step1:証明したい「命題P⇒命題Q」を、証明しやすいかたちに、言い換えておく。
ここで証明したいのは、
　「命題P『f ( P )→c ( P → A ) 』が成り立つならば、
　　命題Q『任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　　　　　　　　　　　　P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f (P_i)→c (i→∞)　　』
　　が成り立つ」
　　論理記号で、「f ( P )→c ( P → A )」⇒「（∀{ P_i }）（（ P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」　
ということだが、
これは実は、
「任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　『f ( P )→c ( P → A ) かつ P_i→A (i→∞)かつ P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、 f (P_i)→c (i→∞)』」
　　　　論理記号で「（∀{ P_i }）（（f ( P )→c ( P → A )かつP_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
と同じことであるから（理由は下記）、
「任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　『f ( P )→c ( P → A ) かつ P_i→A (i→∞)かつ P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、 f (P_i)→c (i→∞)』」
　　　　論理記号で「（∀{ P_i }）（（f ( P )→c ( P → A )かつP_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
となることを示すことによって、
「命題P⇒命題Q」を示すことにする。

　　　　　　[→とばしてstep2へ]　　
****
「命題P⇒命題Q」が
「任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　『f ( P )→c ( P → A ) かつ P_i→A (i→∞)かつ P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、 f (P_i)→c (i→∞)』」
　　　　論理記号で「（∀{ P_i }）（（f ( P )→c ( P → A )かつP_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
と同じになるのは、次の2点による。　
1.
　「命題P『f ( P )→c ( P → A ) 』が成り立つならば、
　　命題Q『任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　　　　　　　　　　　　P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f (P_i)→c (i→∞)　　』
　　が成り立つ」
　　論理記号で、「f ( P )→c ( P → A )」⇒「（∀{ P_i }）（（ P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」　
　は、
　「任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　f ( P )→c ( P → A ) ならば、『P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f (P_i)→c (i→∞)』」
　　　論理記号で「（∀{ P_i }）（f ( P )→c ( P → A ) ⇒（（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)））」
　に他ならない（∵論理法則：「ならば」の全称命題の言い換え）
2.
　「任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　f ( P )→c ( P → A ) ならば、『P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f (P_i)→c (i→∞)』」
　　　論理記号で「（∀{ P_i }）（f ( P )→c ( P → A ) ⇒（（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)））」
　は、
　「任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　『f ( P )→c ( P→A ) かつ P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f (P_i)→c (i→∞)』」
　　　　　論理記号で「（∀{ P_i }）（（f ( P )→c (P→A)かつP_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)）⇒f (P_i)→c (i→∞)）」
　に他ならない（∵論理法則：「ならば」の繰り返しの言い換え）。
*****

Step2:
任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　f ( P )→c ( P→A ) 　…（仮定1）　　
　　P_i→A (i→∞) 　　　…（仮定2）　　
　　(∀i) ( P_i ≠A) 　　　…（仮定3）　　
が満たされるケースについて考える。
Step3：仮定1の厳密化　
関数の収束の定義に従うと、（仮定1）はすなわち、
　「任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
　　　『０＜d ( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＜ε』が成り立つ」
　　　　論理記号で（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒ d ( f (P), c )＜ε ）
　　…（仮定1' ）
ということ。
Step4：仮定2の厳密化　
点列の収束の定義に従うと、（仮定2）はすなわち、
　「任意のε’> 0に対して、ある自然数Nをとると、
　　　　　　　　『N以上のあらゆる自然数i に対して、 d (P_i , A ) <ε’』が成立する」　
　　　　論理記号で　(∀ε’>０) (∃N∈N) (∀i∈N) ( i≧N⇒ d( P_i , A ) <ε’)　
ということ。…（仮定2' ）
Step5：仮定1と仮定2をあわせて考えると…、　
（仮定2' ）における「ε’」はどんな正の実数でもいいというので、
