包含関係・部分集合「A⊃B」「B⊂A」の言い換え　　　

【言い換え1】　「A⊃B」「B⊂A」は、「A^c⊂B^c」「B^c ∪A＝ Ω」「B∩A^c ＝ φ」「B－A = φ」と互いに言い換え可。　　

【言い換え2】　「A⊃B」「B⊂A」は、「A∪B＝A」「A∩B＝B」と互いに言い換え可。

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「A⊃B」「B⊂A」の言い換え可能表現：　「A^c⊂B^c」「B^c ∪A＝ Ω」「B∩A^c ＝ φ」「B－A = φ」　


	【文献：証明付】　・中谷『論理』 5.3-B-(1)(p.125):証明付;5.3-B-練習問題4-1(３)(p.125):証明(p.183)→証明　・彌永昌吉・彌永健一『集合と位相I』問題1.9(1)(pp.22-23) 【文献：証明なし】　・彌永『数の体系（上）』（p.29）証明なし　・黒崎『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(1) (p.26) 　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題1.1.6 (p.15)
	・井関『集合と論理』2.2(p.56):証明なし

・下記表現は、いずれも互いに言い換え可能。

　【表現1】　A⊃B　ないし　B⊂A　
　　　　　　　「AはBを含む」　「BはAの部分集合」
　【表現2】　A^c⊂B^c　　　
　　　　　　　《Aの補集合》は《Bの補集合》の部分集合。　
　【表現3】　B^c ∪A＝ Ω　
　　　　　　　《Bの補集合》と集合Aを併せると、Ω全体になる。
　　　　　　　　　　　[表現1⇔表現3:中谷『論理』 5.3-B-(1)(p.125):証明付]
　【表現4】　B∩A^c ＝ φ　
　　　　　　　集合Bと《Aの補集合》は互いに素。
　　　　　　　　　　　[表現1⇔表現4：中谷『論理』 5.3-B-練習問題4-1(３)(p.125):証明(p.183)→証明]
　【表現4'】　B－A = φ 　
　　　　　　　　　　　[表現1⇔表現4'：彌永昌吉・彌永健一『集合と位相I』問題1.9(1)(pp.22-23):証明なし　]

　　　「A⊃B」であるが、「A⊂B」ではないケース

「A⊃B」であるが、「A⊂B」ではないケース

　　　　　　　　
※　どうして、言い換えていいの？
　
　【ポイント】

　　・「A⊃B」ないし「B⊂A」は、「⇒ならば」をつかって、定義された。
　　・「ならば⇒」には、三つの同義表現があった。　[→「ならば⇒」の同義異表現]
　　・「ならば⇒」の三つの同義表現をつかって、「⇒ならば」で定義された「A⊃B」ないし「B⊂A」についても、三通りの同義表現をつくれることになる。それが、上記諸表現。　

　【詳細】

　

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現1】　「A⊃B」　ないし　「B⊂A」　「AはBを含む」　「BはAの部分集合」
　　【例】　Perfume ⊂広島県民　 Perfumeは広島県民の部分集合。

【どうして？】　「A⊃B」ないし「B⊂A」の定義に従って。

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現1L】　 ∀ω∈Ω ( ω∈ B ⇒ ω∈ A )　 Ωのすべての元は、Bに属すならば、Aに属す。
　　【例】　 ∀ω∈人類 ( ω∈ Perfume ⇒ ω∈ 広島県民 )
　　　　　　人は誰しも、Perfume に属すならば、広島県民に属す。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現1l】　∀ω∈B ( ω∈ A )　　　　　　　　　　　Bに属す全ての元は、Aに属す。
　　【例】　 ∀ω∈Perfume ( ω∈ 広島県民 )　　　　Perfumeの全メンバーは、広島県民に属す。

　　「∀ω∈B　P(ω)」は、「∀ω（ω∈B⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて

【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。

　　　「∀ω（）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（）」だから。　

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現2L】　 ∀ω∈Ω ( ω

A ⇒ ω

B )　Ωのすべての元は、Aに属さないならば、Bに属さない。
　　【例】　 ∀ω∈人類 ( ω

広島県民 ⇒ ω

Perfume )　
　　　　　人は誰しも、広島県民に属さずんば、Perfumeに属さず。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現2S】 { x∈Ω | x

A } ⊂ { x∈Ω | x

B }
　　　　　「《Aに属さない》を満たす《Ωの元》の集合」は、「《Aに属さない》を満たす《Ωの元》の集合」の部分集合。
　　【例】　 { x∈人類 | x

広島県民 } ⊂ { x∈人類 | x

Perfume }
　　　　　　　　《広島県民に属さない人の集合》は、《Perfumeに属さない人の集合》の部分集合。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現2】　A^c⊂B^c　　　　　　　　　《Aの補集合》は《Bの補集合》の部分集合。
　　【例】　広島県民^c⊂Perfume^c　　《広島県民の補集合》は《Perfumeの補集合》の部分集合。

