命題論理 propositional logic の論理式 〜 2個の命題変数だけを含むケース  

2個の命題変数から帰納的に定義される論理式  
2個の命題変数だけを含む論理式の形成木
2個の命題変数だけを含む論理式の部分論理式
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 総目次

※述語の場合は、林晋,鹿島亮を参照。



2個の命題変数から帰納的に定義される論理式


ビギナー向け

 2個の命題変数から帰納的に定義される論理式とは、
 高々2個の命題を表す文字と論理記号だけで表せる論理式 のこと。   

厳密な定義

2個の命題変数P,Qから帰納的に定義される論理式とは、
 「論理式の帰納的定義・回帰的定義」の[条件1]における命題記号原子式を、
   2個の命題変数P,Q 
 に限定したときに、
 「論理式の帰納的定義・回帰的定義」によって定義される論理式のこと。




 * 論理式真理値は?→ 論理式の真理値の決定原理 

【文献】
 ●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何を やることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8):真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。



 ・野矢『論理学』1 -1-4付論2(p.45):5個の命題変数から帰納的に定義される論理式は、全部で42億9496万7296通りにのぼる。
 ・井関清志『集合と論理』§1.4(p.17)。

 →1個の命題変数から帰納的に定義される論理式  
 →n個の命題変数から帰納的に定義される論理式


・つまり、
 「P,Qから帰納的に定義される論理式」とは、
  下記[条件1][条件2]によって「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定されたもの。

    [条件1] 命題変数P,Qは「P,Qから帰納的に定義される論理式」である。

    [条件2] A,Bが「P,Qから帰納的に定義される論理式」であるならば、
          AB,AB,ABAは「P,Qから帰納的に定義される論理式」である。

厳密な定義を具体的に展開

・「P,Qから帰納的に定義される論理式」の上記定義は、
   ・個々の「P,Qから帰納的に定義される論理式」は、下記プロセスの各ステップによって認定されていくこと、
   ・「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される対象の全範囲は、
     下記プロセスの無限継続の果てに「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定された対象の全軌跡であること
 を意味している。

・下記プロセスは、
    (step1)で[条件1]によって「P,Qから帰納的に定義される論理式」のタネを蒔き、
    (step2)以降で繰り返し[条件2]を適用することで、「P,Qから帰納的に定義される論理式」を増殖させていく
 という過程になっている。

・下記プロセス(step2)まで完了すると、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、
   最もシンプルなかたちの《P,Qを含む論理式》に到達する。
 より複雑なかたちの《P,Qを含む論理式》であっても、その複雑さに見合うまで下記プロセスを継続すれば、
   そこまで、「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、到達する。
 だから、下記プロセスの無限継続の果てに「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、
    あらゆる《P,Qを含む論理式》をカバーするに至るといえる。

【認定プロセス】
  
 [定義-条件1]より、 P,Qを「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1) 

    * ここで認定されたP,Q真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。 

 (step1)で、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されたP,Qの各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]の「AB,AB,ABA」の A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
     AB,AB,ABAが表す対象
      すなわち、
         [条件2]のAP、[条件2]のBPとした、PP,PP,PP,¬P
         [条件2]のAP、[条件2]のBQとした PQ,PQ,PQP   
         [条件2]のAQ、[条件2]のBPとした QP,QP,QPQ   
         [条件2]のAQ、[条件2]のBQとした QQ,QQ,QQQ

  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

    *  (step2)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
       (step2)で認定されたP,Qから帰納的に定義される論理式真理値が、
       (step1)で認定され真理値も確定したP,Qをもとに、
       定まる。 

 (step1)(step2)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された
   P,Q,PP,PP,PP,¬P,
     PQ,PQ,PQ,
     QP,QP,QPQ,
     QQ,QQ,QQ 
  の各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
       AB,AB,ABAが表す対象  
  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)
 
  ここで認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」を、以下列挙。

      [条件2]のAPとし、[条件2]のBPPとした、P(PP),P(PP),P(PP),¬P
      [条件2]のAPとし、[条件2]のBPPとした、P(PP),P(PP),P(PP),¬P
      [条件2]のAPとし、[条件2]のBPPとした、P(PP),P(PP),P(PP),¬P
      [条件2]のAPとし、[条件2]のB¬Pとした、P(¬P),P(¬P),P(¬P),¬P
      [条件2]のAPとし、[条件2]のBPQとした、P(PQ),P(PQ),P(PQ),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBPQとした、P(PQ),P(PQ),P(PQ),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBPQとした、P(PQ),P(PQ),P(PQ),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBQPとした、P(QP),P(QP),P(QP),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBQPとした、P(QP),P(QP),P(QP),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBQPとした、P(QP),P(QP),P(QP),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のB¬Qとした、P(¬Q),P(¬Q),P(¬Q),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBQQとした、P(QQ),P(QQ),P(QQ),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBQQとした、P(QQ),P(QQ),P(QQ),¬P
    [条件2]のAPとし、[条件2]のBQQとした、P(QQ),P(QQ),P(QQ),¬P

