命題論理における論理式間関係の意味論　−　推論　：　トピック一覧　　

・定義：複数の論理式の真理値割り当て　　
・定義：同時に充足する/矛盾/充足可能・整合的　
・定義：推論 / 前提 / 結論・帰結 / 推論式 / 反例　　 
・定義：推論が有効・妥当・正しい / 推論が有効でない・妥当でない・誤っている　/　⊨(double-turnstile)　　　
・定義：論理的に同値　  　　　

　*　論理関連ページ：
　　　・論理記号一覧　　
　　　・命題論理の意味論
　　　　　　　・論理式の意味論：真理値/真理関数/真理値表/論理式の真理値の決定原理/真理値分析/恒真式・恒偽式 　
　　　　　　　・論理式間関係の意味論： 　
　　　・命題論理のシンタクス

　*　論理目次/総目次/更新履歴　

※述語論理の場合は、林晋,鹿島亮を参照。



定義：推論・推理inference・論証argument　　

【推論の定義】

・推論 inference とは、
　　　　ある《有限個の命題(論理式)》が真であることを根拠として、
　　　　他の《1個の命題(論理式)》が真であることを
　　　　導き出すこと。[中谷p.55;戸次p.18]
　　　→妥当な推論/妥当でない推論　
・ある推論の前提premise・仮定とは、
　　　　その推論の根拠となる《有限個の命題(論理式)》のこと
　　　　　　　　　[中谷p.55;戸田山p.3;戸次p.18]
　ある推論の結論conclusion・帰結consequenceとは、
　　　　その推論で導き出される《1個の命題(論理式)》のこと
　　　　　　　　　[conclusion:中谷p.55;戸田山p.3; consequence:戸次p.18]
・「〜からの論理的帰結 logical consequence」とは、
　　　　　　　〜を推論の前提としたときに、そこから推論が導き出す結論のこと。
　　　　　　　　　　[中谷p.55;戸田山p.3]
・演繹とは、前提から結論を論理的法則にしたがって導き出す過程のこと。[中谷p.55]

【推論を表す文言】

　以下は、《A1,…,Anを前提としてCを結論する推論》を、言い表す言葉のサンプル。
　
　・サンプル1:
　　　　　　　「A1,…,An 。それゆえ、C」[野矢p.40]
　　　　　　　「A1,…,An 。ゆえに、C」[中谷p.68]
　　　　　　　「A1,…,An よりC である」[戸次p.18]
　　　　　　　「A1,…,An 。したがって、C」[戸田山p.63]
　・サンプル2: 「A1,…,AnからCを導く」(戸田山p.62)　　
　　　　　　　　「A1,…,An のもとでCが導かれる」[野矢p.40]




【文献】
　●中谷『論理』3.1(p.55):推論inference(p.55),前提premise・仮定(p.55)、結論conclusion,演繹(p.55)、論理的帰結・帰結(p.55)、推論式(p.55)、推論が妥当・有効(p.57)、
　・戸次 『数理論理学』2.5推論と妥当性(pp.18-19):概略;3.3.1(p.40)推論の妥当性
　・野矢『論理学』1-1-6(p.40):推論式、推論が正しい、正しくない 　


　●戸田山『論理学をつくる』1.1.2論理学の三つの顔「論証の正しさについての学としての論理学」(p.3):argument=inference,premise,conclusion,logical consequence
　　　　　　　　　　　　　　　1.2論証の正しさをどこに求めたらよいか(pp.9-15)

 　　

　　
　・サンプル3: 「A1,…,An からC が論理的に出てくる C logically follows from A1,…,An」(戸田山p.3)
　・サンプル4: 「C　は　A1,…,An の論理的帰結　C is logical consequence of A1,…,An」(戸田山)
　　　　　* 戸田山p.62は、妥当な推論・論証についてのみ、
　　　　　　　サンプル3「論理的に出てくる」サンプル4「論理的帰結」を用いている。


【推論の記法・形式的表現】

　以下は、《A1,…,Anを前提としてCを結論する推論》を表す記号・図式のサンプル。
　
　・サンプル1:

　　　　「A1,…,An　∴　C　」[中谷p.55]

　・サンプル2「推論図式」：
　　　[中谷p.56;58(推論式と呼んでいる);59(推論図式と呼んでいる);戸田山p.3;pp.8-9;pp.13-14;pp.18-20;pp.63-65]


