数ベクトルが基底となるための十分条件の証明　　
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(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
Kⁿ：K上のn次元数ベクトル空間　
+：K上のn次元数ベクトル空間において定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Kⁿにおいて定義されているスカラー乗法　
v₁, v₂, …, v_n：n個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, nにたいして、v_i1, v_i2, …, v_in∈Kとして、v_i=( v_i1, v_i2, …, v_in )　　　
　　　　　　　したがって、v₁, v₂, …, v_n ∈Kⁿ 。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
a₁, a₂, …, a_n ：スカラー。a₁, a₂, …, a_n ∈K　　

(定理の確認)
K上のn次元数ベクトル空間においては、n個の一次独立な「Kからつくったn次元数ベクトル」がそろえば、基底となる。
つまり、
v₁, v₂, …, v_n∈Kⁿが一次独立ならば、v₁, v₂, …, v_nは、Kⁿの基底である。

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（証明）　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.2.3(p.13);]
・「v₁, v₂, …, v_n∈KⁿがKⁿの基底である」とは、v₁, v₂, …, v_nが次の2条件を満たすことであった。
　　基底であるための条件1：v₁, v₂, …, v_nが線形独立となること。
　　基底であるための条件2：v₁, v₂, …, v_nの一次結合として、Kⁿに属す任意のn次元数ベクトルを表せること。
　　　　　　　　　　　　　　　( ∀v ∈Kⁿ ) ( ∃a₁, a₂, …, a_l ∈Ｋ) ( v =a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l )　
・v₁, v₂, …, v_n∈Kⁿが一次独立ならば、
　　　　それだけで、v₁, v₂, …, v_nは「基底であるための条件1」を満たしている。…(1) 　
・「v₁, v₂, …, v_n∈Kⁿが一次独立」ということを、一次独立の定義に遡って書き下すと、　
　　　「a₁＝a₂＝…＝a_l＝０でない」⇒a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l≠０　　　…(2) 　
・v は、任意の「Kからつくったn次元数ベクトル」であるとする。
　すると、v,v₁, v₂, …, v_nは一次従属となる。
　　　　　　∵ n個より多くの「Kからつくったn次元数ベクトル」は一次従属だから。
　「v,v₁, v₂, …, v_nは一次従属」ということを、一次従属の定義に遡って書き下すと、
　　a＝a₁＝a₂＝…＝a_l＝０でないスカラーa,a₁, a₂, …, a_l が存在して、
　　　（つまり、a,a₁, a₂, …, a_l のなかに少なくとも一つ0ではないものを含むスカラーa₁, a₂, …, a_l が存在して）
　　　　　av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０を満たす。　
　　ここで、a=０ではないことがわかる。…(3)
　　なぜなら、
　　｜a=0ならば、
　　｜　・a₁＝a₂＝…＝a_l＝０でない
　　｜　　　　∵a＝a₁＝a₂＝…＝a_l＝０でないという条件は、
　　｜　　　　　　つまり、a,a₁, a₂, …, a_l のなかに少なくとも一つ0ではないスカラーを含むということ。　　
　　｜　　　　　　a=0ならば、0ではないスカラーはa₁, a₂, …, a_l のなかに存在しなければならない。　
　　｜　・av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l＝０v+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l　
　　｜　　＝a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l　　∵スカラーゼロ倍　
　　｜　だから、(2)より、
　　｜　av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l＝a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l≠０　
　　｜となってしまう。　　
　　｜つまり、a=0ならば、v,v₁, v₂, …, v_nが一次従属であることの定義を満たさない。
　　｜したがって、av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０を満たす、a＝a₁＝a₂＝…＝a_l＝０ではないスカラーa,a₁, a₂, …, a_l は、
　　｜a≠０という制約のもとにある。　
・(3)で、a=０ではないことがわかったから、aには、乗法の逆元a^−１が存在する。…(4)　
・av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l=０　は、次のように変形してゆける。
　av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l+{−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l）}=−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l）+０　
　　　　　　　　　　　　　　∵両辺に(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l）の逆ベクトルを加えた。　
　av+０=−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l）+０　
　　　　　　　　　　　　　　∵数ベクトルの加法の性質：v+(−v）＝０　　　
　av=−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l）　　∵数ベクトルの加法の性質：v+０＝v　　　
　av=(−１)(a₁v₁+a₂v₂+…+a_lv_l）　　∵逆ベクトルの定義　　　
　av= (−1)a₁v₁+(−1)a₂v₂+…+(−1)a_lv_l　　∵数ベクトルのスカラー乗法の性質　　
　a^−１av=a^−１ (−1)a₁v₁+a^−１(−1)a₂v₂+…+a^−１(−1)a_lv_l　
　　　∵(4)よりaには、乗法の逆元a^−１が存在するので、これを両辺にかけた。　　
　a^−１av= (−1)a^−１a₁v₁+(−1)a^−１a₂v₂+…+(−1)a^−１a_lv_l　
　　　　　　∵体における乗法の可換則　　
　1v= (−1)a^−１a₁v₁+(−1)a^−１a₂v₂+…+(−1)a^−１a_lv_l　　∵体における自らの乗法の逆元との積　　
　v= (−1)a^−１a₁v₁+(−1)a^−１a₂v₂+…+(−1)a^−１a_lv_l　　∵数ベクトルのスカラー乗法の性質：1v=v　　
　v= (−a^−１a₁)v₁+(−a^−１a₂)v₂+…+(−a^−１a_l)v_l　　∵数ベクトルのスカラー乗法の性質：1v=v　　
ここで、
　　 (−a^−１a₁),(−a^−１a₂),…,(−a^−１a_l)∈Ｋだから、
　　v₁, v₂, …, v_nは「基底であるための条件2」を満たしている。…(5) 　　　　
・(1)(5)より、「v₁, v₂, …, v_n∈KⁿがKⁿの基底である」といえる。

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