（仮定2' ）における「ε’」として、（仮定1' ）で定まる「δ」をとっても、（仮定2' ）はそのまま成り立つ。
このことを利用して、（仮定1' ）と（仮定2' ）を結合する。
すなわち、
「任意の正の実数εに対して（仮定1' ）で定まった如何なるδに対してであろうとも、
　ある（十分大きな）自然数Nをとると、　
　『n≧N⇒ d( P_i , A ) <δ』が成り立つ」　
　　　　論理記号で　 (∃N∈N) (∀i∈N) ( i≧N⇒ d ( P_i , A ) <δ )　
　…（仮定1'＋仮定2' ）　
ここから、
任意の点列{ P_i }について、
仮定1,仮定2がともに満されるならば、　　　
その（仮定1'＋仮定2' ）で定まるN以上の項と、点Aとの距離d ( P_i , A )が、仮定1'で定まるδ未満に収まることがわかる。
Step6：仮定3の意味　
距離の定義より、d ( P_i , A )≧０がいつでも成り立ち、d ( P_i , A )＝０となるのは、P_i = Aのときに限られる。
したがって、任意の点列{ P_i }が、仮定3「(∀i) ( P_i≠A)」を満たすならば、「(∀i) ( d ( P_i , A )≠０)」であり、
したがって、「(∀i) ( d ( P_i , A )>０)」となる。…（仮定3' ）　
Step7：仮定1･仮定2･仮定3をあわせて考えると…　
仮定1 かつ 仮定2 かつ 仮定3は、
（仮定1'＋仮定2' ）と（仮定3'）より、
「任意の正の実数εに対して（仮定1' ）で定まった如何なるδに対してであろうとも、
　ある（十分大きな）自然数Nをとると、　
　『i≧N⇒ ０<d ( P_i , A ) <δ』が成り立つ」　
　　　　論理記号で　 (∃N∈N) (∀i∈N) ( i≧N⇒ ０<d ( P_i , A ) <δ )　
　…（仮定1'＋仮定2'＋仮定3' ）　
を意味する。　
したがって、　
任意の点列{ P_i }について、
仮定1,仮定2,仮定3がともに満たされるならば、
（仮定1'＋仮定2'＋仮定3' ）によって、　　　
（仮定1'＋仮定2' ）で定まった自然数N以上の項と、点Aとの距離d ( P_i , A ) について、
　　　　　　　０< d ( P_i , A ) < δ　
が成り立つことになる。　
Step8：結論　
（仮定1'）は、
「任意の正の実数εに対して、ある正の実数δをとると、
　　　『０＜d ( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＜ε』が成り立つ」
　　　　論理記号で（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒ d ( f (P), c )＜ε ）
というものだった。
（仮定1'＋仮定2'＋仮定3' ）は、
「上記のδに対して、ある自然数Nをとると、
　　　　　　　『i≧N⇒ ０<d ( P_i , A )<δ』が成り立つ。」　　
　　　　　　　　つまり (∃N∈N) (∀i∈N) ( i≧N⇒ ０< d ( P_i , A ) <δ )　　
というものだった。　
（仮定1'＋仮定2'＋仮定3' ）と（仮定1'）をあわせて考えると、
「任意の正の実数εに対して、ある正の実数δ、ある自然数Nをとると、
　　『i≧N⇒０< d ( P_i , A ) <δ⇒ d ( f (P_i), c )＜ε』　」　
　　つまり
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）(∃N∈N) (∀i∈N)（i≧N⇒０＜d ( P_i , A ) <δ⇒ d ( f (P_i), c )＜ε ）
となるが、
これは、
「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nをとると、
　　　『i≧N⇒ d ( f (P_i), c )＜ε』　」　
　　　　　　つまり（∀ε>０）(∃N∈N) (∀i∈N)（i≧N⇒ d ( f (P_i), c )＜ε ）
と簡略化でき、
「数列{ f ( P_i ) }={ f ( P₁ ), f ( P₂ ) , f ( P₃ ) ,… }={ f ( x₁₁,x₁₂,…,x_1n ) , f (x₂₁,x₂₂,…,x_2n ), f (x₃₁,x₃₂,…,x_3n ),… }が
　　実数cに収束する」
ことの定義そのものとなる。
だから、
任意の点列{ P_i }について、
仮定1,仮定2,仮定3がともに満たされるならば、
「数列 { f ( P_i ) }={ f ( P₁ ), f ( P₂ ) , f ( P₃ ) ,… }={ f ( x₁₁,x₁₂,…,x_1n ) , f (x₂₁,x₂₂,…,x_2n ), f (x₃₁,x₃₂,…,x_3n ),… }が
　　実数cに収束する」
といえる。
　つまり、
　「（∀{ P_i }）（（f ( P )→c ( P → A )かつP_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」　　

Step1:証明したい「命題Q⇒命題P」を、証明しやすいかたちに、再定式化。
・ここで証明したいのは、「命題Qが成り立つならば、命題Pが成り立つ」ということ。
・「命題Qが成り立つならば、命題Pが成り立つ」は、
　その対偶「命題Pが成り立たないならば、命題Qが成り立たない」
　に言い換えてもまったく同じ（∵｢ならば｣の命題はその対偶と同値）。　
・そこで、ここでは、
　「命題Qが成り立つならば、命題Pが成り立つ」を示すために、
　「命題Pが成り立たないならば、命題Qが成り立たない」を示すことにする。　
Step2:「命題Pが成り立たないならば、命題Qが成り立たない」を分析。
ここで示したい「命題Pが成り立たないならば、命題Qが成り立たない」は、
詳しくみると、
「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε』を満たす」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　（∃ε>０）（∀δ>０）（∃P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε）　
ならば、
「次の条件をすべて満たす任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}が存在する。
　条件1. P_i→A (i→∞)
　条件2. P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…
　条件3. 『任意の自然数Nに対して、あるnが存在して、《n≧N かつ d ( f (P_n), c )≧ε 》を満たす』
　　　　　を成り立たせる正の実数εが存在する』　」
　　（∃{ P_i }）（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)かつ（(∃ε>０)(∀N∈N)(∃i∈N)（i≧Nかつd ( f (P_i), c )≧ε）））