 
  A1



:
　　
  A1,…,An 
  An  
 
 C
C
　　　　*横線の上の式を「上式」、横線の下の式を「下式」と呼ぶ。[中谷p.56]

　・サンプル3「推論式」:
　　　　　　　「A1,…,An　⇒　C　」[中谷p.55;戸次p.18;]
　　　　　　　「A1,…,An →C」[野矢p.40]
　　　　　　　　　　*中谷・戸次は、推論式を⇒で表すのに対し、論理記号を→で表して区別。
　　　　　　　　　　*野矢は、推論式を→で表すのに対し、論理記号を⊃で表して区別。　
　　　　　　　　　　*戸田山は、論理記号を→で表し、妥当な論証をdouble-turnstileで表すが、
　　　　　　　　　　　　　　　妥当でないかもしれない論証については、推論式は使わず、
　　　　　　　　　　　　　　　　サンプル2の表現のみ使う。　


　

定義：反例counter-example 


・ある推論(論証)の反例とは、
　その推論(論証)の前提を真にするが、
　その推論(論証)の結論は偽にする場合のこと。

・真理値表で考えると・・・[戸田山3.7.2]




【文献】
　●戸田山『論理学をつくる』3.7.1;3.7.2(p.62)

　　

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定義：推論・論証の意味論的妥当性、推論の含意semantic entailment、意味論的演繹関係


・ある推論が有効である・妥当である・正しいとは、
　その推論の前提が真ならば、その推論の結論もつねに真であるということ。[中谷p.57;59]

・ある推論が有効でない・妥当でない・誤っているとは、
　その推論の前提が真なのに、その推論の結論が偽となることがあるということ。[中谷p.57]

　*　明確化すると・・・
　　　　　→　【はじめに読む定義】　
　　　　　→　【厳密な定義　〜　恒真式(トートロジー)の概念を用いて】
　　　　　→　【厳密な定義　〜　矛盾・充足不能の概念を用いて】　
　　　　　→　【厳密な定義　〜　真理値割り当てまで遡って　】

【はじめに読む定義】

　「推論『A1,…,An ∴ C 』が有効である・妥当である・正しい」

　　　　

記号で表すと「A1,…,An

 ⊨

C」

　*　記号　

 ⊨

　は、double-turnstileと呼ばれる。cf. single-turnstile.
　　
　　とは、

　　前提 A1,…,An がすべて真のとき、結論C は必ず真になる　　　　[野矢p.40]
　　ということ、

　　言い換えると、




【文献】
　・戸次 『数理論理学』2.5推論と妥当性(pp.18-19):概略;定義3.48(p.41)意味論的含意semantic entailment(p.41);定義3.49推論の意味論的妥当性semantic validity;脚注11double turnstile(p.41);
　　　　　　　　　　　定理3.57(p.43)充足可能との関連;定理3.60トートロジーとの関連(p.44);
　・中谷『論理』3.1(p.55):推論inference(p.55),前提premise・仮定(p.55)、結論conclusion,演繹(p.55)、論理的帰結・帰結(p.55)、推論式(p.55)、推論が妥当・有効(p.57)、含まれる命題変数の真理値割り当て・付値まで踏み込まない。
　・野矢『論理学』1-1-6(p.40):推論式、推論が正しい、正しくない 　。推論の具体例の真理値分析つき。
　●戸田山『論理学をつくる』1.2論証の正しさをどこに求めたらよいか(pp.9-15)
　　　　　　　　　　　　　　3.7.2論証の妥当性を定義する(p.62):「〜から〜を導く論証が妥当」「妥当な論証とは、反例の存在しないような論証である」;
　　　　　　　　　　　　　　3.7.5論理学の三つの顔は一つであるー定理9(p.66):トートロジーを用いて;練習問題15(p.67)：矛盾を用いて
　　　　　　　　　　　　　　3.8.1論理的帰結を定義する(p.67):〜から〜が論理的に出てくるlogically follows from, 〜は〜の論理的帰結logical consequence of , 2重ターンスタイルdouble turnstile,
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）-4.5 意味論的演繹関係 「 |=　」
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Double_turnstile



　　
　　推論『A1,…,An ∴ C 』には、
 　　　　《前提 A1,…,An がすべて真であって、結論C は偽である状況》　[戸次p.19]　すなわち、《反例》　[戸田山p.62]
　　が存在しないということ。

