命題論理 propositional logic の論理式 〜 2個の命題変数だけを含むケース  

・2個の命題変数から帰納的に定義される論理式  
・2個の命題変数だけを含む論理式の形成木
・2個の命題変数だけを含む論理式の部分論理式
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 ※総目次

※述語の場合は、林晋,鹿島亮を参照。



2個の命題変数から帰納的に定義される論理式


ビギナー向け

 2個の命題変数から帰納的に定義される論理式とは、
 高々2個の命題を表す文字と論理記号だけで表せる論理式 のこと。   

厳密な定義

・2個の命題変数P,Qから帰納的に定義される論理式とは、
 「論理式の帰納的定義・回帰的定義」の[条件1]における命題記号・原子式を、
   2個の命題変数P,Q 
 に限定したときに、
 「論理式の帰納的定義・回帰的定義」によって定義される論理式のこと。




 * 論理式の真理値は?→ 論理式の真理値の決定原理 

【文献】
 ●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何を やることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8):真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。



 ・野矢『論理学』1 -1-4付論2(p.45):5個の命題変数から帰納的に定義される論理式は、全部で42億9496万7296通りにのぼる。
 ・井関清志『集合と論理』§1.4(p.17)。

 →1個の命題変数から帰納的に定義される論理式  
 →n個の命題変数から帰納的に定義される論理式


・つまり、
 「P,Qから帰納的に定義される論理式」とは、
  下記[条件1][条件2]によって「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定されたもの。

    [条件1] 命題変数P,Qは「P,Qから帰納的に定義される論理式」である。

    [条件2] A,Bが「P,Qから帰納的に定義される論理式」であるならば、
          A∧B,A∨B,A⇒B,¬Aは「P,Qから帰納的に定義される論理式」である。

厳密な定義を具体的に展開

・「P,Qから帰納的に定義される論理式」の上記定義は、
   ・個々の「P,Qから帰納的に定義される論理式」は、下記プロセスの各ステップによって認定されていくこと、
   ・「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される対象の全範囲は、
     下記プロセスの無限継続の果てに「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定された対象の全軌跡であること
 を意味している。

・下記プロセスは、
    (step1)で[条件1]によって「P,Qから帰納的に定義される論理式」のタネを蒔き、
    (step2)以降で繰り返し[条件2]を適用することで、「P,Qから帰納的に定義される論理式」を増殖させていく
 という過程になっている。

・下記プロセス(step2)まで完了すると、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、
   最もシンプルなかたちの《P,Qを含む論理式》に到達する。
 より複雑なかたちの《P,Qを含む論理式》であっても、その複雑さに見合うまで下記プロセスを継続すれば、
   そこまで、「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、到達する。
 だから、下記プロセスの無限継続の果てに「P,Qから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、
    あらゆる《P,Qを含む論理式》をカバーするに至るといえる。

【認定プロセス】
  
 ・[定義-条件1]より、 P,Qを「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1) 

    * ここで認定されたP,Qの真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。 

 ・(step1)で、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されたP,Qの各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]の「A∧B,A∨B,A⇒B,¬A」の A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
     A∧B,A∨B,A⇒B,¬Aが表す対象
      すなわち、
         [条件2]のAをP、[条件2]のBをPとした、P∧P,P∨P,P⇒P,¬P
         [条件2]のAをP、[条件2]のBをQとした P∧Q,P∨Q,P⇒Q,¬P   
         [条件2]のAをQ、[条件2]のBをPとした Q∧P,Q∨P,Q⇒P,¬Q   
         [条件2]のAをQ、[条件2]のBをQとした Q∧Q,Q∨Q,Q⇒Q,¬Q

  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

    *  (step2)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
       (step2)で認定されたP,Qから帰納的に定義される論理式の真理値が、
       (step1)で認定され真理値も確定したP,Qをもとに、
       定まる。 

 ・(step1)(step2)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された
   P,Q,P∧P,P∨P,P⇒P,¬P,
     P∧Q,P∨Q,P⇒Q,
     Q∧P,Q∨P,Q⇒P,¬Q,
     Q∧Q,Q∨Q,Q⇒Q 
  の各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]の A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
       A∧B,A∨B,A⇒B,¬Aが表す対象  
  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)
 
  ここで認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」を、以下列挙。

      [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをP∧Pとした、P∧(P∧P),P∨(P∧P),P⇒(P∧P),¬P
      [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをP∨Pとした、P∧(P∨P),P∨(P∨P),P⇒(P∨P),¬P
      [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、P∧(P⇒P),P∨(P⇒P),P⇒(P⇒P),¬P
      [条件2]のAをPとし、[条件2]のBを¬Pとした、P∧(¬P),P∨(¬P),P⇒(¬P),¬P
      [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをP∧Qとした、P∧(P∧Q),P∨(P∧Q),P⇒(P∧Q),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをP∨Qとした、P∧(P∨Q),P∨(P∨Q),P⇒(P∨Q),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、P∧(P⇒Q),P∨(P⇒Q),P⇒(P⇒Q),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、P∧(Q∧P),P∨(Q∧P),P⇒(Q∧P),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、P∧(Q∨P),P∨(Q∨P),P⇒(Q∨P),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、P∧(Q⇒P),P∨(Q⇒P),P⇒(Q⇒P),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBを¬Qとした、P∧(¬Q),P∨(¬Q),P⇒(¬Q),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、P∧(Q∧Q),P∨(Q∧Q),P⇒(Q∧Q),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、P∧(Q∨Q),P∨(Q∨Q),P⇒(Q∨Q),¬P
    [条件2]のAをPとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、P∧(Q⇒Q),P∨(Q⇒Q),P⇒(Q⇒Q),¬P

