命題論理の意味論　−　真理値分析　：　トピック一覧　　

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・論理式の真理値の決定原理　/ 真理値分析　　　

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※述語論理の場合は、林晋,鹿島亮を参照。


真理値分析　 truth-value-analysis 　〜　命題変数を1個だけ含んだ論理式について

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【真理値分析とは？】

・命題変数Pのみを含む論理式A(P) についての真理値分析とは、


　[目的]　論理式A(P)の真理関数　
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　《命題変数Pの真偽》(付値)に対して、
　　　　　　　　　《論理式A(P)の真偽》を対応づける規則
　　　　　を明らかにするために、　　　　　　

　[方法]　論理式の真理値の決定原理に従って、
 【真理値分析の一般化】
　　→2個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析
　　→n個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析 　 


【文献】
　・野矢『論理学』1-1-4(p.35). 　　　　　
　・戸田山『論理学をつくる』3.2(p.41);3.5(p.54) 　;
　●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何を やることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8)：真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。
　・清水『記号論理学』§1.2(p.12)"truth value analysis"。　

　

　　　　　A(P)の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、
　　　　　順次確定していくことによって、


　[作業]　論理式A(P) の真理値表を書き出す作業
　　　　　　すなわち、《命題変数Pの真偽》(付値)(2通り)に対応する《論理式A(P)の真偽》を書き出す作業

　のこと。　



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【真理値分析の手順】

・命題変数Pを含む論理式A(P) についての真理値分析の詳細は、
　下記の通り。

　[手順1]

　　A(P)の形成木　
　　　すなわち、
 　　　　論理式A(P)が「Pから帰納的に定義される論理式」に認定されるプロセスを、
　　　　　Pの認定ステップから、
　　　　　A(P)そのものの認定ステップまで、
　　　　　再現してたどり直し、
　　　　　各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」を特定した履歴
　　を作成　

　[手順2]

　　命題変数Pの真偽(付値)に対する、
　　　　　　　A(P)の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、
　　　　　　　　Pの認定ステップから、
　　　　　　　　A(P)そのものの認定ステップまで、
　　　　　　　　順次各ステップごとに、
　　　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定していく　

　[手順3]

     結果を真理値表にまとめる。
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【真理値分析の例】

【例1】論理式P についての真理値分析　

　[手順1]　論理式Pの形成木を作成　

　　　　　　　　(step1)　Pを、 Pから帰納的に定義される論理式に認定。

　[手順2]　命題変数Pの真偽(付値)に対する、
　　　　　　　A(P)の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、　
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。　

　　　　　　　　(step1)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　
　[手順3]　結果を真理値表にまとめる。
　【論理式P の真理値表】

 P 論理式P
[付値1]　Pに真理値「真」を与える→
 　真　 　真　
[付値2]　Pに真理値「偽」を与える→ 　偽　 　偽　



【例2-1】　→　【例】　論理式「¬P」の真理値分析　　


【例2-2】論理式　P∧P  についての真理値分析　

　[手順1]　論理式　P∧P　の形成木を作成　

　　　　　　　　(step1)　Pを、 Pから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step2)　「P∧P 」を、Pから帰納的に定義される論理式に認定。


　[手順2]　命題変数Pの真偽(付値)に対する、
　　　　　　論理式　P∧P　の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、　
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。

　　　　　　　　(step1)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。

　　　　　　　　(step2)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Pの真理値は、(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Pの真理値は、(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　[手順3]　結果を真理値表にまとめる。
　【論理式 P∧Pの真理値表】

 P

　論理式P　

　論理式P∧P　
[付値1]　Pに真理値「真」を与える→
 　真　 　真　　真　
[付値2]　Pに真理値「偽」を与える→ 　偽　 　偽　　偽　



【例3-1】  論理式　(¬P)∧P についての真理値分析　

　[手順1]　論理式　(¬P)∧P　の形成木を作成　

　　　　　　　　(step1)　P を、 Pから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step2)　「¬P」を、Pから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step3)　「(¬P)∧P 」を、Pから帰納的に定義される論理式に認定。

　[手順2]　命題変数Pの真偽(付値)に対する、
　　　　　　論理式　(¬P)∧P　の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、　
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。

　　　　　　　　(step1)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。

　　　　　　　　(step2)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　¬Pの真理値は、(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　¬Pの真理値は、(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-1)より、「真」。

　　　　　　　　(step3)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(¬P)∧Pの真理値は、(step2)(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(¬P)∧Pの真理値は、(step2)(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　[手順3]　結果を真理値表にまとめる。
　【論理式 (¬P)∧Pの真理値表】

 P

　論理式P　

　論理式¬P　

　(¬P)∧P　
[付値1]　Pに真理値「真」を与える→
 　真　 　真　　偽　偽
[付値2]　Pに真理値「偽」を与える→ 　偽　 　偽　　真　偽

　　　※このように、すべての付値に対して、真理値が偽となる論理式を恒偽命題という。



【例3-2】  論理式　(P∧P)⇒(P∨P) についての真理値分析　

　[手順1]　論理式　(P∧P)⇒(P∨P)　の形成木を作成　

　　　　　　　　(step1)　P を、 Pから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step2)　「P∧P」「P∨P」を、Pから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step3)　「(P∧P)⇒(P∨P)」を、Pから帰納的に定義される論理式に認定。

　[手順2]　命題変数Pの真偽(付値)に対する、
　　　　　　論理式　(P∧P)⇒(P∨P)　の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、　
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。

　　　　　　　　(step1)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。

　　　　　　　　(step2)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Pの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「真」、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∨Pの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-3)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∧Pの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P∨Pの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-3)より、「偽」。

　　　　　　　　(step3)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(P∧P)⇒(P∨P)の真理値は、(step2)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(P∧P)⇒(P∨P)の真理値は、(step2)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　[手順3]　結果を真理値表にまとめる。
　【論理式 (P∧P)⇒(P∨P)　の真理値表】

 P

　論理式P　

　論理式 P∧P　　

　論理式 P∨P　

　(P∧P)⇒(P∨P)　
[付値1]　Pに真理値「真」を与える→
 　真　 　真　　真　真　真　
[付値2]　Pに真理値「偽」を与える→ 　偽　 　偽　　偽　偽

　真　

　　　※このように、すべての付値に対して、真理値が真となる論理式を恒真命題という。

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