命題論理の意味論 − 真理値分析 : トピック一覧  

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論理式の真理値の決定原理 
真理値分析   

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 総目次

※述語論理の場合は、林晋,鹿島亮を参照。



真理値分析  truth-value-analysis  〜 2個の命題変数を含む論理式について

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【真理値分析とは?】

命題変数P,Qのみを含む論理式A(P,Q) についての真理値分析とは、

 [目的]

  論理式A(P,Q)の真理関数 
   すなわち、
   《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)に対して、
   《論理式A(P,Q)の真偽》を対応づける規則
  を明らかにするために、

 [方法]

  論理式の真理値の決定原理に従って、   
【真理値分析の一般化】
 →1個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析
 →n個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析  




【文献】
 ・野矢『論理学』1-1-4(p.35).      
 ・戸田山『論理学をつくる』3.2(p.41);3.5(p.54) ;
 ●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何をやることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8):真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。



 ・清水『記号論理学』§1.2(p.12)"truth value analysis"。

  A(P,Q)の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式真理値を、
  順次確定していくことによって、

 [作業]

  論理式A(P,Q) の真理値表を書き出す作業
    すなわち、《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)(22通り)に対応する《論理式A(P,Q)の真偽》を書き出す作業 

 のこと。



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【真理値分析の手順】

命題変数P,Qを含む論理式A(P,Q) についての真理値分析の詳細は、
 下記の通り。

 [手順1]

  A(P,Q)の形成木 
   すなわち、
     論理式A(P,Q)がP,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるプロセスを、
     P,Qの認定ステップから、
     A(P,Q)そのものの認定ステップまで、
     再現してたどり直し、
     各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるプロセスを特定した履歴
  を作成。 

 [手順2]

  《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)に対する、
       A(P,Q)の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式真理値を、
        P,Qの認定ステップから、
        A(P,Q)そのものの認定ステップまで、
        順次各ステップごとに、
        論理式の真理値の決定原理に従って確定していく 

 [手順3]

     結果を真理値表にまとめる。




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【真理値分析の例】

 → 【例】 論理式「PQ」の真理値分析  
 → 【例】 論理式「PQ」の真理値分析  
 → 【例】 論理式「PQ」の真理値分析  


【例2】論理式 (PQ)⇒(PQ) についての真理値分析  

 [手順1] 論理式 (PQ)⇒(PQ) の形成木を作成

        (step1) P,Q の各々を、 P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。

        (step2) PQ 、PQ を、P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。

        (step3) (PQ)⇒(PQ) を、P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。

 [手順2] 《命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ》の各々(付値)に対する、
        PQ の形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式真理値を、
      論理式の真理値の決定原理に従って確定。

        (step1) [付値1] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
                  P真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
                  Q真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
            [付値2] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
                  P真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
                  Q真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
            [付値3] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
                  P真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
                  Q真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
            [付値4] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
                  P真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
                  Q真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
            
        (step2) [付値1] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「真」。
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-3)より、「真」。
            [付値2] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-3)より、「真」。
            [付値3] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-3)より、「真」。
            [付値4] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-2)より、「偽」。
                  PQ真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-3)より、「偽」。

        (step3) [付値1] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
                  (PQ)⇒(PQ)真理値は、(step2)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
            [付値2] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
                  (PQ)⇒(PQ)の真理値は、(step2)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
            [付値3] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
                  (PQ)⇒(PQ)の真理値は、(step2)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
            [付値4] 命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
                  (PQ)⇒(PQ)の真理値は、(step2)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。

 [手順3]

     結果を真理値表にまとめる。

 【 論理式 (PQ)⇒(PQ)真理値表 】 

P  Q 

 論理式 PQ 

 論理式 PQ 

 論理式 (PQ)⇒(PQ) 

[付値1] P,Q真理値の組み合わせ「真-真」を与える→
 真   真   真 
[付値2] P,Q真理値の組み合わせ「真-偽」を与える→  真   偽   真 
[付値3] P,Q真理値の組み合わせ「偽-真」を与える→
[付値4] P,Q真理値の組み合わせ「偽-偽」を与える→


   ※このように、すべての付値に対して、真理値が真となる論理式恒真命題という。







【例3】論理式 ((PQ)⇒(PQ))⇒P








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