ということだとわかる。[→とばしてstep3へ]
Step2-1:「命題Pが成り立たない」を分析。
・「命題Pが成り立たない」とは、具体的には「『f ( P )→c ( P → A ) 』が成り立たない」ということ。
　これは、実は、
　「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε』を満たす」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）（∀δ>０）（∃P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε）　
　に他ならない。　
　このことは、以下の考察から明らか。　
・「『f ( P )→c ( P → A )』が成り立たない」を、「f ( P )→c ( P→A )」の定義にしたがって書き下すと、　
　「『任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
　　　０＜d( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＜εが成り立つ』
　　とは限らない」　
　　* 論理記号で　¬（ （∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε） ） 　
　となる。
・「『任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
　　　０＜d( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＜εが成り立つ』
　　とは限らない」
　　　　* 論理記号で　¬（ （∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε） ） 　
　は、　　　
　「『ある正の実数δをとると、０＜d( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＜ε』
　　を成り立たせないある正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）¬（（∃δ>０）（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε） ）　
　に言換えられる。（∵全称命題の否定）　
・「『ある正の実数δをとると、０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε』を成り立たせない正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）¬（（∃δ>０）（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε） ）
　は、　
　「「任意の正の実数δに対して、『０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε』とならない」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」、　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）（∀δ>０）¬（（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε） ）　
　に言換えられる。（∵存在命題の否定）　
・「「任意の正の実数δに対して、『０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε』とならない」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）（∀δ>０）¬（（∀P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε） ）　
　は、　
　「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε』を満たさない」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）（∀δ>０）（∃P∈Rⁿ ）¬（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε）　
　に言換えられる。（∵全称命題の否定）　
・「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε』を満たさない」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）（∀δ>０）（∃P∈Rⁿ ）¬（０＜d( P, A )＜δ⇒d ( f (P), c )＜ε）　
　は、
　「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε』を満たす」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　* 論理記号で　 （∃ε>０）（∀δ>０）（∃P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε）　
　に言換えられる。（∵ならばの否定）　　　
Step2-2:「命題Qが成り立たない」を分析。
・「命題Qが成り立たない」とは、具体的には、
　「『任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f (P_i)→c (i→∞)　』が成り立たない」　　
　　* 論理記号では「¬（∀{ P_i }）（（f ( P )→c ( P → A )かつP_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
　ということ。　　　
　これは、実は、
　「次の条件をすべて満たすRⁿ上の点列
　　　　　　　　　{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}
　　が存在する。
　　　条件1. P_i→A (i→∞)
　　　条件2. P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…
　　　条件3. 『任意の自然数Nに対して、あるiが存在して、《i≧N かつ d ( f (P_i), c )≧ε'' 》を満たす』
　　　　　　　を成り立たせる正の実数ε''が存在する』　」　　　　
　　* 論理記号では
　　（∃{ P_i }）（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)かつ（(∃ε''>０)(∀N∈N)(∃i∈N)（i≧Nかつd (f(P_i),c)≧ε''）））
　に他ならない。　
　このことは、以下の考察から明らか。
・「『任意のRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}について、
