなわち、関数f(x)が開区間(a,c)において広義積分可能ならば、]
　

　応用例:　
(証明) 小平『解析入門I』178は、広義積分の定義から明らかであるとしている。

[小平邦彦『解析入門I』178-180; 吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし;]
　定積分の線形性は、広義積分でも成り立つ。
　すなわち、
　広義積分
　　　

　が収束しているならば、
　任意の定数α、βに対して、
　　　

　も収束し、
　

　
(証明の沿革)
広義積分も、定義にまで遡ると、普通のリーマン定積分であるから、普通のリーマン定積分の線形性を適用できる。
(開区間(a,b)における広義積分である場合の説明: 小平『解析入門I』179)
Step1:
　開区間(a,b)における広義積分が定義されているということは、すでに以下が前提されている。　
　1. 閉区間 [a,b]において、その境界点a,bだけが特異点である。
　　だから、それを除いた区間、
　　　　すなわち、任意のa',b' (a< a'<b'<b )に対して[a',b']
　　において、f(x) , g(x)は有界かつリーマン積分可能である。…①
　2.

　　という有限の極限値が存在する。　…②
Step2:
　①より、②で問題にされている
　　　

　は、普通のリーマン定積分なのだから、普通のリーマン定積分の線形性が成り立って、
　任意の定数α、βに対して、
　　　　

…③
Step3:
　ここで、a'→ a+0、b'→b－0としても、a'＝a, b'=bとなるところまで行かないから、
　①より、[a',b']において、f(x) , g(x)は有界かつリーマン可積であり、
　　　

　は、普通のリーマン定積分なのだから、普通のリーマン定積分の線形性が成り立つ。
　よって、a'→ a+0、b'→b－0としても、③は成り立つ。
　つまり、
　　

　これを、広義積分の記号を用いて書きかえると、
　　

[高木『解析概論』108;吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし;.]
　ある区間で関数f,gがそれぞれ広義積分可能でも、積f gもその区間で広義積分可能であるとは限らない。
　例：
　

　は、(0,1]で広義積分可能だが、積f(x)・f (x)=1/xは、(0,1]で広義積分可能ではない。　
cf. 定理：積分可能な関数の積:「閉区間[a,b]で有界な関数f,gがそこで積分可能なら、積f gも積分可能。」
Question:普通のリーマン定積分可能な関数の積は可積なのに、広義積分可能な関数の積が可積とは限らないのは、どこが、どう違うからか？
　　

　cf.向きのついた積分の単調性　
　定積分の単調性は、広義積分でも成り立つ。
　すなわち、f(x),g(x)が区間(a,b)で高々有限個の点を除いて連続な関数であって、　
　広義積分
　　　

　が収束しており、
　区間(a,b)で常に　f(x)≦g(x)　なら、
　　　　

　　　等号が成り立つのは、f,gが連続なら、つねに、f(x)＝g(x)　である場合だけ。　
　応用例:、　
[小平邦彦『解析入門I』179-180:証明付き; 高木『解析概論』108:証明なし;]
（証明）　　

[杉浦『解析入門』292;高木『解析概論』106;吹田新保『理工系の微分積分学』117;.小平『解析入門I』185]

　1. ある区間で、関数f(x)が広義積分可能である(「f(x)の広義積分が収束する」)からといって、
　　|f(x)|も広義積分可能である(「|f(x)|の広義積分が収束する」)とは限らない。　
　　[つまり、普通の定積分の性質「fが積分可能ならば、|f|も積分可能」は、広義積分では成り立たない。]　

　2. ある区間で|f(x)|が広義積分可能である(「|f(x)|の広義積分が収束する」)とき、

　　　その区間で「f(x)は絶対可積である」、「f(x)の広義積分は絶対収束する」という。　

　[吹田新保『理工系の微分積分学』117;.]
　　収束しているが絶対収束でない広義積分は、条件収束するという。　

[小平『解析入門I』178-180; 杉浦『解析入門』292;高木『解析概論』106; 吹田新保『理工系の微分積分学』117;.]

|f(x)|が広義積分可能であるなら、
　　(すなわち「f(x)が絶対可積である」「f(x)の広義積分が絶対収束する」なら)　
　

　
　これは、有限区間の広義積分でも無限区間の広義積分でも成り立つ
　　　　[高木『解析概論』106; 小平『解析入門I』180]

(証明) 定積分に関する三角不等式から。[小平『解析入門I』180]
　　　

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)。
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年 pp.178-180。
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 104-5.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.290-295次元の広義積分の定義と収束条件。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.113-120.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.90-93.
青本和彦『岩波講座現代数学への入門：微分と積分1』岩波書店、1995年、138-143.軽く説明。
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、p.117-8.
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.98-103.