      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをPとした、(P∧P)∧P,(P∧P)∨P,(P∧P)⇒P,¬(P∧P)
      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQとした、(P∧P)∧Q,(P∧P)∨Q,(P∧P)⇒Q,¬(P∧P)
      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(P∧P)∧(P∧P),(P∧P)∨(P∧P),(P∧P)⇒(P∧P),¬(P∧P)
      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(P∧P)∧(P∨P),(P∧P)∨(P∨P),(P∧P)⇒(P∨P),¬(P∧P)
      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(P∧P)∧(P⇒P),(P∧P)∨(P⇒P),(P∧P)⇒(P⇒P),¬(P∧P)
      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(P∧P)∧(¬P),(P∧P)∨(¬P),(P∧P)⇒(¬P),¬(P∧P)
      [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(P∧P)∧(P∧Q),(P∧P)∨(P∧Q),(P∧P)⇒(P∧Q),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(P∧P)∧(P∨Q),(P∧P)∨(P∨Q),(P∧P)⇒(P∨Q),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(P∧P)∧(P⇒Q),(P∧P)∨(P⇒Q),(P∧P)⇒(P⇒Q),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(P∧P)∧(Q∧P),(P∧P)∨(Q∧P),(P∧P)⇒(Q∧P),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(P∧P)∧(Q∨P),(P∧P)∨(Q∨P),(P∧P)⇒(Q∨P),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(P∧P)∧(Q⇒P),(P∧P)∨(Q⇒P),(P∧P)⇒(Q⇒P),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(P∧P)∧(¬Q),(P∧P)∨(¬Q),(P∧P)⇒(¬Q),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(P∧P)∧(Q∧Q),(P∧P)∨(Q∧Q),(P∧P)⇒(Q∧Q),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(P∧P)∧(Q∨Q),(P∧P)∨(Q∨Q),(P∧P)⇒(Q∨Q),¬(P∧P)
    [条件2]のAをP∧Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(P∧P)∧(Q⇒Q),(P∧P)∨(Q⇒Q),(P∧P)⇒(Q⇒Q),¬(P∧P)

      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをPとした、(P∨P)∧P,(P∨P)∨P,(P∨P)⇒P,¬(P∨P)
      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQとした、(P∨P)∧Q,(P∨P)∨Q,(P∨P)⇒Q,¬(P∨P)
      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(P∨P)∧(P∧P),(P∨P)∨(P∧P),(P∨P)⇒(P∧P),¬(P∨P)
      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(P∨P)∧B,(P∨P)∨B,(P∨P)⇒B,¬(P∨P)
      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(P∨P)∧(P⇒P),(P∨P)∨(P⇒P),(P∨P)⇒(P⇒P),¬(P∨P)
      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(P∨P)∧(¬P),(P∨P)∨(¬P),(P∨P)⇒(¬P),¬(P∨P)
      [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(P∨P)∧(P∧Q),(P∨P)∨(P∧Q),(P∨P)⇒(P∧Q),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(P∨P)∧(P∨Q),(P∨P)∨(P∨Q),(P∨P)⇒(P∨Q),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(P∨P)∧(P⇒Q),(P∨P)∨(P⇒Q),(P∨P)⇒(P⇒Q),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(P∨P)∧(Q∧P),(P∨P)∨(Q∧P),(P∨P)⇒(Q∧P),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(P∨P)∧(Q∨P),(P∨P)∨(Q∨P),(P∨P)⇒(Q∨P),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(P∨P)∧(Q⇒P),(P∨P)∨(Q⇒P),(P∨P)⇒(Q⇒P),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(P∨P)∧(¬Q),(P∨P)∨(¬Q),(P∨P)⇒(¬Q),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(P∨P)∧(Q∧Q),(P∨P)∨(Q∧Q),(P∨P)⇒(Q∧Q),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(P∨P)∧(Q∨Q),(P∨P)∨(Q∨Q),(P∨P)⇒(Q∨Q),¬(P∨P)
    [条件2]のAをP∨Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(P∨P)∧(Q⇒Q),(P∨P)∨(Q⇒Q),(P∨P)⇒(Q⇒Q),¬(P∨P)  