・「推論『A1,…,An ∴ C 』が有効でない・妥当でない・誤っている」　

　　　　

記号で表すと「A1,…,An

 ⊭

C」

　とは、
　　《前提 A1,…,An がすべて真なのに、結論Cは偽》ということが起こりうるということ。[野矢p.40]

【厳密な定義　〜　恒真式(トートロジー)の概念を用いて】

　「推論『論理式A1,論理 式A2,…,論理式An ∴ 論理式C 』が有 効である・妥当である・正しい」

　　　　

記号で表すと「A1,…,An

 ⊨

C」


　　　　　　*

　記号　

⊨

　は、double-turnstileと呼ばれる。cf. single-turnstile.
　　とは、
　　　　論理式「A1∧A2∧…∧An⇒C」が恒真式(トートロジー) である
　　　　　[中谷p.56;59;野矢pp.40-41;戸田山定理9p.66;戸次定理3.60(p.44)]
　　ということ、

　　言い換えると、
　　　《論理式「A1∧A2∧…∧An⇒C」の付値》を、どれに切り替えても、
　　　《論理式「A1∧A2∧…∧An⇒C」の真理値》が真にしかならない　
　　ということ。




【文献】
　・戸次 『数理論理学』2.5推論と妥当性(pp.18-19):概略;定義3.48(p.41)意味論的含意semantic entailment(p.41);定義3.49推論の意味論的妥当性semantic validity;脚注11double turnstile(p.41);
　　　　　　　　　　　定理3.57(p.43)充足可能との関連;
　　　　　　　　　　　定理3.60トートロジーとの関連(p.44):前提の論理式が1個のケース;
　　　　　　　　　　　定理3.75トートロジーとの関連(p.51):前提の論理式が複数個のケース;　　　　
　・中谷『論理』3.1(p.56):トートロジーで定義。
　・野矢『論理学』1-1-6(p.40):推論式、推論が正しい、正しくない 　。推論の具体例の真理値分析つき。トートロジーで定義。
　●戸田山『論理学をつくる』3.7.5論理学の三つの顔は一つである-トートロジーを用いて;練習問題15(p.67:答p.372)

　　
【厳密な定義　〜　矛盾・充足不能の概念を用いて】

　「推論『論理式A1,論理 式A2,…,論理式An ∴ 論理式C 』が有 効である・妥当である・正しい」

　　　　

記号で表すと「A1,…,An

 ⊨

C」

　　

　　　　　　*

　記号　

⊨

　は、double-turnstileと呼ばれる。cf. single-turnstile.
　　とは、

　　論理式A1,…,An　, ¬C　が矛盾している・充足不能であるということ、
　　　　　　[戸田山　練習問題15 定理11(p.67);戸次定理3.57(p.43)]

　　つまり、　




【文献】
　・戸次 『数理論理学』2.5推論と妥当性(pp.18-19):概略;定義3.48(p.41)意味論的含意semantic entailment(p.41);定義3.49推論の意味論的妥当性semantic validity;脚注11double turnstile(p.41);
　　　　　　　　　　　定理3.57(p.43)充足可能との関連;定理3.60トートロジーとの関連(p.44);
　●戸田山『論理学をつくる』3.7.5論理学の三つの顔は一つである-練習問題15定理11(p.67:答p.372)：矛盾を用いて
　　　　　　　　　　　　　　3.8.1論理的帰結を定義する(p.67):〜から〜が論理的に出てくるlogically follows from, 〜は〜の論理的帰結logical consequence of , 2重ターンスタイルdouble turnstile,

　　
　　　　　論理式A1,…,An　,¬C　を同時に充足する真理値割り当てが存在しないということ、
　　しつこくいうと、
　　　《論理式A1,…,An　,¬C に含まれる命題変数に対する真理値割り当て》のなかに、
　　　　論理式A1,…,An　,¬C の真理値を同時に真にするものが
　　　　存在しない
　　ということ。

【厳密な定義　〜　真理値割り当てまで遡って　】

・「推論『論理式A1,論理 式A2,…,論理式An ∴ 論理式C 』が有 効である・妥当である・正しい」

　　　　

記号で表すと「A1,…,An

 ⊨

C」

　　

