命題論理の論理式「P⇒Q」の意味論　：　トピック一覧　　

・論理式P⇒Qの呼称　[　条件法・含意　/　前件・後件　]　/　論理式P⇒Qの読み　　
・論理式「P⇒Q」の真理値
・論理式「P⇒Q」の付値 / 論理式「P⇒Q」の真理関数 / 論理式P⇒Qの真理値表  　　
・論理式「P⇒Q」の形成木 / 論理式「P⇒Q」の真理値分析　
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P⇒Qの呼称・読み 　　　

【呼称】

・論理式「P⇒Q」は、
　　「条件法」「条件文」conditional
　　「含意」implicature, implication 　
　などと呼ばれる。　　

・論理式「P⇒Q」におけるPは、
　　前件antecedent
　論理式「P⇒Q」におけるQ は、　
　　後件consequent
　と呼ばれる。[戸田山;野矢]

【読み下し】

　論理式「P⇒Q」は、
　　「PならばQ」　　"if P , thenQ",
　　　　　　　　　　"Q,if P ","P,only if Q"[戸田山p.42]
　　「PであるときQ」"when P , Q"
　などと読み下される。




【文献】
　・中谷『論理』2.1.A(pp.29-32)条件文conditional「命題変数p→命題変数q, pならばq . if p,then q」前件・後件、¬(p∧¬q),¬p∨qで定義。論理式A→論理式Bがトートロジーであるとき、A⇒B(A imply B, A yields B, AはBを導く・含意する)と書く。

【文献】
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。条件法conditonal, 「もし-ならば- if-,then-」「-であるとき- when-,-」記号⊃、§1.2.2)表1.2真理値表
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3条件法conditional「もし〜ならば」記号→「質料含意material implicationとも言う」(p.20); 2.2.5 定義(6)前件antecedent,後件consequent (p.34);3.1.2(2)(p.38)真理値表;3.1.2(2)(pp.39-40)日本語のならばの語感との違い。
　　　　　　　　　　　　　　　3.2.2(pp.42-43)A→B"A,only if B",B→A"A,if B"　3.10日本語の「ならば」と論理学の「→」(p.81)
　・野矢『論理学』1-1-2(4)(p.20)条件法conditonal P⊃Q「PならばQ」　;　条件法(pp.28-33).前件・後件・対偶・逆・裏
　・戸次 『数理論理学』3.1.1含意implicatureψ→φ　ならば(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.14-15) p→q 前件、後件。表1.4:真理値表
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.4.含意implication ⊃　真理値表(p.3)
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2

　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)

論理式「P⇒Q」の真理値　　 truth-value 　　　


・論理式「P⇒Q」の真理値は、
　　命題変数Pの真理値
　　命題変数Qの真理値
　の組み合わせに依存して、決まる。


・論理式「P⇒Q」の真理値が偽になるのは、
　《命題変数Pの真理値》が真なのに、《命題変数Qの真理値》が偽のときだけ。


・それ以外のとき、
　　論理式「P⇒Q」の真理値は真。
　　　　　　[野矢;松本]


*　まとめると？　　→　論理式P⇒Qの真理値表　　　　
*　どうして？　　→　論理式「P⇒Q」の真理値分析　　　　　　　　　




【文献】
　・中谷『論理』2.1.A(pp.29-32)条件文conditional「命題変数p→命題変数q, pならばq . if p,then q」前件・後件、¬(p∧¬q),¬p∨qで定義。論理式A→論理式Bがトートロジーであるとき、A⇒B(A imply B, A yields B, AはBを導く・含意する)と書く。
【文献】
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。条件法conditonal, 「もし-ならば- if-,then-」「-であるとき- when-,-」記号⊃、§1.2.2)表1.2真理値表
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3条件法conditional「もし〜ならば」記号→「質料含意material implicationとも言う」(p.20); 2.2.5 定義(6)前件antecedent,後件consequent (p.34);3.1.2(2)(p.38)真理値表;3.1.2(2)(pp.39-40)日本語のならばの語感との違い。
　　　　　　　　　　　　　　　　3.10日本語の「ならば」と論理学の「→」(p.81)
　●野矢『論理学』1-1-2(4)(p.20)条件法conditonal P⊃Q「PならばQ」　;　条件法(pp.28-33).
　・戸次 『数理論理学』3.1.1含意implicatureψ→φ　ならば(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.14-15) p→q 前件、後件。表1.4:真理値表
　●松本『数理論理学』1.1.A.b.4.含意implication ⊃　真理値表(p.3)
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)






