定積分の計算２：置換積分・部分積分　 ：　トピック一覧　


・置換積分(証明)　
・部分積分　

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定理：置換積分の公式（積分の変数変換公式）
　　　　　　　　　　 integration by substitution

　cf.原始関数の置換積分、2変数関数の積分の変数変換公式、　
　
　f(x) を区間Iで連続な関数、ψ(t)を区間Jで連続微分可能な関数であるとする。
　また、I⊃ψ(J)となっていて、合成関数 f(ψ(t))が考えられるとする。
　α,β∈J　に対して、a=ψ(α) 、b=ψ(β)　となるとする(もちろん、a,b∈I )。
　とする。
　　置換積分の公式(積分の変数変換公式)　
　このとき、次の等式が成立する。
　　
　左辺の定積分を右辺の形に表すことを、「積分変数xをtに変換する」といい、
　関数ψを「変換」と呼ぶ。　　

　※なぜ？→証明　

【文献】

　小平『解析入門I』191-2:最良の解説;
　高木『解析概論』111-113；
　神谷浦井『経済学のための数学入門』336.
　吉田栗田戸田『微分・積分』117;
　矢野・田代『社会科学者のための基礎数学』110; ごく簡単に。
　高橋『経済学とファイナンスのための数学』86-7;
　杉浦『解析入門I』236;
　青本『微分と積分1』136.
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(狭義単調増加関数の場合の解釈:座標変換とリーマン和)


[小平『解析入門I』192;高橋『経済学とファイナンスのための数学』85-6.]
区間Jにおいて、x =ψ(t)が連続微分可能な狭義単調増加関数でψ’(t)=0とならないなら、
（すなわち、ψ’ (t) > 0　なら、）
xとtは1対1に対応し、逆関数の連続性に関する定理・逆関数の微分に関する定理より、
逆関数t =ψ－1(x)も連続微分可能な狭義単調増加関数となる。
この場合、t =ψ－1(x)は、座標xから座標tへの座標変換として、解釈可能。

(座標変換とリーマン和に着目した解釈)

　[高橋『経済学とファイナンスのための数学』85-6.]
閉区間 [a, b]におけるf(x)のリーマン和をとる。
このとき、
分割⊿は、[a, b]を、小区間I1=[a, x1], I2=[x1, x2],…,In=[xn‐1, b]　(a=x0<x1<x2<…<xn=b)に分けるものとし、
小区間Ik (k=1,2,…,n)の各々からとる代表点は、ζkをとったとする。
また、関数x=ψ(t)　は、
a=ψ(α) 、b=ψ(β)　となるに加えて、
k=1,2,…,nに対して、xk=ψ(tk) 、ζk=ψ(ηk )　となるものとする。
まず、f(x)のリーマン和を、x上の点からではなく、t上の点から表してみる。
R[ f ;⊿;{ζk } ]
　　　∵リーマン和の定義
　　　∵k=1,2,…,nに対して、xk=ψ(tk) 、ζk=ψ(ηk )
　　　∵1=|tk－tk-1|/|tk+1－tk-1|
　
　　∵絶対値の性質：|x/y|=|x|/|y|　(y≠0)
　　　　…①
次に、f(x)が[a, b]で連続、ψ(t)がここで扱う区間で連続微分可能であるという前提のもとで、
分割⊿を限りなく細かくしてみる。
等式①の最左辺R [ f ;⊿;{ζk } ]は、
　　
に収束する（∵連続性と可積性についての定理よりf(x)は[a, b]で連続だから可積分）
他方、等式①の最右辺については、
・
　　がt=ηkにおける微分係数ψ'(ηk)となること、
　　(∵分割⊿を限りなく細かくすることは、t k－1→tkとするのと同じ。
　　　ψ(t)は微分可能という前提のもとで考えているので、微分係数は存在し、
　　　t k－1→tkで{ψ(tk)－ψ(t k－1)}／{ tk－ t k－1}　は、ψ'(tk)となる。　　
　　　ηkはtk－1とtkに挟まれているので、t k－1→tkでは、ψ'(tk)＝ψ'(ηk )　　
・f(x)が[a, b]で連続、ψ(t)がここで扱う区間で連続微分可能であるという前提のもとでは、
　f(ψ(t)) |ψ'(t) |も連続となるから (∵絶対値関数は連続関数。連続関数の合成関数も連続関数。) 、
　可積分（∵連続性と可積性についての定理より）となること、
より、　
等式①最右辺は関数f(ψ(t)) |ψ'(t) |のリーマン和の、分割を限りなく細かくしたときの、収束先となる。
x=ψ(t)が狭義単調増加関数ならば、α<βで、ψ'(t)>0となるので、等式①最右辺の収束先は、
　
x=ψ(t)が狭義単調減少関数ならば、β<αで、ψ'(t)<0となるので、等式①最右辺の収束先は、
　
　　　　　　　　　　　∵絶対値の定義
　　　　　　　　　　　　∵向き付きの積分定義
　
x=ψ(t)が狭義単調増加関数である場合の例：
置換積分
例：x=ψ(t)が狭義単調減少関数である場合
置換積分

例：x=ψ(t)が単調ではない場合
置換積分

（証明）　　


準備:
　関数f(x)の原始関数をF(x)と置く。
　　すなわち、F(x)=∫f(x)dx　　　　…①
　原始関数の置換積分法より、
　F(x)=F(ψ(t))=∫f(ψ(t)) ψ' (t)dt　
　すなわち、「F(ψ(t))はf (ψ(t))ψ' (t)のtについての原始関数である」　…②

本論:
　
　　=F(ψ(β))－F(ψ(α))　∵解析学の基本定理により、定積分を原始関数で計算。
　　　　　　　　　　　　　尚、上式の被積分関数の原始関数は②よりF(ψ(t))
　　=F(b)－F(a)　　　　　　∵a=ψ(α) 、b=ψ(β)という設定なので。
　　　　　∵解析学の基本定理により、①で定義された原始関数から定積分に。

　　

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定理：部分積分法の公式integration by parts

　　[小平『解析入門I』170:原始関数の部分積分の公式からすぐ;吉田・栗田・戸田『微分・積分』120-21;
　　　高橋『経済学とファイナンスのための数学』87-8:積の微分公式から。;
　　　杉浦『解析入門I』239;青本『微分と積分1』137.
　　　高木『解析概論　改訂第三版』113-118→テイラー展開も；神谷浦井『経済学のための数学入門』335-6.]
　cf.原始関数の部分積分、
f(x),g(x)が閉区間[a, b]で連続微分可能ならば、
　
あるいは、
f(x)は閉区間[a, b]で連続微分可能、g(x)は閉区間[a, b]で連続とする。g(x)の原始関数をG(x)とすると、
　
　（証明）　　
　　

定理：偶関数・奇関数の積分

　
　（証明）　　
　　
　
　

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（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分。
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、p.117.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.110-113.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.82-88.
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年 pp.165-175; 191:積分変数の変換。
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、101;111-118.
青本和彦『岩波講座現代数学への入門：微分と積分1』岩波書店、1995年、135-7.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.96-7.
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、p.110-112.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、232-239:1変数関数の積分に特殊な性質（基本公式、変数変換公式、部分積分、…）。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、pp.1-11: ルベーク積分の前段階として単関数を用いて定義；pp.115-117。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、335-6.
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、95-112.変数変換。1変数関数から多変数関数へ。