      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをPとした、(P⇒P)∧P,(P⇒P)∨P,(P⇒P)⇒P,¬(P⇒P)
      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQとした、(P⇒P)∧Q,(P⇒P)∨Q,(P⇒P)⇒Q,¬(P⇒P)
      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(P⇒P)∧(P∧P),(P⇒P)∨(P∧P),(P⇒P)⇒(P∧P),¬(P⇒P)
      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(P⇒P)∧(P∨P),(P⇒P)∨(P∨P),(P⇒P)⇒(P∨P),¬(P⇒P)
      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(P⇒P)∧(P⇒P),(P⇒P)∨(P⇒P),(P⇒P)⇒(P⇒P),¬(P⇒P)
      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(P⇒P)∧(¬P),(P⇒P)∨(¬P),(P⇒P)⇒(¬P),¬(P⇒P)
      [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(P⇒P)∧(P∧Q),(P⇒P)∨(P∧Q),(P⇒P)⇒(P∧Q),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(P⇒P)∧(P∨Q),(P⇒P)∨(P∨Q),(P⇒P)⇒(P∨Q),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(P⇒P)∧(P⇒Q),(P⇒P)∨(P⇒Q),(P⇒P)⇒(P⇒Q),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(P⇒P)∧(Q∧P),(P⇒P)∨(Q∧P),(P⇒P)⇒(Q∧P),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(P⇒P)∧(Q∨P),(P⇒P)∨(Q∨P),(P⇒P)⇒(Q∨P),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(P⇒P)∧(Q⇒P),(P⇒P)∨(Q⇒P),(P⇒P)⇒(Q⇒P),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(P⇒P)∧(¬Q),(P⇒P)∨(¬Q),(P⇒P)⇒(¬Q),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(P⇒P)∧(Q∧Q),(P⇒P)∨(Q∧Q),(P⇒P)⇒(Q∧Q),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(P⇒P)∧(Q∨Q),(P⇒P)∨(Q∨Q),(P⇒P)⇒(Q∨Q),¬(P⇒P)
    [条件2]のAをP⇒Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、  (P⇒P)∧(Q⇒Q),(P⇒P)∨(Q⇒Q),(P⇒P)⇒(Q⇒Q),¬(P⇒P)

      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをPとした、(¬P)∧P,(¬P)∨P,(¬P)⇒P,¬(¬P)
      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQとした、(¬P)∧Q,(¬P)∨Q,(¬P)⇒Q,¬(¬P)
      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(¬P)∧(P∧P),(¬P)∨(P∧P),(¬P)⇒(P∧P),¬(¬P)
      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(¬P)∧(P∨P),(¬P)∨(P∨P),(¬P)⇒(P∨P),¬(¬P)
      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(¬P)∧(P⇒P),(¬P)∨(P⇒P),(¬P)⇒(P⇒P),¬(¬P)
      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(¬P)∧(¬P),(¬P)∨(¬P),(¬P)⇒(¬P),¬(¬P)
      [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(¬P)∧(P∧Q),(¬P)∨(P∧Q),(¬P)⇒(P∧Q),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(¬P)∧(P∨Q),(¬P)∨(P∨Q),(¬P)⇒(P∨Q),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(¬P)∧(P⇒Q),(¬P)∨(P⇒Q),(¬P)⇒(P⇒Q),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(¬P)∧(Q∧P),(¬P)∨(Q∧P),(¬P)⇒(Q∧P),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(¬P)∧(Q∨P),(¬P)∨(Q∨P),(¬P)⇒(Q∨P),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(¬P)∧(Q⇒P),(¬P)∨(Q⇒P),(¬P)⇒(Q⇒P),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(¬P)∧(¬Q),(¬P)∨(¬Q),(¬P)⇒(¬Q),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(¬P)∧(Q∧Q),(¬P)∨(Q∧Q),(¬P)⇒(Q∧Q),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(¬P)∧(Q∨Q),(¬P)∨(Q∨Q),(¬P)⇒(Q∨Q),¬(¬P)
    [条件2]のAを¬Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、 (¬P)∧(Q⇒Q),(¬P)∨(Q⇒Q),(¬P)⇒(Q⇒Q),¬(¬P) 

      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをPとした、(P∧Q)∧P,(P∧Q)∨P,(P∧Q)⇒P,¬(P∧Q)
      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQとした、(P∧Q)∧Q,(P∧Q)∨Q,(P∧Q)⇒Q,¬(P∧Q)
      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(P∧Q)∧(P∧P),(P∧Q)∨(P∧P),(P∧Q)⇒(P∧P),¬(P∧Q)
      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(P∧Q)∧(P∨P),(P∧Q)∨(P∨P),(P∧Q)⇒(P∨P),¬(P∧Q)
      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(P∧Q)∧(P⇒P),(P∧Q)∨(P⇒P),(P∧Q)⇒(P⇒P),¬(P∧Q)
      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(P∧Q)∧(¬P),(P∧Q)∨(¬P),(P∧Q)⇒(¬P),¬(P∧Q)
      [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(P∧Q)∧(P∧Q),(P∧Q)∨(P∧Q),(P∧Q)⇒(P∧Q),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(P∧Q)∧(P∨Q),(P∧Q)∨(P∨Q),(P∧Q)⇒(P∨Q),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(P∧Q)∧(P⇒Q),(P∧Q)∨(P⇒Q),(P∧Q)⇒(P⇒Q),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(P∧Q)∧(Q∧P),(P∧Q)∨(Q∧P),(P∧Q)⇒(Q∧P),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(P∧Q)∧(Q∨P),(P∧Q)∨(Q∨P),(P∧Q)⇒(Q∨P),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(P∧Q)∧(Q⇒P),(P∧Q)∨(Q⇒P),(P∧Q)⇒(Q⇒P),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(P∧Q)∧(¬Q),(P∧Q)∨(¬Q),(P∧Q)⇒(¬Q),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(P∧Q)∧(Q∧Q),(P∧Q)∨(Q∧Q),(P∧Q)⇒(Q∧Q),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(P∧Q)∧(Q∨Q),(P∧Q)∨(Q∨Q),(P∧Q)⇒(Q∨Q),¬(P∧Q)
    [条件2]のAをP∧Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(P∧Q)∧(Q⇒Q),(P∧Q)∨(Q⇒Q),(P∧Q)⇒(Q⇒Q),¬(P∧Q)  
  
