命題論理の意味論 − 論理式の真理値の決定原理 : トピック一覧・論理式の真理値の決定原理:→ 原子式の真理値定義 → 《¬論理式》の真理値定義/《論理式∧論理式》の真理値定義/《論理式∨論理式》の真理値定義 → 《論理式⇒論理式》の真理値定義 ※論理関連ページ : 命題論理の論理式 /命題論理の意味論[真理値/真理域・真理値集合/付値/真理関数/真理値表/真理値分析] 論理記号一覧 * 論理目次/総目次/更新履歴 ※述語論理の場合は、林晋,鹿島亮を参照。 |
n個の命題変数P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式の真理値は、以下の原理で定める。
(1) P1,P2,...,Pnの真理値定義
これから真理値を定めたい「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」が、
命題変数P1,P2,...,Pnそのものである場合、
その命題変数の真理値をそのまま流用して、「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」の真理値とする。
つまり、
「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」としてのP1の真理値=命題変数としてのP1の真理値
「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」としてのP2の真理値=命題変数としてのP2の真理値
: :
「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」としてのPnの真理値=命題変数としてのPnの真理値
と定める。
※この規定により、
「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」認定プロセスstep1で
「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」に認定されたP1,P2,...,Pn
の各々すべてについて、真理値が定まったことになる。
(2-1) ¬A(P1,P2,...,Pn)の真理値定義
これから真理値を定めたい「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」が、
否定子¬に、
真理値確定済みの「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」A(P1,P2,...,Pn)
を結合した
¬A(P1,P2,...,Pn)
である場合、
¬A(P1,P2,...,Pn)の真理値を、A(P1,P2,...,Pn)の真理値にもとづいて、次のとおり定める。
・A(P1,P2,...,Pn)の真理値が偽のとき、¬A(P1,P2,...,Pn)の真理値を真に定める。
・A(P1,P2,...,Pn)の真理値が真のとき、¬A(P1,P2,...,Pn)の真理値を真に定める。
つまり、
M(A(P1,P2,...,Pn))=偽のとき、 M(¬A(P1,P2,...,Pn))=真
M(A(P1,P2,...,Pn))=真のとき、 M(¬A(P1,P2,...,Pn))=偽
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→ 論理式の真理値の決定原理 |
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これから真理値を定めたい「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」が
真理値確定済みの「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」A(P1,P2,...,Pn),B(P1,P2,...,Pn)
を∧で結合した
A(P1,P2,...,Pn)∧B(P1,P2,...,Pn)
である場合、
A(P1,P2,...,Pn)∧B(P1,P2,...,Pn)の真理値を、
《A(P1,P2,...,Pn)の真理値》《B(P1,P2,...,Pn)の真理値》の組み合わせ
にもとづいて、
次のとおり定める。
・A(P1,P2,...,Pn),B(P1,P2,...,Pn)の真理値がともに真のとき、
A(P1,P2,...,Pn)∧B(P1,P2,...,Pn)の真理値を真に定める。
・それ以外のときは、A(P1,P2,...,Pn)∧B(P1,P2,...,Pn)の真理値を偽に定める。
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【例】論理式「P∧Q」の真理値
(2-3) A(P1,P2,...,Pn)∨B(P1,P2,...,Pn)の真理値定義
これから真理値を定めたい「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」が
真理値確定済みの「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」A(P1,P2,...,Pn),B(P1,P2,...,Pn)
を∨で結合した
A(P1,P2,...,Pn)∨B(P1,P2,...,Pn)
である場合、
A(P1,P2,...,Pn)∨B(P1,P2,...,Pn)の真理値を、
《A(P1,P2,...,Pn)の真理値》《B(P1,P2,...,Pn)の真理値》の組み合わせ
にもとづいて、
次のとおり定める。
・A(P1,P2,...,Pn),B(P1,P2,...,Pn)の真理値がともに偽のとき、
A(P1,P2,...,Pn)∨B(P1,P2,...,Pn)の真理値を偽に定める。
・それ以外のときは、A(P1,P2,...,Pn)∨B(P1,P2,...,Pn)の真理値を真に定める。
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→ 論理式の真理値の決定原理 |
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(2-4) A(P1,P2,...,Pn)⇒B(P1,P2,...,Pn)の真理値定義
これから真理値を定めたい「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」が
真理値確定済みの「P1,P2,...,Pnから帰納的に定義される論理式」A(P1,P2,...,Pn),B(P1,P2,...,Pn)
を⇒で結合した
A(P1,P2,...,Pn)⇒B(P1,P2,...,Pn)
である場合、
A(P1,P2,...,Pn)⇒B(P1,P2,...,Pn)の真理値を、
《A(P1,P2,...,Pn)の真理値》《B(P1,P2,...,Pn)の真理値》の組み合わせ
にもとづいて、
次のとおり定める。
・A(P1,P2,...,Pn)の真理値が真で、B(P1,P2,...,Pn)の真理値が偽のとき、
A(P1,P2,...,Pn)⇒B(P1,P2,...,Pn)の真理値を偽に定める。
・それ以外のときは、A(P1,P2,...,Pn)⇒B(P1,P2,...,Pn)の真理値を真に定める。
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【例】 論理式「P⇒Q」の真理値
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