      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPとした、(PP)P,(PP)P,(PP)P,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQとした、(PP)Q,(PP)Q,(PP)Q,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のB¬Pとした、(PP)(¬P),(PP)(¬P),(PP)(¬P),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のB¬Qとした、(PP)(¬Q),(PP)(¬Q),(PP)(¬Q),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)

      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPとした、(PP)P,(PP)P,(PP)P,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQとした、(PP)Q,(PP)Q,(PP)Q,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)B,(PP)B,(PP)B,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のB¬Pとした、(PP)(¬P),(PP)(¬P),(PP)(¬P),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のB¬Qとした、(PP)(¬Q),(PP)(¬Q),(PP)(¬Q),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)  

      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPとした、(PP)P,(PP)P,(PP)P,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQとした、(PP)Q,(PP)Q,(PP)Q,¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPPとした、(PP)(PP),(PP)(PP),(PP)(PP),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のB¬Pとした、(PP)(¬P),(PP)(¬P),(PP)(¬P),¬(PP)
      [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBPQとした、(PP)(PQ),(PP)(PQ),(PP)(PQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQPとした、(PP)(QP),(PP)(QP),(PP)(QP),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のB¬Qとした、(PP)(¬Q),(PP)(¬Q),(PP)(¬Q),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、(PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)
    [条件2]のAPPとし、[条件2]のBQQとした、  (PP)(QQ),(PP)(QQ),(PP)(QQ),¬(PP)

      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPとした、(¬P)P,(¬P)P,(¬P)P,¬(¬P)
      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQとした、(¬P)Q,(¬P)Q,(¬P)Q,¬(¬P)
      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPPとした、(¬P)(PP),(¬P)(PP),(¬P)(PP),¬(¬P)
      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPPとした、(¬P)(PP),(¬P)(PP),(¬P)(PP),¬(¬P)
      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPPとした、(¬P)(PP),(¬P)(PP),(¬P)(PP),¬(¬P)
      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のB¬Pとした、(¬P)(¬P),(¬P)(¬P),(¬P)(¬P),¬(¬P)
      [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPQとした、(¬P)(PQ),(¬P)(PQ),(¬P)(PQ),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPQとした、(¬P)(PQ),(¬P)(PQ),(¬P)(PQ),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBPQとした、(¬P)(PQ),(¬P)(PQ),(¬P)(PQ),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQPとした、(¬P)(QP),(¬P)(QP),(¬P)(QP),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQPとした、(¬P)(QP),(¬P)(QP),(¬P)(QP),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQPとした、(¬P)(QP),(¬P)(QP),(¬P)(QP),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のB¬Qとした、(¬P)(¬Q),(¬P)(¬Q),(¬P)(¬Q),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQQとした、(¬P)(QQ),(¬P)(QQ),(¬P)(QQ),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQQとした、(¬P)(QQ),(¬P)(QQ),(¬P)(QQ),¬(¬P)
    [条件2]のA¬Pとし、[条件2]のBQQとした、 (¬P)(QQ),(¬P)(QQ),(¬P)(QQ),¬(¬P) 

      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPとした、(PQ)P,(PQ)P,(PQ)P,¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQとした、(PQ)Q,(PQ)Q,(PQ)Q,¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のB¬Pとした、(PQ)(¬P),(PQ)(¬P),(PQ)(¬P),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のB¬Qとした、(PQ)(¬Q),(PQ)(¬Q),(PQ)(¬Q),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)  
  
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPとした、(PQ)P,(PQ)P,(PQ)P,¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQとした、(PQ)Q,(PQ)Q,(PQ)Q,¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のB¬Pとした、(PQ)(¬P),(PQ)(¬P),(PQ)(¬P),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のB¬Qとした、(PQ)(¬Q),(PQ)(¬Q),(PQ)(¬Q),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)  
  
