〜が張る部分ベクトル空間
:
トピック一覧
定義:
〜を含む最小の部分ベクトル空間
、
〜が張る部分空間
、
両者の一致
※
部分ベクトル空間関連ページ:
部分ベクトル空間の定義
、
部分ベクトル空間の性質
、
和・直和
、、
部分空間の次元
※
実ベクトル空間関連ページ:
実ベクトル空間の定義
、
一次結合
、
線形従属・線形独立
、
基底と次元
、
→
線形代数目次
→
総目次
定義:〜を含む最小の部分ベクトル空間
[ホフマン『
線形代数学I
』2.2部分空間:定理2(p.37);永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.5(p.32);]
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
V:
実ベクトル空間
(
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」)
+
:
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの:
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
S:
実ベクトル空間
Vの
部分集合
。Vに
属す
ベクトル
の集合。(Vの
部分ベクトル空間
でなくてよい。)
【本題】
S
を含む最小の「
V
の部分ベクトル空間」
とは、
任意の
「S
を含む
『Vの
部分ベクトル空間
』」
に含まれる
「S
を含む
『Vの
部分ベクトル空間
』」のこと。
つまり、
「
W
0
が、
S
を含む最小の『
V
の部分ベクトル空間』
である」とは、
W
0
が、以下の
3
条件を満たすこと。
条件
1.W
0
⊃
S
であること。
条件
2.W
0
が『
V
の
部分ベクトル空間
』であること。
(
→
その必要十分条件
)
条件
3.
任意
の
W
に対して、
W
が『
V
の
部分ベクトル空間
』
(
→
その必要十分条件
)
かつ
W
⊃
S
⇒
W
⊃
W
0
が成立すること。
すなわち、「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」をすべて集めた
集合系
を
Ц
で表すと、
(
∀
W
∈
Ц
)(
W
0
⊂
W
)
(噛み砕いた説明)
Step
1.
「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」として、いろいろなものが考えられるが、そのすべてを考えるとしよう。これら、様々な「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」を、
W
1
,
W
2
,
W
3
,
W
4
,
…と名づけることにする。
つまり、
W
i
は
V
の
部分ベクトル空間
であって、
S
⊂
W
i
Step
2.
「
W
0
が、
S
を含む最小の『
V
の部分ベクトル空間』
である」とは、
・
W
0
が「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」であって、
つまり、
W
0
は
V
の
部分ベクトル空間
であって、
S
⊂
W
0
・
W
0
⊂
W
1
, W
0
⊂
W
2
, W
0
⊂
W
3
, W
0
⊂
W
4
,
… を満たす
ことをいう。
※例:
S
から生成された部分ベクトル空間
※これは
S
が張る部分空間
と一致する(→
理由
)
Cf
.
〜を含む最小のσ加法族
→
トピック一覧:〜が張る部分ベクトル空間
→
線形代数目次
・
総目次
定義:〜が張る部分空間、〜によって張られる部分空間
[砂田『
行列と行列式
』§5.2(p.162);2ホフマン『
線形代数学I
』2.2部分空間(p.37);松坂『
集合・位相入門
』3章§5C(p.133); ]]
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
V:
実ベクトル空間
(
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」)
S:Vの
部分集合
。つまり、Vに
属す
ベクトル
の集合。(Vの
部分ベクトル空間
である必要はない。また、無限個のベクトルがSに属していてもよい。)
【本題】
実ベクトル空間
Vに属す
ベクトル
の集合S
が張る部分空間
とは、あらゆる「Sを含む『Vの
部分ベクトル空間
』」の
共通部分
。
記号《S》で表す
つまり、「S
を含む
『Vの
部分ベクトル空間
』」をすべて集めた
集合系
を
Ц
とおくと、
《S》≡
∩
Ц
※
これは、
Sから生成された部分ベクトル空間
〈S〉に一致する。
※
これは、
Sを含む最小の部分ベクトル空間
に一致する。(→
理由
)
定義:有限個のベクトルが張る部分空間、有限個のベクトルに張られた部分空間
[ホフマン『
線形代数学I
』2.2部分空間(p.37);]
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
V:
実ベクトル空間
(
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」)
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
:V上の
ベクトル
。つまり、
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
∈
V
【本題】
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
が張る部分空間
とは、
あらゆる「
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
を含む『Vの
部分ベクトル空間
』」の
共通部分
。
※
これは、
v
1
,
v
2
,
…
,
v
l
のあらゆる一次結合の集合に一致→定理
→
トピック一覧:〜が張る部分ベクトル空間
→
線形代数目次
・
総目次
定理:「〜を含む最小の部分ベクトル空間」と、「〜が張る部分ベクトル空間」は一致する。
[砂田『
行列と行列式
』§5.2補題5.23の議論の骨格から(p.163);]
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
V:
実ベクトル空間
(
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」)
+
:
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
ベクトルの加法
スカラー
に続けて
ベクトル
を並べて書いたもの:
実ベクトル空間
Vにおいて定義されている
スカラー乗法
S:Vの
部分集合
。Vに
属す
ベクトル
の集合。(Vの
部分ベクトル空間
でなくてよい。)
Ц
:「S
を含む
『Vの
部分ベクトル空間
』」をすべて集めた
集合系
W
0
:
Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』
《S》:
Sが張る『Vの部分ベクトル空間』
【本題】
「
Sを含む最小の『Vの部分ベクトル空間』
」
W
0
と、「
S
が張る『
V
の部分ベクトル空間』
」《
S
》は一致する。
(
証明
)
W
0
⊃
《
S
》
かつ
《
S
》
⊃
W
0
を示せばよい。
Step
1:
・「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」をすべて集めた
集合系
を
Ц
とおく。
・「
S
を含む最小の『
V
の部分ベクトル空間』
」
W
0
は、「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」である。
∵「
S
を含む最小の『
V
の部分ベクトル空間』
」の定義
したがって、
W
0
∈
Ц
…
(1-1)
・《
S
》の
定義
より、《
S
》=
∩
Ц
…
(1-2)
・
集合系の積集合の性質
より、
任意
の
W
∈
Ц
にたいして、
W
⊃
∩
Ц
…
(1-3)
・
(1-3)
に
(1-2)
を代入すると、
任意
の
W
∈
Ц
にたいして、
W
⊃
《
S
》 …
(1-4)
となる。
・
(1-1)
と
(1-4)
より、
W
0
⊃
《
S
》
以上によって、
W
0
⊃
《
S
》は示された。
Step
2:
・「
S
を含む
『
V
の
部分ベクトル空間
』」をすべて集めた
集合系
を
Ц
とおく。
・「
S
を含む最小の『
V
の部分ベクトル空間』
」
W
0
は、
(
∀
W
∈
Ц
)(
W
⊃
W
0
) …
(2-1)
を満たす。 ∵「
S
を含む最小の『
V
の部分ベクトル空間』
」の定義
したがって、
集合系の積集合の性質
より、
(2-1)
のもとで、
∩
Ц
⊃
W
0
…
(2-2)
が成立する。
《
S
》=
∩
Ц
(∵《
S
》の
定義
) を用いて、
(2-2)
を書きかえると、
《
S
》
⊃
W
0
以上によって、《
S
》
⊃
W
0
は示された。
→
トピック一覧:〜が張る部分ベクトル空間
→
線形代数目次
・
総目次
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I
』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式
』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『
線形代数学
(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:
線形代数30講
』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:
線形代数
』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5:
新しい代数
』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:
環と体の理論
』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。