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論理式「P⇒Q」の付値　　valuation 　　　

命題変数Pを含む論理式「P⇒Q」の付値　は、
　　　　　[付値1-1]　命題変数Pに真理値「真」を与え、命題変数Qに真理値「真」を与える
　　　　　[付値1-2]　命題変数Pに真理値「真」を与え、命題変数Qに真理値「偽」を与える
　　　　　[付値2-1]　命題変数Pに真理値「偽」を与え、命題変数Qに真理値「真」を与える
　　　　　[付値2-2]　命題変数Pに真理値「偽」を与え、命題変数Qに真理値「偽」を与える
　 の22＝4通り存在する。　　

*　付値って？　→　付値の定義　




【文献】

　・松本『数理論理学』1.1 定義2(p.4)


論理式「P⇒Q」の真理関数 truth function　,truth -value function


はじめに読む定義

・命題変数P,Qを含む論理式P⇒Qの真理関数とは、
　「《命題変数Pの真偽》と《命題変数Qの真偽》の組み合わせ」のおのおの(付値)に、
　《論理式P⇒Qの真偽》を対応づける規則のこと。

*　その規則って、どんなの？　→　P⇒Qの真理値 / 論理式P⇒Qの真理値表　　　　

厳密な定義　〜　「真理値」「関数」の概念を用いて

・論理式「P⇒Q」の真理関数とは、
　　「《命題変数Pの真理値》 M(P) と《命題変数Qの真理値》 M(Q) の組み合わせ」の各々(付値)に、
　　論理式「P⇒Q」の真理値 M(P⇒Q)
　　を対応づける関数
　　　M(P⇒Q) ＝   f⇒ ( M(P) , M(Q) )
　　のこと。

*　この関数f⇒って、どんなの？　→　P⇒Qの真理値 / 論理式P⇒Qの真理値表　　　

厳密な定義　〜　「真理域」「写像」の概念を用いて
・論理式P⇒Qの真理関数とは、
　　《命題変数Pの真理域》と《命題変数Qの真理域》の直積から、
　　《論理式「P⇒Q」の真理域》への写像　
　　　 f⇒: 「Pの真理域」×「Qの真理域」→「論理式P⇒Qの真理域」
　　のこと。

*　この写像 f⇒ って、どんなの？　→　P⇒Qの真理値 / 論理式P⇒Qの真理値表　　




【文献】
　・中谷『論理』2.1.A(pp.29-32)条件文conditional「命題変数p→命題変数q, pならばq . if p,then q」前件・後件、¬(p∧¬q),¬p∨qで定義。論理式A→論理式Bがトートロジーであるとき、A⇒B(A imply B, A yields B, AはBを導く・含意する)と書く。
【文献】
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。条件法conditonal, 「もし-ならば- if-,then-」「-であるとき- when-,-」記号⊃、§1.2.2)表1.2真理値表
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3条件法conditional「もし〜ならば」記号→「質料含意material implicationとも言う」(p.20); 2.2.5 定義(6)前件antecedent,後件consequent (p.34);3.1.2(2)(p.38)真理値表;3.1.2(2)(pp.39-40)日本語のならばの語感との違い。
　　　　　　　　　　　　　　　　3.10日本語の「ならば」と論理学の「→」(p.81)
　・野矢『論理学』1-1-2(4)(p.20)条件法conditonal P⊃Q「PならばQ」　;　条件法(pp.28-33).
　・戸次 『数理論理学』3.1.1含意implicatureψ→φ　ならば(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.14-15) p→q 前件、後件。表1.4:真理値表
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.4.含意implication ⊃　真理値表(p.3)
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)

　


論理式P⇒Qの真理関数の真理値表


・論理式P⇒Q の真理値表は、下表の通り。
P
 Q
 P⇒Q
真 真 真
真 偽 偽
偽 真 真
偽 偽 真
　　　　　


*　なんで、こうなるの？
　　→　論理式「P⇒Q」の真理値分析　


・論理式P⇒Q の真理値表は、

　　論理式P⇒Q の真理関数 f⇒ のグラフ　　
　　　すなわち、




【文献】
　・中谷『論理』2.1.A(pp.29-32)条件文conditional「命題変数p→命題変数q, pならばq . if p,then q」前件・後件、¬(p∧¬q),¬p∨qで定義。論理式A→論理式Bがトートロジーであるとき、A⇒B(A imply B, A yields B, AはBを導く・含意する)と書く。
【文献】
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。条件法conditonal, 「もし-ならば- if-,then-」「-であるとき- when-,-」記号⊃、§1.2.2)表1.2真理値表
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3条件法conditional「もし〜ならば」記号→「質料含意material implicationとも言う」(p.20); 2.2.5 定義(6)前件antecedent,後件consequent (p.34);3.1.2(2)(p.38)真理値表;3.1.2(2)(pp.39-40)日本語のならばの語感との違い。
　　　　　　　　　　　　　　　　3.10日本語の「ならば」と論理学の「→」(p.81)
　・野矢『論理学』1-1-2(4)(p.20)条件法conditonal P⊃Q「PならばQ」　;　条件法(pp.28-33).
　・戸次 『数理論理学』3.1.1含意implicatureψ→φ　ならば(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.14-15) p→q 前件、後件。表1.4:真理値表
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.4.含意implication ⊃　真理値表(p.3)
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2