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをPとした、(P∨Q)∧P,(P∨Q)∨P,(P∨Q)⇒P,¬(P∨Q)
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQとした、(P∨Q)∧Q,(P∨Q)∨Q,(P∨Q)⇒Q,¬(P∨Q)
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(P∨Q)∧(P∧P),(P∨Q)∨(P∧P),(P∨Q)⇒(P∧P),¬(P∨Q)
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(P∨Q)∧(P∨P),(P∨Q)∨(P∨P),(P∨Q)⇒(P∨P),¬(P∨Q)
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(P∨Q)∧(P⇒P),(P∨Q)∨(P⇒P),(P∨Q)⇒(P⇒P),¬(P∨Q)
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(P∨Q)∧(¬P),(P∨Q)∨(¬P),(P∨Q)⇒(¬P),¬(P∨Q)
      [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(P∨Q)∧(P∧Q),(P∨Q)∨(P∧Q),(P∨Q)⇒(P∧Q),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(P∨Q)∧(P∨Q),(P∨Q)∨(P∨Q),(P∨Q)⇒(P∨Q),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(P∨Q)∧(P⇒Q),(P∨Q)∨(P⇒Q),(P∨Q)⇒(P⇒Q),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(P∨Q)∧(Q∧P),(P∨Q)∨(Q∧P),(P∨Q)⇒(Q∧P),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(P∨Q)∧(Q∨P),(P∨Q)∨(Q∨P),(P∨Q)⇒(Q∨P),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(P∨Q)∧(Q⇒P),(P∨Q)∨(Q⇒P),(P∨Q)⇒(Q⇒P),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(P∨Q)∧(¬Q),(P∨Q)∨(¬Q),(P∨Q)⇒(¬Q),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(P∨Q)∧(Q∧Q),(P∨Q)∨(Q∧Q),(P∨Q)⇒(Q∧Q),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(P∨Q)∧(Q∨Q),(P∨Q)∨(Q∨Q),(P∨Q)⇒(Q∨Q),¬(P∨Q)
    [条件2]のAをP∨Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(P∨Q)∧(Q⇒Q),(P∨Q)∨(Q⇒Q),(P∨Q)⇒(Q⇒Q),¬(P∨Q)  
  
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをPとした、(P⇒Q)∧P,(P⇒Q)∨P,(P⇒Q)⇒P,¬(P⇒Q)
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQとした、(P⇒Q)∧Q,(P⇒Q)∨Q,(P⇒Q)⇒Q,¬(P⇒Q)
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(P⇒Q)∧(P∧P),(P⇒Q)∨(P∧P),(P⇒Q)⇒(P∧P),¬(P⇒Q)
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(P⇒Q)∧(P∨P),(P⇒Q)∨(P∨P),(P⇒Q)⇒(P∨P),¬(P⇒Q)
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(P⇒Q)∧(P⇒P),(P⇒Q)∨(P⇒P),(P⇒Q)⇒(P⇒P),¬(P⇒Q)
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(P⇒Q)∧(¬P),(P⇒Q)∨(¬P),(P⇒Q)⇒(¬P),¬(P⇒Q)
      [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(P⇒Q)∧(P∧Q),(P⇒Q)∨(P∧Q),(P⇒Q)⇒(P∧Q),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(P⇒Q)∧(P∨Q),(P⇒Q)∨(P∨Q),(P⇒Q)⇒(P∨Q),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(P⇒Q)∧(P⇒Q),(P⇒Q)∨(P⇒Q),(P⇒Q)⇒(P⇒Q),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(P⇒Q)∧(Q∧P),(P⇒Q)∨(Q∧P),(P⇒Q)⇒(Q∧P),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(P⇒Q)∧(Q∨P),(P⇒Q)∨(Q∨P),(P⇒Q)⇒(Q∨P),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(P⇒Q)∧(Q⇒P),(P⇒Q)∨(Q⇒P),(P⇒Q)⇒(Q⇒P),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(P⇒Q)∧(¬Q),(P⇒Q)∨(¬Q),(P⇒Q)⇒(¬Q),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(P⇒Q)∧(Q∧Q),(P⇒Q)∨(Q∧Q),(P⇒Q)⇒(Q∧Q),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(P⇒Q)∧(Q∨Q),(P⇒Q)∨(Q∨Q),(P⇒Q)⇒(Q∨Q),¬(P⇒Q)
    [条件2]のAをP⇒Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(P⇒Q)∧(Q⇒Q),(P⇒Q)∨(Q⇒Q),(P⇒Q)⇒(Q⇒Q),¬(P⇒Q)  
  
