集合から論理へ　：　トピック一覧

【基本】

　・定義：集合の内包　

【元と集合の関係を表す述語・命題関数】

　・性質：∈を表す述語・命題関数/ ∈の否定を表す述語・命題関数

【集合から演算によってつくられた集合の内包】

　・性質：積集合の内包をなす述語・命題関数/和集合の内包をなす述語・命題関数/補集合の内包をなす述語・命題関数/差集合の内包をなす述語・命題関数
　・性質：普遍集合を表す「述語・命題関数の属性」…扱う集合の内包をなす述語・命題関数の議論領域　

【集合間関係を表す命題】

　・性質：集合間の包含関係⊂を表す命題/集合間の一致＝を表す命題/普遍集合との一致を表す命題/空集合との一致を表す命題/互いに素を表す命題　
　　　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6) 　・中谷『論理』 5.2-C(p.111)

　【言葉で】

　　・「集合Aと集合Bの共通部分」の内包は、「『《集合Aの内包》かつ《集合Bの内包》』。

　　・「集合Aと集合Bの共通部分」は、「『《集合Aの内包をなす性質・条件》かつ《集合Bの内包をなす性質・条件》』の真理集合」に一致。

　　・「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の共通部分」は、「『性質・条件Pかつ性質・条件Q』の真理集合」に一致。

　【記号で】

　　・{ x | P(x) }∩{ x | Q(x) }  の内包は、述語・命題関数「P(x) かつ Q(x)」

　　　つまり、
　
　　　{ x | P(x) }∩{ x | Q(x) } ＝ { x | P(x) かつ Q(x) } 　[中谷(5-17)(p.111)]

　　・A＝{ x | P(x) } 、B＝{ x | Q(x) } という設定のもとで、

　　　　A∩B ＝ { x' | x'∈Aかつx'∈B } ＝ { x' | P(x') かつ Q(x') } 　
　　　
　　※なぜ？
　　　　・A∩B ＝ { x' | x'∈Aかつx'∈B } は、∩の定義。
　　　　・ { x' | x'∈Aかつx'∈B } ＝ { x' | P(x') かつ Q(x') } は、
　　　　　x'∈A＝{ x | P(x) } と P(x’) は、互いに言い換えてよく（∵）。
　　　　　x'∈B＝{ x | Q(x) } と Q(x') は、互いに言い換えてよいから（∵）。　　　　
　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6) 　・中谷『論理』 5.2-B(pp.107-8);D(p.115)

　【言葉で】

　　・「集合Aと集合Bの合併」の内包は、「『集合Aの内包』または『集合Bの内包』」。

　　・「集合Aと集合Bの合併」は、「『集合Aの内包をなす性質・条件』または『集合Bの内包をなす性質・条件』の真理集合」に一致。

　　・「『性質・条件P または 性質・条件Q』の真理集合」は、「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の合併」に一致。

　【記号で】

　　・{ x | P(x) }∪{ x | Q(x) }  の内包は、述語・命題関数「P(x) または Q(x)」

　　　つまり、
　　　{ x | P(x) }∪{ x | Q(x) } ＝ { x | P(x) または Q(x) } 　[中谷(5-11)(p.108)]

　　・A＝{ x | P(x) } 、B＝{ x | Q(x) } という設定のもとで、
　　　　A∪B ＝ { x' | x'∈A または x'∈B } ＝ { x' | P(x') または Q(x') } 　
　　　
　※なぜ？
　　　・　A∪B ＝ { x' | x'∈Aまたはx'∈B } は、∪の定義。
　　　・　 { x' | x'∈Aまたはx'∈B } ＝ { x' | P(x') または Q(x') } は、
　　　　　x'∈A＝{ x | P(x) } と P(x’) は、互いに言い換えてよく（∵）。
　　　　　x'∈B＝{ x | Q(x) } と Q(x') は、互いに言い換えてよいから（∵）。

	[文献] 　・中谷『論理』 5.2-A(pp.105-6) 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.36-8)

　【言葉で】

　　・「集合Aの補集合」の内包は、「『集合Aの内包』の否定」。

　　・「集合Aの補集合」は、「『集合Aの内包を満たさない』の真理集合」に一致。

　　・「『性質・条件Pの真理集合』の補集合」は、「『性質・条件Pを満たさない』の真理集合」に一致。

　【記号で】

　　・　P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数という設定のもとで、

　　　　{ x∈Ω | P(x) }^c   の内包は、述語・命題関数「¬P(x)」。

　　　　つまり、

　　　　　　{ x∈Ω | P(x) }^c ＝  { x'∈Ω | ¬ P(x') }  　[中谷(5-5)(p.106)]

　　・　P(x) は「Ωを議論領域とする述語・命題関数」、　A＝{ x∈Ω | P(x) }　という設定のもとで、

　　　　　A^c ＝ { x'∈Ω |  x'A } ＝ { x'∈Ω | ¬ P(x') }  　

　　　　　　このとき、 ¬ P(x) も「Ωを議論領域とする述語・命題関数」となる点に注意。　

　　　※なぜ？
　　　　・A^c ＝ { x'∈Ω |  x'A } は、A^c の定義。
　　　　・x' A＝{x∈Ω|P(x)} と ¬ P(x')　は、互いに言い換えてよいから（∵）、 { x'∈Ω |  x'A } ＝ { x'∈Ω | ¬ P(x') } 。 

	[文献] 　・中谷『論理』 5.2-A(p.10７) 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.3９-41) 　・前原『記号論理入門』 第1章§6-6(p.15)

　【言葉で】

　　・「集合A−B」の内包は、「『集合Aの内包』 かつ 『集合Bの内包の否定』」。

　　・「集合A−B」の内包は、「『集合Aの内包』 かつ 『集合Bの内包を満たさない』」の真理集合に一致。

　　・「『性質・条件Pの真理集合』−『性質・条件Qの真理集合』」は、
　　　　　「『性質・条件Pを満たさない』の真理集合」に一致。

　【記号で】

　　・P(x) , Q(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数という設定のもとで、

　　　　{ x∈Ω | P(x) } − { x∈Ω | Q(x) } の内包は、述語・命題関数「P(x) かつ ¬ Q(x) 」。

　　　つまり、

　　　　　{ x∈Ω | P(x) } − { x∈Ω | Q(x) } ＝  { x'∈Ω | P(x') かつ ¬ Q(x') }  　[中谷(5-5)(p.106)]

　　・P(x) は「Ωを議論領域とする述語・命題関数」、　A＝{ x∈Ω | P(x) } , B＝{ x∈Ω | Q(x) } 　という設定のもとで、

　　　　　A−B ＝ { x'∈Ω |  x'∈A かつ x'B } ＝ { x'∈Ω | P(x') かつ ¬ Q(x') }  　

　　　　　　このとき、 P(x') かつ ¬ Q(x') も「Ωを議論領域とする述語・命題関数」となる点に注意。　

　　　※なぜ？
　　　　・A−B ＝ { x'∈Ω |  x'∈A かつ x'B }は、A−Bの定義。
　　　　・x'∈A＝{x∈Ω|P(x)} と P(x')　は、互いに言い換えてよい（∵） 。 
　　　　　x'B＝{x∈Ω|Q(x)} と ¬ Q(x')　も、互いに言い換えてよい（∵）。
　　　　　　したがって、{ x'∈Ω |  x'∈A かつ x'B } ＝ { x'∈Ω | P(x') かつ ¬ Q(x') }。