　　　　　　*

　記号　

⊨

　は、double-turnstileと呼ばれる。cf. single-turnstile.
　　とは、

　　すべての《論理式A1,…,An を同時に充足する真理値割り当て》が、
　　論理式Cも充足する（高崎）

　　ということ、




【文献】
　・戸次 『数理論理学』2.5推論と妥当性(pp.18-19):概略;定義3.48(p.41)意味論的含意semantic entailment(p.41);定義3.49推論の意味論的妥当性semantic validity;脚注11double turnstile(p.41);
　　　　　　　　　　　定理3.57(p.43)充足可能との関連;定理3.60トートロジーとの関連(p.44);
　●戸田山『論理学をつくる』1.2論証の正しさをどこに求めたらよいか(pp.9-15)
　　　　　　　　　　　　　　3.7.2論証の妥当性を定義する(p.62):「〜から〜を導く論証が妥当」「妥当な論証とは、反例の存在しないような論証である」;
　　　　　　　　　　　　　　3.8.1論理的帰結を定義する(p.67):〜から〜が論理的に出てくるlogically follows from, 〜は〜の論理的帰結logical consequence of , 2重ターンスタイルdouble turnstile,
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）-4.5 意味論的演繹関係 「 |=　」

　　

　　詳細には、
　　　《論理式A1の真理値》…《論理式Anの真理値》を同時に真とし、《論理式Cの真理値》を偽とする《論理式A1,…,An,Cに含まれる命題変数に対する真理値割り当て》が存在しない
　　ということ。　[戸田山p.62;p.67 ; 戸次3.3.1(p.40);定義3.48(p.41)]


　　真理値表を書く。


・「A1,…,An　∴　C　」という推論が妥当である・正しいとは、
　　論理式A1,…,An,Cに含まれる命題変数に対する真理値割り当てのうち、
　　《論理式A1の真理値》…《論理式Anの真理値》を同時に真、
　　《論理式Cの真理値》を偽、
　　とする割り当てが存在しない[戸田山p.62;p.67 ; 戸次3.3.1(p.40)]

・「φ1,…,φn　∴　ψ　」という推論が妥当である・正しいとは、
　　「φ1,…,φnに含まれるすべての論理式φiについて、[φi]I=1であり、かつ[ψ]I=0であるような解釈Iは存在しない」[戸次p.40]
・論理式列Γが論理式ψを意味論的に含意するとは、Γに含まれるすべての論理式φについて[φi]I=1であり、かつ[ψ]I=0であるような解釈Iは存在しない」[戸次　定義3.48p.41]

【具体例】
　→推論『P ∴ ¬P 』は有効でない・妥当でない・誤っている。　


　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する(a)(p.62) : 真理値表付。　　　　　　　
　　P,Q を命題変数とする。
　　　「　P⇒Q , Q　。　∴ P 。」

　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する(b)(p.62) : 真理値表付。　　　　　　　
　　P,Q,R を命題変数とする。
　　　「　R∨Q　,　Q⇒P , ¬P　。　∴ R 。」

　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(1)(a)(p.63:答p.371「妥当」だけ) 。　　　　　　　
　　P,Q を命題変数とする。
　　　「　P∨Q , P⇒Q 。　∴ Q 。」

　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(1)(b)(p.63:答p.371「妥当でない」だけ) 。　　　　　　　
　　P,Q,R を命題変数とする。
　　　「　P⇒Q　,　P⇒R 　。　∴ Q∧R 。」

　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(1)(c)(p.63::答p.371「妥当」真理値表付) 。　　　　　　　
　　P,Q,R を命題変数とする。
　　　「　P⇒Q　,　P⇒R 　。　∴ P⇒(Q∧R) 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(2)(a)(p.63::答p.371「妥当でない」真理値表なし) 。　　　　　　　
　　P,Q を命題変数とする。
　　　「　P⇒Q　,　¬P 　。　∴ ¬Q 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(2)(b)(p.63::答p.371「妥当でない」真理値表なし) 。　　　　　　　
　　P,Q を命題変数とする。
　　　「　P⇒Q　,　Q 　。　∴ P 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(2)(c)(p.63::答pp.371-2「妥当」真理値表つき) 。　　　　　　　
　　P,Q,R を命題変数とする。
　　　「　P∨Q, P⇒¬R　,　Q⇒R,¬R 　。　∴ P 。」