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをPとした、(Q∧P)∧P,(Q∧P)∨P,(Q∧P)⇒P,¬(Q∧P)
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQとした、(Q∧P)∧Q,(Q∧P)∨Q,(Q∧P)⇒Q,¬(Q∧P)
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(Q∧P)∧(P∧P),(Q∧P)∨(P∧P),(Q∧P)⇒(P∧P),¬(Q∧P)
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(Q∧P)∧(P∨P),(Q∧P)∨(P∨P),(Q∧P)⇒(P∨P),¬(Q∧P)
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(Q∧P)∧(P⇒P),(Q∧P)∨(P⇒P),(Q∧P)⇒(P⇒P),¬(Q∧P)
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(Q∧P)∧(¬P),(Q∧P)∨(¬P),(Q∧P)⇒(¬P),¬(Q∧P)
      [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(Q∧P)∧(P∧Q),(Q∧P)∨(P∧Q),(Q∧P)⇒(P∧Q),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(Q∧P)∧(P∨Q),(Q∧P)∨(P∨Q),(Q∧P)⇒(P∨Q),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(Q∧P)∧(P⇒Q),(Q∧P)∨(P⇒Q),(Q∧P)⇒(P⇒Q),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(Q∧P)∧(Q∧P),(Q∧P)∨(Q∧P),(Q∧P)⇒(Q∧P),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(Q∧P)∧(Q∨P),(Q∧P)∨(Q∨P),(Q∧P)⇒(Q∨P),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(Q∧P)∧(Q⇒P),(Q∧P)∨(Q⇒P),(Q∧P)⇒(Q⇒P),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(Q∧P)∧(¬Q),(Q∧P)∨(¬Q),(Q∧P)⇒(¬Q),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(Q∧P)∧(Q∧Q),(Q∧P)∨(Q∧Q),(Q∧P)⇒(Q∧Q),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(Q∧P)∧(Q∨Q),(Q∧P)∨(Q∨Q),(Q∧P)⇒(Q∨Q),¬(Q∧P)
    [条件2]のAをQ∧Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、 (Q∧P)∧(Q⇒Q),(Q∧P)∨(Q⇒Q),(Q∧P)⇒(Q⇒Q),¬(Q∧P) 

      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをPとした、(Q∨P)∧P,(Q∨P)∨P,(Q∨P)⇒P,¬(Q∨P)
      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQとした、(Q∨P)∧Q,(Q∨P)∨Q,(Q∨P)⇒Q,¬(Q∨P)
      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(Q∨P)∧(P∧P),(Q∨P)∨(P∧P),(Q∨P)⇒(P∧P),¬(Q∨P)
      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(Q∨P)∧(P∨P),(Q∨P)∨(P∨P),(Q∨P)⇒(P∨P),¬(Q∨P)
      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(Q∨P)∧(P⇒P),(Q∨P)∨(P⇒P),(Q∨P)⇒(P⇒P),¬(Q∨P)
      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(Q∨P)∧(¬P),(Q∨P)∨(¬P),(Q∨P)⇒(¬P),¬(Q∨P)
      [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(Q∨P)∧(P∧Q),(Q∨P)∨(P∧Q),(Q∨P)⇒(P∧Q),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(Q∨P)∧(P∨Q),(Q∨P)∨(P∨Q),(Q∨P)⇒(P∨Q),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(Q∨P)∧(P⇒Q),(Q∨P)∨(P⇒Q),(Q∨P)⇒(P⇒Q),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(Q∨P)∧(Q∧P),(Q∨P)∨(Q∧P),(Q∨P)⇒(Q∧P),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(Q∨P)∧(Q∨P),(Q∨P)∨(Q∨P),(Q∨P)⇒(Q∨P),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(Q∨P)∧(Q⇒P),(Q∨P)∨(Q⇒P),(Q∨P)⇒(Q⇒P),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(Q∨P)∧(¬Q),(Q∨P)∨(¬Q),(Q∨P)⇒(¬Q),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(Q∨P)∧(Q∧Q),(Q∨P)∨(Q∧Q),(Q∨P)⇒(Q∧Q),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(Q∨P)∧(Q∨Q),(Q∨P)∨(Q∨Q),(Q∨P)⇒(Q∨Q),¬(Q∨P)
    [条件2]のAをQ∨Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(Q∨P)∧(Q⇒Q),(Q∨P)∨(Q⇒Q),(Q∨P)⇒(Q⇒Q),¬(Q∨P)  

