2次元ユークリッド距離の性質：トピック一覧

　　・性質1/性質2/性質3 
　　・性質4:ユークリッド距離の2乗/性質5:ユークリッド距離とマンハッタン距離の大小関係　　
　　※関連ページ： 距離空間(R2,d)/n次元ユークリッド距離の性質
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2次元ユークリッド距離の性質(1)

　　　[志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2): n次元;矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12);
　　　　吹田新保『理工系の微分積分学』p.155-6; 杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38):n次元;　
　　　　神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元; ]

 平面R2上の任意の点Q(x',y'),P(x,y)間のユークリッド距離　
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　

は、次の不等式をいつでも満たす。




|x'−x| ≦ 
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　
　　　
　※なぜ？→証明　
　※利用例：点列{Pi}={(xi,yi)}の収束と数列{xi}{yi}の収束が同値となることの証明　
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2次元ユークリッド距離の性質(2)

　　　[志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2): n次元;矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12);
　　　　吹田新保『理工系の微分積分学』p.155-6; 杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38):n次元;　
　　　　神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元; ]


 平面R2上の任意の点Q(x',y'),P(x,y)間のユークリッド距離　
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　

は、次の不等式をいつでも満たす。




|y'−y| ≦ 
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　

　※なぜ？→証明　
　※利用例：点列{Pi}={(xi,yi)}の収束と数列{xi}{yi}の収束が同値となることの証明　

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2次元ユークリッド距離の性質(3)

　　　[志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2):n次元;矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12);]

 平面R2上の任意の点Q(x',y'),P(x,y)間のユークリッド距離　
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　

は、次の不等式をいつでも満たす。





(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦
２  Max（|x'−x|,|y'−y|）

　ただし、Max ( |x'−x| , | y'−y | )は、「|x'−x|と|y'−y|のうち、大きいほうの値」を表す。
　　　　つまり、
　　　　　　(ケース1)　|x−x|≦|y'−y|ならば、
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦
２  |y'−y|
　　　　　　　　　　　
　　　　　　(ケース2)　|x−x|≧|y'−y|ならば、
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦
２  |x'−x|

　※なぜ？→証明　
　※利用例：点列{Pi}={(xi,yi)}の収束と数列{xi}{yi}の収束が同値となることの証明　　

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2次元ユークリッド距離の性質(4) 2次元ユークリッド距離の二乗

　　　　　　　　　　　　　　　　　[杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38):n次元;]

 平面R2上の任意の点Q(x',y'),P(x,y)間のユークリッド距離　 
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　

は、次の不等式をいつでも満たす。




{d(Q,P) }2 =(

) 2 ＝ |x'−x|2+|y'−y|2


(x'−x)2 ＋(y'−y)2

　※なぜ？→証明　
　※利用例：点列{Pi}={(xi,yi)}の収束と数列{xi}{yi}の収束が同値となることの証明　

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2次元ユークリッド距離の性質(5) 2次元ユークリッド距離とマンハッタン距離の大小関係

　　　[神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元;吹田新保『理工系の微分積分学』p.155-6　]

 平面R2上の任意の点Q(x',y'),P(x,y)間のユークリッド距離　
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　

は、次の不等式をいつでも満たす。





(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦ |x'−x|+|y'−y|  
　　　
　※なぜ？→証明　
 　※利用例：点列{Pi}={(xi,yi)}の収束と数列{xi}{yi}の収束が同値となることの証明　　　

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[2次元ユークリッド距離の性質(1)の証明]


 |x'−x| ≦ 
(x'−x)2  　∵絶対値の性質 　


≦ 
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　　∵ (y'−y)2≧0だから(x'−x)2≦(x'−x)2＋(y'−y)2であり、　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、ベキ関数の性質より

  f(t)＝
 t ＝ t1/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は、t≧0で単調増加。

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[2次元ユークリッド距離の性質(2)の証明]


 |y'−y| ≦ 
(y'−y)2  　∵絶対値の性質 　


≦ 
(x'−x)2 ＋(y'−y)2 　　∵ (x'−x)2≧0だから(y'−y)2≦(x'−x)2＋(y'−y)2であり、　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、ベキ関数の性質より

  f(t)＝
 t ＝ t1/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は、t≧0で単調増加。


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[2次元ユークリッド距離の性質(3)の証明]
|x'−x|≦|y'−y|となるケースと、|x'−x|≧|y'−y|となるケースに分けて考えることにする。
(ケース1) |x'−x|≦|y'−y|となるケース
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦
(y'−y)2 ＋(y'−y)2 ∵|x'−x|≦|y'−y|より、(x'−x)2≦(y'−y)2　だから、 




　　(x'−x)2＋(y'−y)2≦(y'−y)2＋(y'−y)2　であり、　　
　　　また、ベキ関数の性質より

 f(t)＝
 t ＝ t1/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は、t≧0で単調増加。

  ＝
２(y'−y)2


 ＝
２
 
(y'−y)2


 ＝ ２  |y'−y|  ∵絶対値の性質


 ＝ ２  Max（|x'−x|,|y'−y|）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵ここでは|x'−x|≦|y'−y|となるケースのみを考えているから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Max ( |x'−x|, |y'−y| )=|y'−y|　

(ケース2) |x'−x|≧|y'−y|となるケース
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦
(x'−x)2 ＋(x'−x)2 ∵|x'−x|≧|y'−y|より、(x'−x)2≧(y'−y)2　だから、 




　　(x'−x)2＋(y'−y)2≦(x'−x)2 ＋(x'−x)2　であり、　　
　　　また、ベキ関数の性質より

 f(t)＝
 t ＝ t1/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は、t≧0で単調増加。

  ＝
２(x'−x)2


 ＝
２
 
(x'−x)2


 ＝ ２  |x'−x|  ∵絶対値の性質


 ＝ ２  Max（|x'−x|,|y'−y|）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵ここでは、|x'−x|≧|y'−y|となるケースのみを考えているから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Max ( |x'−x|, |y'−y| )=|x'−x|　
 以上から、
|x'−x|≦|y'−y|となっても、|x'−x|≧|y'−y|となっても、
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦
２  Max（|x'−x|,|y'−y|）

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[2次元ユークリッド距離の性質(4)の証明]

 {d(Q,P) }2 =(

) 2 ＝(x'−x)2 ＋(y'−y)2＝ |x'−x|2+|y'−y|2  ∵絶対値の性質   


(x'−x)2 ＋(y'−y)2


[2次元ユークリッド距離の性質(5)の証明]
(x'−x)2 ＋(y'−y)2  ≦ |x'−x|+|y'−y|  
　　を示すには、左辺≧0かつ右辺≧0だから、(左辺の2乗)≧(右辺の2乗)を示したのでよい。
　　　　　　　　　　　　　　　　[吉田ほか『高等学校数学I』(啓林館) 4章式と証明-3.不等式の証明(p.103).]　
 左辺の2乗＝|x'−x|2＋|y'−y|2　∵(4)　
右辺の2乗＝(|x'−x|＋|y'−y|)2
　　　　　＝|x'−x|2＋|y'−y|2＋2|x'−x|･|y'−y|　　
2|x'−x|･|y'−y|≧0だから（∵絶対値の性質）、
左辺の2乗≦右辺の2乗。


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