　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)


　　　命題変数P,Qの真理値( M(P),M(Q) )と  f⇒( M(P),M(Q) )との順序対 (( M(P),M(Q) ), f⇒(M(P),M(Q)) ) をすべて集めた集合
　を、表に書き出したものにあたる。　[戸次3.2.3(p.35)]
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論理式「P⇒Q」の形成木　formation tree

・《2個の命題変数P,Qを含む論理式》P⇒Qの形成木formation tree とは、

　　P⇒Q が「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定されるに至ったプロセスを、

　　　　P,Qの認定ステップから、

　　　　P⇒Q そのものの認定ステップまで、

　　再現してたどり直し、
 【一般的に】
　→2個の命題変数を含む論理式の形成木


【文献】

　・戸田山『論理学をつくる』2.2.2(p.26);3.5.2真理値割り当て(p.57)


　　各ステップで認定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」を特定した下記履歴のこと。

　(step1)　[条件1]より、 P,Qの各々を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。　

　　　　* ここでの認定されたP,Qの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。　

　(step2)　(step1)で「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定された P,Qを、[条件2]の「A⇒B」の A,B に代入した
　　　　　　　P⇒Q
　　　　　を「P,Qから帰納的に定義される論理式」に認定。

　　　　* 　(step2)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-2)に従って、
　　　　　　　(step2)で認定された「P,Qから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)で認定され、真理値も確定した「P,Qから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　　定まる。

　　　　[論理式認定プロセス完了]


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P⇒Qの真理値分析　 truth-value-analysis  

　→　真理値分析とは？
　→　真理値分析の手順

【真理値分析とは？】

・命題変数P,Qのみを含む論理式P⇒Qについての真理値分析とは、

　[目的]

　　論理式P⇒Qの真理関数　
　　　すなわち、
　　　《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)に対して、
　　　《論理式P⇒Qの真偽》を対応づける規則
　　を明らかにするために、

　[方法]

　　論理式の真理値の決定原理に従って、　　　
 【真理値分析の一般】
　→2個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析
　→n個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析 　


【文献】
　・野矢『論理学』1-1-4(p.35). 　　　　　
　・戸田山『論理学をつくる』3.2(p.41);3.5(p.54)　;
　●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何をやることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8)：真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。



　・清水『記号論理学』§1.2(p.12)"truth value analysis"。

　　P⇒Qの形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式の真理値を、
　　順次確定していくことによって、

　[作業]

　　論理式P⇒Qの真理値表を書き出す作業
　　　　すなわち、《命題変数Pの真偽,命題変数Qの真偽の組み合わせ》の各々(付値)(22通り)に対応する《論理式P⇒Qの真偽》を書き出す作業　

　のこと。

【真理値分析の手順】

 　[手順1]　論理式　P⇒Q　の形成木を作成

　　　　　　　　(step1)　P,Qの各々を、 P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step2)　P⇒Q　を、P,Qから帰納的に定義される論理式に認定。

　[手順2]　《命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ》の各々(付値)に対する、
　　　　　　　　P⇒Qの形成木の各ステップで認定したP,Qから帰納的に定義される論理式の真理値を、
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。

　　　　　　　　(step1)　[付値1]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値2]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　[付値3]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値4]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Qの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。

　　　　　　　　(step2)　[付値1]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P⇒Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値2]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「真-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P⇒Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　[付値3]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P⇒Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　[付値4]　命題変数P,Qに与えた真理値の組み合わせ「偽-偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P⇒Qの真理値は、(step1)と論理式の真理値の決定原理(2-4)より、「真」。

　[手順3]

     結果を真理値表にまとめる。
　【　論理式　P⇒Q の真理値表　】　

 P 　Q　

　論理式　P⇒Q　

[付値1]　P,Qに真理値の組み合わせ「真-真」を与える→
 　真　 　真　 　真　
[付値2]　P,Qに真理値の組み合わせ「真-偽」を与える→ 　真　 　偽　 　偽　
[付値3]　P,Qに真理値の組み合わせ「偽-真」を与える→ 偽 真 真
[付値4]　P,Qに真理値の組み合わせ「偽-偽」を与える→ 偽 偽 真


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