      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをPとした、(Q⇒P)∧P,(Q⇒P)∨P,(Q⇒P)⇒P,¬(Q⇒P)
      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQとした、(Q⇒P)∧Q,(Q⇒P)∨Q,(Q⇒P)⇒Q,¬(Q⇒P)
      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(Q⇒P)∧(P∧P),(Q⇒P)∨(P∧P),(Q⇒P)⇒(P∧P),¬(Q⇒P)
      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(Q⇒P)∧(P∨P),(Q⇒P)∨(P∨P),(Q⇒P)⇒(P∨P),¬(Q⇒P)
      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(Q⇒P)∧(P⇒P),(Q⇒P)∨(P⇒P),(Q⇒P)⇒(P⇒P),¬(Q⇒P)
      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBを¬Pとした、(Q⇒P)∧(¬P),(Q⇒P)∨(¬P),(Q⇒P)⇒(¬P),¬(Q⇒P)
      [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(Q⇒P)∧(P∧Q),(Q⇒P)∨(P∧Q),(Q⇒P)⇒(P∧Q),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(Q⇒P)∧(P∨Q),(Q⇒P)∨(P∨Q),(Q⇒P)⇒(P∨Q),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(Q⇒P)∧(P⇒Q),(Q⇒P)∨(P⇒Q),(Q⇒P)⇒(P⇒Q),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(Q⇒P)∧(Q∧P),(Q⇒P)∨(Q∧P),(Q⇒P)⇒(Q∧P),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(Q⇒P)∧(Q∨P),(Q⇒P)∨(Q∨P),(Q⇒P)⇒(Q∨P),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(Q⇒P)∧(Q⇒P),(Q⇒P)∨(Q⇒P),(Q⇒P)⇒(Q⇒P),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBを¬Qとした、(Q⇒P)∧(¬Q),(Q⇒P)∨(¬Q),(Q⇒P)⇒(¬Q),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(Q⇒P)∧(Q∧Q),(Q⇒P)∨(Q∧Q),(Q⇒P)⇒(Q∧Q),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(Q⇒P)∧(Q∨Q),(Q⇒P)∨(Q∨Q),(Q⇒P)⇒(Q∨Q),¬(Q⇒P)
    [条件2]のAをQ⇒Pとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、 (Q⇒P)∧(Q⇒Q),(Q⇒P)∨(Q⇒Q),(Q⇒P)⇒(Q⇒Q),¬(Q⇒P) 

      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをPとした、(¬Q)∧P,(¬Q)∨P,(¬Q)⇒P,¬(¬Q)
      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQとした、(¬Q)∧Q,(¬Q)∨Q,(¬Q)⇒Q,¬(¬Q)
      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(¬Q)∧(P∧P),(¬Q)∨(P∧P),(¬Q)⇒(P∧P),¬(¬Q)
      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(¬Q)∧(P∨P),(¬Q)∨(P∨P),(¬Q)⇒(P∨P),¬(¬Q)
      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(¬Q)∧(P⇒P),(¬Q)∨(P⇒P),(¬Q)⇒(P⇒P),¬(¬Q)
      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(¬Q)∧(¬P),(¬Q)∨(¬P),(¬Q)⇒(¬P),¬(¬Q)
      [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(¬Q)∧(P∧Q),(¬Q)∨(P∧Q),(¬Q)⇒(P∧Q),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(¬Q)∧(P∨Q),(¬Q)∨(P∨Q),(¬Q)⇒(P∨Q),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(¬Q)∧(P⇒Q),(¬Q)∨(P⇒Q),(¬Q)⇒(P⇒Q),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(¬Q)∧(Q∧P),(¬Q)∨(Q∧P),(¬Q)⇒(Q∧P),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(¬Q)∧(Q∨P),(¬Q)∨(Q∨P),(¬Q)⇒(Q∨P),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(¬Q)∧(Q⇒P),(¬Q)∨(Q⇒P),(¬Q)⇒(Q⇒P),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(¬Q)∧(¬Q),(¬Q)∨(¬Q),(¬Q)⇒(¬Q),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(¬Q)∧(Q∧Q),(¬Q)∨(Q∧Q),(¬Q)⇒(Q∧Q),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(¬Q)∧(Q∨Q),(¬Q)∨(Q∨Q),(¬Q)⇒(Q∨Q),¬(¬Q)
    [条件2]のAを¬Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、 (¬Q)∧(Q⇒Q),(¬Q)∨(Q⇒Q),(¬Q)⇒(Q⇒Q),¬(¬Q) 
 
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをPとした、(Q∧Q)∧P,(Q∧Q)∨P,(Q∧Q)⇒P,¬(Q∧Q)
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQとした、(Q∧Q)∧Q,(Q∧Q)∨Q,(Q∧Q)⇒Q,¬(Q∧Q)
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(Q∧Q)∧(P∧P),(Q∧Q)∨(P∧P),(Q∧Q)⇒(P∧P),¬(Q∧Q)
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(Q∧Q)∧(P∨P),(Q∧Q)∨(P∨P),(Q∧Q)⇒(P∨P),¬(Q∧Q)
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(Q∧Q)∧(P⇒P),(Q∧Q)∨(P⇒P),(Q∧Q)⇒(P⇒P),¬(Q∧Q)
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(Q∧Q)∧(¬P),(Q∧Q)∨(¬P),(Q∧Q)⇒(¬P),¬(Q∧Q)
      [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(Q∧Q)∧(P∧Q),(Q∧Q)∨(P∧Q),(Q∧Q)⇒(P∧Q),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(Q∧Q)∧(P∨Q),(Q∧Q)∨(P∨Q),(Q∧Q)⇒(P∨Q),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(Q∧Q)∧(P⇒Q),(Q∧Q)∨(P⇒Q),(Q∧Q)⇒(P⇒Q),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(Q∧Q)∧(Q∧P),(Q∧Q)∨(Q∧P),(Q∧Q)⇒(Q∧P),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(Q∧Q)∧(Q∨P),(Q∧Q)∨(Q∨P),(Q∧Q)⇒(Q∨P),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(Q∧Q)∧(Q⇒P),(Q∧Q)∨(Q⇒P),(Q∧Q)⇒(Q⇒P),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(Q∧Q)∧(¬Q),(Q∧Q)∨(¬Q),(Q∧Q)⇒(¬Q),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(Q∧Q)∧(Q∧Q),(Q∧Q)∨(Q∧Q),(Q∧Q)⇒(Q∧Q),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(Q∧Q)∧(Q∨Q),(Q∧Q)∨(Q∨Q),(Q∧Q)⇒(Q∨Q),¬(Q∧Q)
    [条件2]のAをQ∧Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(Q∧Q)∧(Q⇒Q),(Q∧Q)∨(Q⇒Q),(Q∧Q)⇒(Q⇒Q),¬(Q∧Q) 