　補集合の定義　：　A^c ＝ { x∈Ω | x

A } 、 B^c ＝ { x∈Ω | x

B }　　　　

【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。

　　「∀a∈Ω(P(a)⇒Q(a))」「{x∈Ω |P(x)}⊂{x∈Ω |Q(x)}」は言換可（∀x (⇒)の集合表現参照）。　

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現3L】　∀ω∈Ω ( ω

B または ω∈ A )
　　　　　　Ωのすべての元は、Bに属さないか、Aに属す。
　　【例】　∀ω∈人類 ( ω

Perfume または ω∈ 広島県民 )
　　　　　　人は誰しも《Perfumeに属さない》《広島県民に属す》の少なくとも一方に該当する。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現3S】　{ x∈Ω | x

B または x∈ A } ＝ Ω　
　　　　　　「《Bに属さない、または、Aに属す》を満たす《Ωの元》の集合」はΩ全体に等しい。　　
　　　【例】　{ x∈人類 | x

Perfume または x∈ 広島県民 } ＝人類　
　　　　　　《Perfumeに属さない》《広島県民に属す》の少なくとも一方を満たす人を集めると、人類全体になる。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現3s】　 { x∈Ω | x

B }　∪　 { x∈Ω | x∈ A } ＝ Ω
　　　　　　「Bに属さない《Ωの元》の集合」と「Aに属す《Ωの元》の集合」を併せると、Ω全体になる。
　　【例】　{ x∈人類 | x

Perfume }　∪　{ x∈人類 | x∈ 広島県民 } ＝人類　
　　　　　「Perfumeに属さない人の集合」と「広島県民に属す人の集合」を併せると、人類全体になる。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現3】　　B^c ∪A＝ Ω　
　　　　　　《Bの補集合》と集合Aを併せると、Ω全体になる。
　　【例】　 Perfume^c 　∪　広島県民　＝　人類　
　　　　　《Perfumeの補集合》と《広島県民》を併せると、人類全体になる。

　【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。

　　「∀x∈Ω P(x)」「{x∈Ω|P(x)}＝Ω」は言い換えてよいから。（∀x P(x)の集合表現参照）　　　　　　　

　 {x|P(x)または Q (x)}＝{x|P(x)}∪{x|Q (x)} だから（「P(x)またはQ(x)」の真理集合参照）。

　　　補集合の定義より、{ x∈Ω | x

B } ＝ B^c　だから。　

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4L】　∀ω∈Ω ￢ ( ω∈B かつ ω

A )
　　　　　　Ωのすべての元には、「Bに属しかつAに属さない」ということがない。
　　【例】　∀ω∈人類￢ ( ω∈Perfume かつ ω

広島県民 )　
　　　　　　人は誰しも、《Perfumeに属し、かつ、広島県民に属さない》ということはない。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4S】 {x∈Ω |x∈Bかつx

A }＝φ　　「《Bには属すが、Aには属さない》を満たす《Ωの元》の集合」は空集合
　　【例】　 { x∈人類 | x ∈Perfume かつ x

広島県民 } ＝ φ
　　　　　　　　《Perfumeには属すが、広島県民には属さない》人を集めようにも、空集合にしかならない。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4s】 { x∈Ω | x ∈B } ∩ { x∈Ω | x

A } ＝ φ　
　　　　　　「Bに属す《Ωの元》の集合」と「Aに属さない《Ωの元》の集合」は互いに素。
　　【例】　{ x∈人類 | x ∈Perfume } ∩ { x∈人類 | x

広島県民 } ＝ φ　
　　　　　　「Perfumeに属す人の集合」と「広島県民に属さない人の集合」は互いに素。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4】　B∩A^c ＝ φ　集合Bと《Aの補集合》は互いに素。
　　【例】　Perfume ∩ 広島県民^c ＝ φ　

　補集合の定義より、{ x∈Ω | x

A } ＝ A^c　だから。　

⇔

【どうして？】

集合の差
－
の定義
から。

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4'】　B－A = φ 　
　
　　【例】　　Perfume－広島県民＝ φ

　【どうして？】　全体否定の同義2表現だから。　

　「∀x∈Ω ￢P(x)」「x∈Ω|P(x)}＝φ」は言い換えてよいから。（全体否定の集合表現参照）

　{x|P(x)かつ Q (x)}＝{x|P(x)}∩{x|Q (x)} だから（「P(x)かつQ(x)」の真理集合参照）。

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4l'】　　￢ ∃ω∈Ω (ω ∈Bかつω

A )
　　　　　　　「Bに属しかつAに属さない」という「Ωの元」は皆無。
　　【例】　　￢ ∃ω∈人類 ( ω ∈Perfume かつ ω

広島県民 )　
　　　　　　　《Perfumeに属し、かつ、広島県民に属さない》人間はいない。

⇔

【どうして？】

「A⊃B」であるが、
「A⊂B」ではないケース

【表現4l】　　￢ ∃ω∈B (ω

A )
　　　　　　　Aに属さない《Bの元》は皆無。
　　【例】　　￢ ∃ω∈Perfume ( ω

広島県民 )　
　　　　　　　、広島県民に属さない《Perfumeのメンバー》はいない。

　　　「∃ω∈A　P(ω)」という記号が、「∃ω（ω∈A　かつ　P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（）」だから。

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