　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(3)(a)(p.63:答なし) 。　　　　　　　
　　　肯定式 modus ponens「　A⇒B　,　A 　。　∴ B 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(3)(b)(p.63:答p.372「妥当」真理値表付) 。　　　　　　　
　　　選言的三段論法 disjunctive syllogism「　A∨B　,　¬A 　。　∴ B 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(3)(c)(p.63:答なし) 。　　　　　　　
　　　否定式 modus tollens「　A⇒B　,　¬B 　。　∴ ¬A 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.2論証の妥当性を定義する-練習問題14(3)(d)(p.63:答なし) 。　　　　　　　
　　　推移率 transitive law「　A⇒B　,　B⇒C 　。　∴ A⇒C 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.3構成的両刀論法と場合分けによる証明(p.64) 。　　　　　　　
　　　構成的両刀論法 constructive dilemma「　A⇒C　,　B⇒C　,　A∨B　。　∴ C 。」
　　　場合分けによる証明　proof by cases 「　A1∨A2∨…∨An　,　A1⇒C　,　A2⇒C　,…,　An⇒C　。　∴ C 。」
　・戸田山『論理学をつくる』3.7.4矛盾からは何でも出てくる(p.65) 。　Ex falso quodlibet
　　　　　矛盾　（「偽の命題」ではない）　∴　R。　
　　　　　　　　P⇒Q, ¬Q　,　P　。　∴R　。
  ・戸次 『数理論理学』3.3.3推論の真偽値表(pp.43-44)真理値表付。
　　　　　「P⇒R, Q⇒R」⊨「(P∨Q)⇒R」
  ・戸次 『数理論理学』3.3.3推論の真偽地表-練習問題3.59(p.44)：答えなし。


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記号　⊨　(double-turnstile)の定義

・

記号　

⊨

　は、double-turnstileと呼ばれる。cf. single-turnstile.

・

記号　

⊨

　は、

　　　

《論理式をあつめた集合(列)》

⊨

《論理式をあつめた集合(列)》

　　　　*　左辺の《論理式をあつめた集合》は、集めた論理式の個数が0個も含め何個でもよい。
　　　　*　右辺の《論理式をあつめた集合》は、集めた論理式の個数が、0個か1個のいずれか。

　　という形で用いられ、




【活用例】推論が有効・妥当・正しい/恒真命題・恒真式・トートロジー/矛盾/論理的に同値　 

【文献】
　・戸次 『数理論理学』定義3.48(p.41)意味論的含意semantic entailment(p.41);定義3.49推論の意味論的妥当性semantic validity;脚注11double turnstile(p.41);定理3.57(p.43)充足可能との関連;定理3.60トートロジーとの関連(p.44);
　●戸田山『論理学をつくる』3.8.1論理的帰結を定義する(pp.67-69)定義2(p.68)  2重ターンスタイルdouble turnstile,
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）-4.5 意味論的演繹関係 「 |=　」

　・http://en.wikipedia.org/wiki/Double_turnstile　　

　　　すべての「左辺に属す論理式」の真理値を真にしつつ、「右辺に属す論理式」の真理値を偽にする真理値割り当て　
　　　が存在しない

　　ということ、

　　正確には、

　　　すべての「左辺に属す論理式」と「右辺に属す論理式」に含まれる命題変数に対する真理値割りあてのなかに、
　　　　　すべての「左辺に属す論理式」の真理値を真にしつつ、「右辺に属す論理式」の真理値を偽にする真理値割りあて　
　　　が存在しない

　　ということ
　
　　を意味する。

・《論理式をあつめた集合(列)》

⊭

《論理式をあつめた集合(列)》　は、

　　　すべての「左辺に属す論理式」の真理値を真にしつつ、「右辺に属す論理式」の真理値を偽にする真理値割り当て　
　　　が存在する

　　ということ、　

　　正確には、

　　　すべての「左辺に属す論理式」と「右辺に属す論理式」に含まれる命題変数に対する真理値割りあてのなかに、
　　　　　すべての「左辺に属す論理式」の真理値を真にしつつ、「右辺に属す論理式」の真理値を偽にする真理値割りあて　
　　　が存在する　　

　　ということ
　
　　を意味する。

　*　《論理式をあつめた集合》を外延的記法で表した
　　　
 {A1,A2,…,An} 
 ⊨ {P}
　　　は、
　　　
 　A1,A2,…,An  ⊨ P
　　と略記される。[戸田山;戸次解説3.50]
　　　活用例→推論が有効・妥当・正しい