      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをPとした、(Q∨Q)∧P,(Q∨Q)∨P,(Q∨Q)⇒P,¬(Q∨Q)
      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQとした、(Q∨Q)∧Q,(Q∨Q)∨Q,(Q∨Q)⇒Q,¬(Q∨Q)
      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(Q∨Q)∧(P∧P),(Q∨Q)∨(P∧P),(Q∨Q)⇒(P∧P),¬(Q∨Q)
      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(Q∨Q)∧(P∨P),(Q∨Q)∨(P∨P),(Q∨Q)⇒(P∨P),¬(Q∨Q)
      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(Q∨Q)∧(P⇒P),(Q∨Q)∨(P⇒P),(Q∨Q)⇒(P⇒P),¬(Q∨Q)
      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(Q∨Q)∧(¬P),(Q∨Q)∨(¬P),(Q∨Q)⇒(¬P),¬(Q∨Q)
      [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(Q∨Q)∧(P∧Q),(Q∨Q)∨(P∧Q),(Q∨Q)⇒(P∧Q),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(Q∨Q)∧(P∨Q),(Q∨Q)∨(P∨Q),(Q∨Q)⇒(P∨Q),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(Q∨Q)∧(P⇒Q),(Q∨Q)∨(P⇒Q),(Q∨Q)⇒(P⇒Q),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(Q∨Q)∧(Q∧P),(Q∨Q)∨(Q∧P),(Q∨Q)⇒(Q∧P),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(Q∨Q)∧(Q∨P),(Q∨Q)∨(Q∨P),(Q∨Q)⇒(Q∨P),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(Q∨Q)∧(Q⇒P),(Q∨Q)∨(Q⇒P),(Q∨Q)⇒(Q⇒P),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(Q∨Q)∧(¬Q),(Q∨Q)∨(¬Q),(Q∨Q)⇒(¬Q),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(Q∨Q)∧(Q∧Q),(Q∨Q)∨(Q∧Q),(Q∨Q)⇒(Q∧Q),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(Q∨Q)∧(Q∨Q),(Q∨Q)∨(Q∨Q),(Q∨Q)⇒(Q∨Q),¬(Q∨Q)
    [条件2]のAをQ∨Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(Q∨Q)∧(Q⇒Q),(Q∨Q)∨(Q⇒Q),(Q∨Q)⇒(Q⇒Q),¬(Q∨Q) 

      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをPとした、(Q⇒Q)∧P,(Q⇒Q)∨P,(Q⇒Q)⇒P,¬(Q⇒Q)
      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQとした、(Q⇒Q)∧Q,(Q⇒Q)∨Q,(Q⇒Q)⇒Q,¬(Q⇒Q)
      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをP∧Pとした、(Q⇒Q)∧(P∧P),(Q⇒Q)∨(P∧P),(Q⇒Q)⇒(P∧P),¬(Q⇒Q)
      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをP∨Pとした、(Q⇒Q)∧(P∨P),(Q⇒Q)∨(P∨P),(Q⇒Q)⇒(P∨P),¬(Q⇒Q)
      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをP⇒Pとした、(Q⇒Q)∧(P⇒P),(Q⇒Q)∨(P⇒P),(Q⇒Q)⇒(P⇒P),¬(Q⇒Q)
      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBを¬Pとした、(Q⇒Q)∧(¬P),(Q⇒Q)∨(¬P),(Q⇒Q)⇒(¬P),¬(Q⇒Q)
      [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをP∧Qとした、(Q⇒Q)∧(P∧Q),(Q⇒Q)∨(P∧Q),(Q⇒Q)⇒(P∧Q),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをP∨Qとした、(Q⇒Q)∧(P∨Q),(Q⇒Q)∨(P∨Q),(Q⇒Q)⇒(P∨Q),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをP⇒Qとした、(Q⇒Q)∧(P⇒Q),(Q⇒Q)∨(P⇒Q),(Q⇒Q)⇒(P⇒Q),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQ∧Pとした、(Q⇒Q)∧(Q∧P),(Q⇒Q)∨(Q∧P),(Q⇒Q)⇒(Q∧P),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQ∨Pとした、(Q⇒Q)∧(Q∨P),(Q⇒Q)∨(Q∨P),(Q⇒Q)⇒(Q∨P),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQ⇒Pとした、(Q⇒Q)∧(Q⇒P),(Q⇒Q)∨(Q⇒P),(Q⇒Q)⇒(Q⇒P),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBを¬Qとした、(Q⇒Q)∧(¬Q),(Q⇒Q)∨(¬Q),(Q⇒Q)⇒(¬Q),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQ∧Qとした、(Q⇒Q)∧(Q∧Q),(Q⇒Q)∨(Q∧Q),(Q⇒Q)⇒(Q∧Q),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQ∨Qとした、(Q⇒Q)∧(Q∨Q),(Q⇒Q)∨(Q∨Q),(Q⇒Q)⇒(Q∨Q),¬(Q⇒Q)
    [条件2]のAをQ⇒Qとし、[条件2]のBをQ⇒Qとした、(Q⇒Q)∧(Q⇒Q),(Q⇒Q)∨(Q⇒Q),(Q⇒Q)⇒(Q⇒Q),¬(Q⇒Q) 

