命題論理の論理式「P∧Q」の意味論　：　トピック一覧　　

・論理式P∧Qの呼称　[　連言・合接・論理積　/　連言肢　]　/　論理式P∧Qの読み　　
・論理式「P∧Q」の真理値
・論理式「P∧Q」の付値 / 論理式「P∧Q」の真理関数 /　論理式P∧Qの真理値表 
・論理式「P∧Q」の形成木 / 論理式「P∧Q」の真理値分析　 　

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P∧Qの呼称　：　連言・合接 conjunction・論理積　logical product 　　　


・論理式「P∧Q」は、

　　「P,Qの連言」
　　「P,Qの合接」
　　「P,Qの論理積」

　　などと呼ばれる。　　

・論理式「P∧Q」におけるP、
　論理式「P∧Q」におけるQは、　

　　連言肢conjunct

　と呼ばれる。[戸田山]




【文献】
　・中谷『論理』1.3.A(p.9)合接conjunction・連言・論理積
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。
　・野矢『論理学』1-1-2(2)(p.20)かつ連言;そして・しかし・だが(pp.24-26).
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3かつ連言conjunction(p.20);andしかもとbutにもかかわらず(p.21); 2.2.5 定義(5)連言肢conjunct (p.34)
　・戸次 『数理論理学』3.1.1(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.13-14)。
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2

　●岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)

P∧Qの読み下し例　　　



論理式「P∧Q」は、

　　「P and Q」[中谷]
　　「P かつ Q」[中谷;野矢]
　　「P そして Q」[中谷;清水;野矢;井関]
　　「P および Q」[中谷]
　　「P しかも Q」[中谷]

　　「P but Q」[中谷;清水]
　　「P しかし Q」[中谷;清水;野矢]
　　「P だが Q」[野矢]
　　「P にもかかわらず Q」[戸田山]

などと読み下される。




【文献】
　・中谷『論理』1.3.A(p.9)合接conjunction・連言・論理積
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。
　・野矢『論理学』1-1-2(2)(p.20)かつ連言;そして・しかし・だが(pp.24-26).
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3かつ連言conjunction(p.20);andしかもとbutにもかかわらず(p.21); 2.2.5 定義(5)連言肢conjunct (p.34)
　・戸次 『数理論理学』3.1.1(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.13-14)。
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2
　●岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)





論理式「P∧Q」の真理値　　 truth-value 　　　

・論理式「P∧Q」の真理値は、
　　命題変数Pの真理値
　　命題変数Qの真理値
　の組み合わせに依存して、決まる。

・論理式「P∧Q」の真理値が真になるのは、
　　　《命題変数Pの真理値》と《命題変数Qの真理値》の両方が真のときだけ。

・論理式「P∧Q」の真理値が偽になるのは、
　　　《命題変数Pの真理値》と《命題変数Qの真理値》の少なくとも一方が偽のとき。
　[中谷;松本]

　つまり、
　　M(P)＝真,M(Q)＝真のとき、　M(P∧Q)=真
　　それ以外のとき、　M(P∧Q)=偽

*　まとめると？　→　論理式「P∧Q」の真理値表　　
*　どうして？　　→　論理式「P∧Q」の真理値分析　　　




【文献】
　・中谷『論理』1.3.A(p.9)合接conjunction・連言・論理積
　・清水『記号論理学』§1.2(p.11)。
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.1.論理積logical product,conjunction(p.2)
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.13-14)。

　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.3;3.4真理値割り当て
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.3論理式の真理値(p.9)





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論理式「P∧Q」の付値　　valuation 　　　

命題変数P,Qを含む論理式「P∧Q」の付値　は、
　　　　　[付値1]　命題変数Pに真理値「真」を与え、命題変数Qに真理値「真」を与える　
　　　　　[付値2]　命題変数Pに真理値「真」を与え、命題変数Qに真理値「偽」を与える　　
　　　　　[付値3]　命題変数Pに真理値「偽」を与え、命題変数Qに真理値「真」を与える
　　　　　[付値4]　命題変数Pに真理値「偽」を与え、命題変数Qに真理値「偽」を与える
　 の22＝4通り存在する。　

*　付値って？　→　付値の定義　




【文献】

　・松本『数理論理学』1.1 定義2(p.4)



論理式「P∧Q」の真理関数 truth function　,truth -value function


はじめに読む定義

・命題変数P,Qを含む論理式P∧Qの真理関数とは、
　「《命題変数Pの真偽》と《命題変数Qの真偽》の組み合わせ」のおのおの(付値)に、
　《論理式P∧Qの真偽》を対応づける規則のこと。

*　その規則って、どんなの？　→　P∧Qの真理値 / 論理式P∧Qの真理値表　　　　

厳密な定義　〜　「真理値」「関数」の概念を用いて

・論理式「P∧Q」の真理関数とは、
　　「《命題変数Pの真理値》 M(P) と《命題変数Qの真理値》 M(Q) の組み合わせ」の各々(付値)に、
　　論理式「P∧Q」の真理値 M(P∧Q)
　　を対応づける関数
　　　M(P∧Q) ＝  f∧ ( M(P) , M(Q) )
　　のこと。