　*　左辺に属す論理式が0個のとき、
　
 　 
 ⊨ 《論理式をあつめた集合(列)》
　　と表し、

　　「右辺に属す論理式」を偽にする真理値割りあては存在しないということ、

　　　　すなわち、「右辺に属す論理式」が恒真命題・恒真式・トートロジーであるということ

　　を意味する。

　*　右辺に属す論理式が0個のとき、
　
 　 《論理式の集合(列)》 ⊨
　　と表し、

　　　「左辺に属す論理式」の真理値を偽にする真理値割りあては存在しないということ、

　　　　 　すなわち、「左辺に属す論理式」が矛盾してるということ

　　を意味する。　

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【メモ】

・戸田山
　　
　
 《論理式の集合》  ⊨ 論理式
　　　とは、
 　左辺の《論理式の集合》に属すすべての論理式と、
　　右辺の論理式
　　を構成しているすべての原子式への真理値割り当てのなかに、
　左辺の《論理式の集合》に属すすべての論理式の真理値を真にし、
　なおかつ　
　右辺の論理式の真理値を偽にする
　真理値割り当ては存在しない
　ということ。

　《論理式の集合》は、無限集合でも、空集合でもよい。
　　　
　略記法
　1.《論理式の集合》を外延的記法で表した
　
 {A1,A2,…,An} 
 ⊨ 論理式
　　は、
　
 　A1,A2,…,An 
 ⊨ 論理式
　　と略記してよい。
　　　活用例→推論が有効・妥当・正しい
　　
　2.
  3.
  4. ⊭
  5.
　
 　　空集合
⊨ 論理式
　　は、
　　右辺の論理式を構成しているすべての原子式への真理値割り当てのなかに、
　　右辺の論理式の真理値を偽にする真理値割り当ては存在しない
　　を意味し、
　
 　 
 ⊨ 論理式
　　と略記される。　　
　　　活用例→恒真命題・恒真式・トートロジー　
　
　6.
　
 《論理式の集合》  ⊨ （空集合）
　　は、
　　左辺の《論理式の集合》に属すすべての論理式
　　を構成しているすべての原子式への真理値割り当てのなかに、
　　左辺の《論理式の集合》に属すすべての論理式の真理値を真
　　にする真理値割り当ては存在しない
　　を意味し、
　
 《論理式の集合》  ⊨
　　と略記される。　
　　　活用例→矛盾

戸次

　
 《論理式の列》
⊨ 《論理式の列》
　　　ただし、
　　　　左辺の《論理式の列》の長さは、0も含め幾つでもよいが、
　　　　右辺の《論理式の列》の長さは、0か1。
　　　とは、
 　左辺の《論理式の列》に属すすべての論理式と、
　　右辺の《論理式の列》に属す論理式
　　を構成しているすべての原子式への真理値割り当てのなかに、
　左辺の《論理式の列》に属すすべての論理式の真理値を真にし、
　なおかつ　
　右辺の《論理式の列》に属す論理式の真理値を偽にする
　真理値割り当ては存在しない
　ということ。

略記法
　1.《論理式の列》を外延的記法で表した
　
 {A1,A2,…,An} 
 ⊨ {P}
　　は、
　
 　A1,A2,…,An 
 ⊨ P
　　と略記してよい。[解説3.50]
　　　活用例→推論が有効・妥当・正しい

　2.左辺の《論理式の列》の長さが0のとき、
　
 　 
 ⊨ 《論理式の列》
　と表し、
　　右辺の論理式を構成しているすべての原子式への真理値割り当てのなかに、
　　右辺の論理式の真理値を偽にする真理値割り当ては存在しない
　ということ、
 　すなわち、
　右辺の論理式に属す論理式が　恒真命題・恒真式・トートロジーであるということ
　を意味する。

　3.右辺の《論理式の列》の長さが0のとき、
　
 　 《論理式の列》 ⊨
　と表し、
　　左辺の論理式を構成しているすべての原子式への真理値割り当てのなかに、
　　左辺の論理式の真理値を偽にする真理値割り当ては存在しない
　ということ、
 　すなわち、
　右辺の論理式に属す論理式が矛盾してるということ
　を意味する。