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPとした、(PQ)P,(PQ)P,(PQ)P,¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQとした、(PQ)Q,(PQ)Q,(PQ)Q,¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPPとした、(PQ)(PP),(PQ)(PP),(PQ)(PP),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のB¬Pとした、(PQ)(¬P),(PQ)(¬P),(PQ)(¬P),¬(PQ)
      [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBPQとした、(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),(PQ)(PQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQPとした、(PQ)(QP),(PQ)(QP),(PQ)(QP),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のB¬Qとした、(PQ)(¬Q),(PQ)(¬Q),(PQ)(¬Q),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)
    [条件2]のAPQとし、[条件2]のBQQとした、(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),(PQ)(QQ),¬(PQ)  
  
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPとした、(QP)P,(QP)P,(QP)P,¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQとした、(QP)Q,(QP)Q,(QP)Q,¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のB¬Pとした、(QP)(¬P),(QP)(¬P),(QP)(¬P),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のB¬Qとした、(QP)(¬Q),(QP)(¬Q),(QP)(¬Q),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、 (QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP) 

      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPとした、(QP)P,(QP)P,(QP)P,¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQとした、(QP)Q,(QP)Q,(QP)Q,¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のB¬Pとした、(QP)(¬P),(QP)(¬P),(QP)(¬P),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のB¬Qとした、(QP)(¬Q),(QP)(¬Q),(QP)(¬Q),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)  

      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPとした、(QP)P,(QP)P,(QP)P,¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQとした、(QP)Q,(QP)Q,(QP)Q,¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPPとした、(QP)(PP),(QP)(PP),(QP)(PP),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のB¬Pとした、(QP)(¬P),(QP)(¬P),(QP)(¬P),¬(QP)
      [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBPQとした、(QP)(PQ),(QP)(PQ),(QP)(PQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQPとした、(QP)(QP),(QP)(QP),(QP)(QP),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のB¬Qとした、(QP)(¬Q),(QP)(¬Q),(QP)(¬Q),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、(QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP)
    [条件2]のAQPとし、[条件2]のBQQとした、 (QP)(QQ),(QP)(QQ),(QP)(QQ),¬(QP) 

      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPとした、(¬Q)P,(¬Q)P,(¬Q)P,¬(¬Q)
      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQとした、(¬Q)Q,(¬Q)Q,(¬Q)Q,¬(¬Q)
      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPPとした、(¬Q)(PP),(¬Q)(PP),(¬Q)(PP),¬(¬Q)
      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPPとした、(¬Q)(PP),(¬Q)(PP),(¬Q)(PP),¬(¬Q)
      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPPとした、(¬Q)(PP),(¬Q)(PP),(¬Q)(PP),¬(¬Q)
      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のB¬Pとした、(¬Q)(¬P),(¬Q)(¬P),(¬Q)(¬P),¬(¬Q)
      [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPQとした、(¬Q)(PQ),(¬Q)(PQ),(¬Q)(PQ),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPQとした、(¬Q)(PQ),(¬Q)(PQ),(¬Q)(PQ),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBPQとした、(¬Q)(PQ),(¬Q)(PQ),(¬Q)(PQ),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQPとした、(¬Q)(QP),(¬Q)(QP),(¬Q)(QP),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQPとした、(¬Q)(QP),(¬Q)(QP),(¬Q)(QP),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQPとした、(¬Q)(QP),(¬Q)(QP),(¬Q)(QP),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のB¬Qとした、(¬Q)(¬Q),(¬Q)(¬Q),(¬Q)(¬Q),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQQとした、(¬Q)(QQ),(¬Q)(QQ),(¬Q)(QQ),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQQとした、(¬Q)(QQ),(¬Q)(QQ),(¬Q)(QQ),¬(¬Q)
    [条件2]のA¬Qとし、[条件2]のBQQとした、 (¬Q)(QQ),(¬Q)(QQ),(¬Q)(QQ),¬(¬Q) 
 
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPとした、(QQ)P,(QQ)P,(QQ)P,¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQとした、(QQ)Q,(QQ)Q,(QQ)Q,¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のB¬Pとした、(QQ)(¬P),(QQ)(¬P),(QQ)(¬P),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のB¬Qとした、(QQ)(¬Q),(QQ)(¬Q),(QQ)(¬Q),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ) 

