集合族family of sets、集合列の性質

※集合族・集合列についての関連ページ：集合族・集合列の定義/写像と集合族・集合列の性質

1.和集合unionの性質

1a.集合族の場合
・	集合族{Aλ}λ∈Λ　におけるすべてのAλを含む様々な集合のなかで、 集合族{Aλ}λ∈Λ　の和集合が最小。	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C (p. 45);
・	集合族{Aλ}λ∈ΛにおけるすべてのAλを、「集合族{Aλ}λ∈Λの和集合」は含む。  すなわち、　∀λ∈Λに対してAλ⊂ ∪ Aλ λ∈Λ
・	集合族{Aλ}λ∈Λ　におけるすべてのAλを、集合Zが含むならば、 　　　集合族{Aλ}λ∈Λ　の和集合を集合Zは含む　  すなわち、[ (∀λ∈Λ) (Aλ⊂Z）] ⇒　 ∪ Aλ ⊂Z λ∈Λ
※	集合族 {Aλ}λ∈Λ　の値域は、集合系(集合の集合)であり、 集合族 {Aλ}λ∈Λ　のunionは、この集合系のunionである。 だから、{Aλ}λ∈Λ　 のunionの性質は、集合系のunionの性質を継承する。 ここで述べた集合族{Aλ}λ∈Λのunionの性質も、集合系のunionの次の性質に他ならない。
	（例） 　Λ＝{A,B,C,D,E,F}　とする集合族{Aλ}λ∈Λ　は、 　　　　集合AA,AB,AC,AD,AE,AF　からなるが、 　　　　これを略して、集合A, B, C, D, E, Fと書くことにする。　 　　　　集合A, B, C, D, E, Fが右図のようになっているならば、 集合族{Aλ}λ∈Λの和集合 ∪ Aλ λ∈Λ 　　　　は、下図青色部分となる。 　　　　集合A,B,C,D,E,Fすべてを含む様々な集合（たとえば、下図Z）のうちで 　　　　最小のものは、 　　　　確かに、 ∪ Aλ λ∈Λ 　　　　であるようだ。	→集合系(集合族)Цに属する集合すべてを含む様々な集合のなかで、∪Цが最小。 　→A∪Bは、AとBの両方を含む様々な集合のなかで、「最小」。

2.intersectionの性質

2a.集合族の場合
・	集合族 {Aλ}λ∈Λ におけるすべてのAλに含まれる様々な集合のなかで、 集合族 {Aλ}λ∈Λ のintersectionが最大。	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§5.C (p.45);
・	・集合族 {Aλ}λ∈Λ におけるすべてのAλに、集合族 {Aλ}λ∈Λ のintersectionは含まれる。 すなわち∀λ∈Λに対して、Aλ ⊃ ∩ Aλ λ∈Λ
・	集合族 {Aλ}λ∈Λ おけるすべてのAλに集合Zが含まれるならば、 集合族 {Aλ}λ∈Λ のintersectionは集合Zを含む。 すなわち、　 [ (∀λ∈Λ) (Aλ)⊃Z ] ⇒ ∩ Aλ　 ⊃Z λ∈Λ
※	集合族{Aλ}λ∈Λ の値域は、集合系(集合の集合)であり、 集合族{Aλ}λ∈Λ のunionは、この集合系のunionである。 だから、集合族{Aλ}λ∈Λ のunionの性質は、集合系のunionの性質を継承する。 ここで述べた集合族 {Aλ}λ∈Λ のunionの性質も、集合系のunionの次の性質に他ならない。 　→Цに属するすべての集合に含まれる様々な集合のなかで、∩Цが最大。
	（例） 　Λ={ A, B, C, D, E }　とする集合族 {Aλ}λ∈Λ 　は、 　集合AA, AB, AC, AD, AE　からなるが、 　これを略して、集合A, B, C, D, Eと書くことにする。　 　集合A, B, C, D, E　が下図のようになっているならば、 ∩ Aλ　 は、下図青色部分となる。 λ∈Λ 　集合A, B, C, D, Eのすべてに含まれる様々な集合（たとえば、下図のピンク部分） 　のうちで最大のものは、 確かに、 ∩ Aλ　 であるようだ。 λ∈Λ	→Цに属するすべての集合に含まれる様々な集合のなかで、∩Цが最大。 　→A∩Bは、AとBの両方に含まれている様々な集合のなかで、「最大」。

2b.有限の集合列の場合

2c.無限の集合列の場合

3.集合族・集合列の分配律

4.集合族・集合列のド・モルガンde Morgan則

（reference）

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』 岩波書店、1985年。項目58関数D族・列(p.158)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第1章§5.A-B-C(pp.42-6)。
矢野公一『共立講座21世紀の数学4距離空間と位相構造』共立出版、1997年、付録A.1.3集合と選択公理(pp226-7.)
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年。 pp.1-4.
伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963年、pp.6-7。