    *  (step3)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

 ・(step1)(step2)(step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]の A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
       A∧B,A∨B,A⇒B,¬Aが表す対象  (その列挙は省略)
  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step4)

    *  (step4)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step4)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)(step3)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 
 
 ・(step1)(step2)(step3)(step4)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の各々を、
  かわるがわる[定義-条件2]の A,B に代入し、
  代入するたび毎に、 
       A∧B,A∨B,A⇒B,¬Aが表す対象  (その列挙は省略)
  を、「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step5)

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→ 論理式:トピック一覧
→ 論理記号:トピック一覧 
→ 総目次  
  

定義 : 論理式の形成木 formation tree


・《2個の命題変数P,Qを含む論理式》A(P,Q)の形成木formation tree とは、

  論理式A(P,Q)が「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるプロセスを、

    P,Qの認定ステップから、

    A(P,Q)そのものの認定ステップまで、

  再現してたどり直し、




【文献】



 ・戸田山『論理学をつくる』2.2.2(p.26);3.5.2真理値割り当て(p.57)


 →1個の命題変数を含む論理式の形成木  
 →n個の命題変数を含む論理式の形成木

  各ステップで認定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」を特定した履歴のこと。


 → 【例】論理式「P∧Q」の形成木    
 → 【例】論理式「P∨Q」の形成木    


【例】論理式 (P∧Q)⇒(P∨Q) の形成木とは、
   論理式 (P∧Q)⇒(P∨Q) が論理式に認定される下記プロセスのこと。 

 ・[条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1) 

    * ここでの認定されたP,Qの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。 

 ・(step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「A∧B」の A,B に代入した「P∧Q」
  (step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「A∨B」の A,B に代入した「P∨Q」
  を、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

    *  (step2)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
       (step2)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
       定まる。 

 ・(step2)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された「P∧Q」「P∨Q」を
   [条件2]の「A⇒B」の A,B に代入した(P∧Q)⇒(P∨Q)を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)

    *  (step3)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

    [論理式認定プロセス完了]

【例】論理式 ((P∨Q)⇒(P∧Q))⇒P の形成木とは、
   論理式 ((P∨Q)⇒(P∧Q))⇒P が論理式に認定される下記プロセスのこと。 

 ・[条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1) 

    * ここでの認定されたP,Qの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。 

 ・(step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「A∨B」の A,B に代入した「P∨Q」
  (step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「A∧B」の A,B に代入した「P∧Q」
  を、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

    *  (step2)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
       (step2)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
       定まる。 

 ・(step2)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された「P∨Q」「P∧Q」を[条件2]の「A⇒B」の A,B に代入した(P∨Q)⇒(P∧Q)を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)

    *  (step3)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step3)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

 ・(step1)(step3)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された「(P∨Q)⇒(P∧Q)」「P」を、
  [条件2]の「A⇒B」の A,B に代入した「((P∨Q)⇒(P∧Q))⇒P 」を、
  「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step4)

    *  (step4)での認定と同時に、
       真理値決定原理(2-1)〜(2-4)に従って、
      (step4)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
       (step1)(step2)(step3)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
      定まる。 

    [論理式認定プロセス完了]


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部分論理式 subformula


・《2個の命題変数P,Qを含む論理式》A(P,Q)の部分論理式subformula とは、

    A(P,Q)の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式  

 のうち、

   A(P,Q)

 を除いたもの。

・戸田山は、
  論理式A(P1,P2,...,Pn) そのものは、「論理式A(P1,P2,...,Pn)の部分論理式」と呼ばない
 としているが、

 松本は、
  論理式A(P1,P2,...,Pn) そのものも含めて、「論理式A(P1,P2,...,Pn)の部分論理式」と呼ぶ
 と明言している。

【一般に】
 →1個の命題変数を含む論理式の部分論理式  
 →n個の命題変数を含む論理式の部分論理式




【文献】
 ●戸田山『論理学をつくる』2.2.5(p.34)
 ・松本『数理論理学』1.1(p.3)