*　この関数f∧って、どんなの？　→　P∧Qの真理値 / 論理式P∧Qの真理値表　

厳密な定義　〜　「真理域」「写像」の概念を用いて
・論理式P∧Qの真理関数とは、
　　《命題変数Pの真理域》と《命題変数Qの真理域》の直積から、
　　《論理式「P∧Q」の真理域》への写像　
　　　 f∧: 「Pの真理域」×「Qの真理域」→「論理式P∧Qの真理域」
　　のこと。

*　この写像 f∧ って、どんなの？　→　P∧Qの真理値 / 論理式P∧Qの真理値表　




【文献】
　・中谷『論理』1.3.A(p.9)合接conjunction・連言・論理積
　・清水『記号論理学』§1.2(p.11)。
　・野矢『論理学』1-1-1(1)(p.17)
　・戸次 『数理論理学』定義3.37(p.34)
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.1.論理積logical product,conjunction(p.2)

　


論理式「P∧Q」の真理関数の真理値表

・論理式P∧Q の真理値表は、下表の通り。
P
 Q
 P∧Q
真 真 真
真 偽 偽
偽 真 偽
偽 偽 偽
　　　　　

*　なんで、こうなるの？
　　→　論理式「P∧Q」の真理値分析　

・論理式P∧Q の真理値表は、

　論理式P∧Q の真理関数 f¬ のグラフ　　
　　すなわち、




【文献】
　・中谷『論理』1.3.A(p.9)合接conjunction・連言・論理積
  ・清水『記号論理学』§1.2(p.11)。
　・野矢『論理学』1-1-2(2)(p.20)かつ連言;そして・しかし・だが(pp.24-26).
　・戸田山『論理学をつくる』3.1.1;3.1.2(2) (pp.37-38)　
　・戸次 『数理論理学』定義3.37(p.34)
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.1.論理積logical product,conjunction(p.2)
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.13-14)。
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.3;3.4真理値割り当て



　


　　　命題変数P,Qの真理値( M(P),M(Q) )と  f∧( M(P),M(Q) )との順序対 (( M(P),M(Q) ), f∧(M(P),M(Q)) ) をすべて集めた集合

　を、表に書き出したものにあたる。　[戸次3.2.3(p.35)]
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論理式「P∧Q」の形成木　formation tree

・《2個の命題変数P,Qを含む論理式》P∧Qの形成木formation tree とは、

　　P∧Q が「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるに至ったプロセスを、

　　　　P,Qの認定ステップから、

　　　　P∧Q そのものの認定ステップまで、

　　再現してたどり直し、
 【一般的に】
　→2個の命題変数を含む論理式の形成木


【文献】

　・戸田山『論理学をつくる』2.2.2(p.26);3.5.2真理値割り当て(p.57)


　　各ステップで認定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」を特定した下記履歴のこと。

　(step1)　[条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。　

　　　　* ここでの認定されたP,Qの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。　

　(step2)　(step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「A∧B」の A,B に代入した
　　　　　　　P∧Q
　　　　　を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。

　　　　* 　(step2)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-2)に従って、
　　　　　　　(step2)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　　定まる。

　　　　[論理式認定プロセス完了]

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P∧Qの真理値分析　 truth-value-analysis  

　→　真理値分析とは？
　→　真理値分析の手順

【真理値分析とは？】

・命題変数P,Qのみを含む論理式P∧Qについての真理値分析とは、

　[目的]

　　論理式P∧Qの真理関数　
　　　すなわち、
　　　《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)に対して、
　　　《論理式P∧Qの真偽》を対応づける規則
　　を明らかにするために、

　[方法]

　　論理式の真理値の決定原理に従って、　　　
 【真理値分析の一般】
　→2個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析
　→n個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析 　


【文献】
　・野矢『論理学』1-1-4(p.35). 　　　　　
　・戸田山『論理学をつくる』3.2(p.41);3.5(p.54)　;
　●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何をやることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8)：真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。



　・清水『記号論理学』§1.2(p.12)"truth value analysis"。

　　P∧Qの形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式の真理値を、
　　順次確定していくことによって、

　[作業]

　　論理式P∧Qの真理値表を書き出す作業
　　　　すなわち、《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)(22通り)に対応する《論理式P∧Qの真偽》を書き出す作業　

　のこと。

【真理値分析の手順】

 　[手順1]　論理式　P∧Q　の形成木を作成

　　　　　　　　(step1)　P,Qの各々を、 P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step2)　P∧Q　を、P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。

　[手順2]　《命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ》の各々(付値)に対する、
　　　　　　　　P∧Q　の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式の真理値を、
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。

　　　　　　　　(step1)　[付値1]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値2]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　[付値3]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値4]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。

　　　　　　　　(step2)　[付値1]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値2]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　[付値3]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　[付値4]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。

　[手順3]

     結果を真理値表にまとめる。
　【　論理式　P∨Q の真理値表　】　

 P 　Q　

　論理式　P∧Q　

[付値1]　P,Qに真理値の組み合わせ「真-真」を与える→
 　真　 　真　 　真　
[付値2]　P,Qに真理値の組み合わせ「真-偽」を与える→ 　真　 　偽　 　偽　
[付値3]　P,Qに真理値の組み合わせ「偽-真」を与える→ 偽 真 偽
[付値4]　P,Qに真理値の組み合わせ「偽-偽」を与える→ 偽 偽 偽


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