      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPとした、(QQ)P,(QQ)P,(QQ)P,¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQとした、(QQ)Q,(QQ)Q,(QQ)Q,¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のB¬Pとした、(QQ)(¬P),(QQ)(¬P),(QQ)(¬P),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のB¬Qとした、(QQ)(¬Q),(QQ)(¬Q),(QQ)(¬Q),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ) 

      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPとした、(QQ)P,(QQ)P,(QQ)P,¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQとした、(QQ)Q,(QQ)Q,(QQ)Q,¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPPとした、(QQ)(PP),(QQ)(PP),(QQ)(PP),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のB¬Pとした、(QQ)(¬P),(QQ)(¬P),(QQ)(¬P),¬(QQ)
      [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBPQとした、(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),(QQ)(PQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQPとした、(QQ)(QP),(QQ)(QP),(QQ)(QP),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のB¬Qとした、(QQ)(¬Q),(QQ)(¬Q),(QQ)(¬Q),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ)
    [条件2]のAQQとし、[条件2]のBQQとした、(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),(QQ)(QQ),¬(QQ) 

    *  (step3)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

 (step1)(step2)(step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
       AB,AB,AB,¬Aが表す対象  (その列挙は省略)
  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step4)

    *  (step4)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step4)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)(step3)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 
 
 (step1)(step2)(step3)(step4)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
       AB,AB,AB,¬Aが表す対象  (その列挙は省略)
  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step5)

 
 
 

→ 論理式:トピック一覧
→ 論理記号:トピック一覧 
→ 総目次  
  

定義 : 論理式の形成木 formation tree


・《2個の命題変数P,Qを含む論理式A(P,Q)の形成木formation tree とは、

  論理式A(P,Q)がP,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるプロセスを、

    P,Qの認定ステップから、

    A(P,Q)そのものの認定ステップまで、

  再現してたどり直し、




【文献】



 ・戸田山『論理学をつくる』2.2.2(p.26);3.5.2真理値割り当て(p.57)


 →1個の命題変数を含む論理式の形成木  
 →n個の命題変数を含む論理式の形成木

  各ステップで認定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」を特定した履歴のこと。


 → 【例】論理式「PQ」の形成木    
 → 【例】論理式「PQ」の形成木    


【例】論理式 (PQ)⇒(PQ) の形成木とは、
   論理式 (PQ)⇒(PQ) が論理式に認定される下記プロセスのこと。 

 [条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1) 

    * ここでの認定されたP,Qの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。 

 (step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「AB」の A,B に代入した「PQ
  (step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「AB」の A,B に代入した「PQ
  を、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

    *  (step2)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
       (step2)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
       定まる。 

 (step2)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された「PQ」「PQ」を
   [条件2]の「AB」の A,B に代入した(PQ)⇒(PQ)を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)

    *  (step3)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

    [論理式認定プロセス完了]

【例】論理式 ((PQ)⇒(PQ))⇒P の形成木とは、
   論理式 ((PQ)⇒(PQ))⇒P論理式に認定される下記プロセスのこと。 

 [条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1) 

    * ここでの認定されたP,Qの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。 

 (step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「AB」の A,B に代入した「PQ
  (step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「AB」の A,B に代入した「PQ
  を、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

    *  (step2)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
       (step2)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
       定まる。 

 (step2)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された「PQ」「PQ」を[条件2]の「AB」の A,B に代入した(PQ)⇒(PQ)を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)

    *  (step3)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

 (step1)(step3)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された「(PQ)⇒(PQ)」「P」を、
  [条件2]の「AB」の A,B に代入した「((PQ)⇒(PQ))⇒P 」を、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step4)

    *  (step4)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step4)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)(step3)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

    [論理式認定プロセス完了]


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部分論理式 subformula


・《2個の命題変数P,Qを含む論理式A(P,Q)の部分論理式subformula とは、

    A(P,Q)の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式  

 のうち、

   A(P,Q)

 を除いたもの。

・戸田山は、
  論理式A(P1,P2,...,Pn) そのものは、「論理式A(P1,P2,...,Pn)の部分論理式」と呼ばない
 としているが、

 松本は、
  論理式A(P1,P2,...,Pn) そのものも含めて、「論理式A(P1,P2,...,Pn)の部分論理式」と呼ぶ
 と明言している。

【一般に】
 →1個の命題変数を含む論理式の部分論理式  
 →n個の命題変数を含む論理式の部分論理式




【文献】
 ●戸田山『論理学をつくる』2.2.5(p.34)
 ・松本『数理論理学』1.1(p.3)