命題論理の論理式「P∧Q」の意味論 : トピック一覧・論理式P∧Qの呼称 [ 連言・合接・論理積 / 連言肢 ] / 論理式P∧Qの読み・論理式「P∧Q」の真理値 ・論理式「P∧Q」の付値 / 論理式「P∧Q」の真理関数 / 論理式P∧Qの真理値表 ・論理式「P∧Q」の形成木 / 論理式「P∧Q」の真理値分析 ※命題論理関連ページ:命題論理の論理式 /命題論理の意味論[真理値/真理関数/真理値表] ※ 論理関連ページ:論理記号 ※総目次 |
P∧Qの呼称 : 連言・合接 conjunction・論理積 logical product
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・論理式「P∧Q」は、 「P,Qの連言」 「P,Qの合接」 「P,Qの論理積」 などと呼ばれる。 ・論理式「P∧Q」におけるP、 論理式「P∧Q」におけるQは、 連言肢conjunct と呼ばれる。[戸田山] |
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P∧Qの読み下し例
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論理式「P∧Q」は、 「P and Q」[中谷] 「P かつ Q」[中谷;野矢] 「P そして Q」[中谷;清水;野矢;井関] 「P および Q」[中谷] 「P しかも Q」[中谷] 「P but Q」[中谷;清水] 「P しかし Q」[中谷;清水;野矢] 「P だが Q」[野矢] 「P にもかかわらず Q」[戸田山] などと読み下される。 |
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論理式「P∧Q」の真理値 truth-value
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・論理式「P∧Q」の真理値は、 命題変数Pの真理値 命題変数Qの真理値 の組み合わせに依存して、決まる。 ・論理式「P∧Q」の真理値が真になるのは、
・論理式「P∧Q」の真理値が偽になるのは、 つまり、 |
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論理式「P∧Q」の付値 valuation
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命題変数P,Qを含む論理式「P∧Q」の付値 は、 |
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論理式「P∧Q」の真理関数 truth function ,truth -value function
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はじめに読む定義・命題変数P,Qを含む論理式P∧Qの真理関数とは、 厳密な定義 〜 「真理値」「関数」の概念を用いて
・論理式「P∧Q」の真理関数とは、 * この関数f∧って、どんなの? → P∧Qの真理値 / 論理式P∧Qの真理値表 厳密な定義 〜 「真理域」「写像」の概念を用いて・論理式P∧Qの真理関数とは、《命題変数Pの真理域》と《命題変数Qの真理域》の直積から、 《論理式「P∧Q」の真理域》への写像 f∧: 「Pの真理域」×「Qの真理域」→「論理式P∧Qの真理域」 のこと。 * この写像 f∧ って、どんなの? → P∧Qの真理値 / 論理式P∧Qの真理値表 |
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論理式「P∧Q」の真理関数の真理値表 |
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* なんで、こうなるの? → 論理式「P∧Q」の真理値分析 |
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命題変数P,Qの真理値( M(P),M(Q) )と f∧( M(P),M(Q) )との順序対 (( M(P),M(Q) ), f∧(M(P),M(Q)) ) をすべて集めた集合 を、表に書き出したものにあたる。 [戸次3.2.3(p.35)] |
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論理式「P∧Q」の形成木 formation tree |
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・《2個の命題変数P,Qを含む論理式》P∧Qの形成木formation tree とは、 P∧Q が「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるに至ったプロセスを、 P,Qの認定ステップから、 P∧Q そのものの認定ステップまで、 再現してたどり直し、 |
【一般的に】 →2個の命題変数を含む論理式の形成木
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各ステップで認定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」を特定した下記履歴のこと。
(step1) [条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。
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P∧Qの真理値分析 truth-value-analysis |
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→ 真理値分析とは? → 真理値分析の手順 【真理値分析とは?】 ・命題変数P,Qのみを含む論理式P∧Qについての真理値分析とは、[目的] 論理式P∧Qの真理関数 すなわち、 《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)に対して、 《論理式P∧Qの真偽》を対応づける規則 を明らかにするために、 [方法] 論理式の真理値の決定原理に従って、 |
【真理値分析の一般】 →2個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析 →n個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析
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[作業]
論理式P∧Qの真理値表を書き出す作業
すなわち、《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)(22通り)に対応する《論理式P∧Qの真偽》を書き出す作業
[手順2] 《命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ》の各々(付値)に対する、
P∧Q の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式の真理値を、
論理式の真理値の決定原理に従って確定。
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