　　　P_i→A (i→∞) かつ　 P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、 f (P_i)→c (i→∞)　』
　　が成り立たない」　　
　　　　　　* 論理記号では「¬（∀{ P_i }）（（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
　は、
　「『P_i→A (i→∞) かつ　 P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、 f (P_i)→c (i→∞)』　
　　を満たさない、Rⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}もある」　　　　
　　　　　　* 論理記号では「（∃{ P_i }）¬（（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
　と言いかえられる。（∵全称命題の否定）　　
・「『P_i→A (i→∞) かつ　 P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、 f (P_i)→c (i→∞)』　
　　を満たさない、Rⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}もある」　　　　
　　　　　　* 論理記号では「（∃{ P_i }）¬（（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)）⇒ f (P_i)→c (i→∞)）」
　は、
　「『《 P_i→A (i→∞) 》かつ《 P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…》かつ《 f (P_i)→c (i→∞)とならない》』
　　を満たすRⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}もある」　　　　
　　　　　　* 論理記号では「（∃{P_n }）（P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A)かつ¬（ f (P_i)→c (i→∞)））」
　に言換えられる。（∵ならばの否定）　　　
・「f (P_i)→c (i→∞)とならない」は、定義に遡ると、
　「『任意の正の実数ε'' に対して、ある自然数Nをとると、《n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' 》　』
　　が成立しない」　
　　　　　　* 論理記号では¬（∀ε'' >０）(∃N∈N) (∀n∈N)（n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' ）
　　ということであり、これは、
　　「 『ある自然数Nをとると、《n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' 》』を満たさない正の実数ε'' がある 」
　　　　　　* 論理記号では（∃ε'' >０）¬（(∃N∈N) (∀n∈N)（n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' ））　
　　と言換えることができ、（∵全称命題の否定）　
　　これはまた、
　　「 『任意の自然数Nに対して、《n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' 》とならない』を満たす正の実数ε''がある」
　　　　　　* 論理記号では（∃ε'' >０）(∀N∈N)¬（ (∀n∈N)（n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' ））　
　　と言換えることができ、（∵存在命題の否定）　　
　　さらにこれは、
　　「 『任意の自然数Nに対して、あるnが存在して、《n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε''》を満たさない』
　　　　を成り立たせる正の実数ε''がある」
　　　　　　* 論理記号では（∃ε''>０）(∀N∈N)(∃n∈N)¬（（n≧N⇒d ( f (P_n), c )＜ε'' ））　
　　と言いかえることができ、（∵全称命題の否定）　
　　これもまた、
　　「 『任意の自然数Nに対して、あるnが存在して、《n≧N かつ d ( f (P_n), c )≧ε'' 》を満たす』
　　　　を成り立たせる正の実数ε'' がある」
　　　　　　* 論理記号では（∃ε'' >０）(∀N∈N)(∃n∈N)（n≧Nかつd ( f (P_n), c )≧ε'' ）　
　　と言換えられる。（∵ならばの否定）　　　　
Step3:「命題Pが成り立たないならば、命題Qが成り立たない」を証明。
「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε』を満たす」
　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
　　　　（∃ε>０）（∀δ>０）（∃P∈Rⁿ ）（０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε）　
ならば、
「次の条件をすべて満たすRⁿ上の点列
　　　{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}
　が存在する。
　条件1. P_i→A (i→∞)　すなわち、　(∀ε’>０) (∃N∈N) (∀i∈N) ( i≧N⇒ d ( P_i , A ) <ε’)　　　
　条件2. P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…　　　
　条件3. 『任意の自然数Nに対して、あるnが存在して、《n≧N かつ d ( f (P_n), c )≧ε'' 》を満たす』
　　　　　を成り立たせる正の実数ε'' が存在する
　　　　　　　　　(∃ε'' >０)(∀N∈N)(∃n∈N)（n≧Nかつd ( f (P_n), c )≧ε'' ）　
　（∃{P_n }）（P_n→A (n→∞)かつ(∀n)(P_n≠A)かつ（(∃ε''>０)(∀N∈N)(∃n∈N)（n≧Nかつd (f(P_n),c)≧ε''）））」
を証明するために、
仮定「「任意の正の実数δに対して、あるPが存在して、『０＜d( P, A )＜δ かつ d ( f (P), c )≧ε』を満たす」
　　　を成り立たせる正の実数εが存在する」　　
のもとで条件1,2,3をすべて満たす
Rⁿ上の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}={ (x₁₁,x₁₂,…,x_1n) , (x₂₁,x₂₂,…,x_2n) , (x₃₁,x₃₂,…,x_3n) ,…}の例をひとつあげる。