命題論理における論理式間関係の意味論　−　矛盾・充足可能・整合性　：　トピック一覧　　

・定義：複数の論理式の真理値割り当て　　　
・定義：同時に充足する/矛盾/充足可能・整合的　
・定義：推論 / 前提 / 結論・帰結 / 推論式 / 反例　
・定義：推論が有効・妥当・正しい / 推論が有効でない・妥当でない・誤っている　/　⊨(double-turnstile)　　
・定義：論理的に同値　  　　

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定義：複数の論理式(論理式の集合)の真理値割り当て　


・複数の論理式（論理式の集合）を扱う際、
　真理値割り当てtruth assignmentとは、　
　それらいずれかの論理式に含まれるすべての命題変数(原子式)に対する真理値割り当て
　を指す。　　

　*　同じ命題変数(原子式)が複数の論理式に含まれているとき、
　　　その命題変数(原子式)は、一つとして扱う。

・2個の論理式A,Bを扱う際、
　真理値割り当てtruth assignmentとは、　
　論理式A,Bの少なくとも一方に含まれるすべての命題変数(原子式)に対する真理値割り当て　　
　を指す。
　

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bも命題変数をPだけ含む場合、
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数Pに対する真理値割り当て」を指す。
　　　　　
　　　　　　→【例】　論理式「P」「¬P」を扱う場面での「真理値割り当て」の意味　

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bは命題変数をQだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bは命題変数をP,Qだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をPだけを含む論理式「P」と
　　　　　　　　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P∧Q」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bは命題変数をQ,Rだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Q,Rに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をPだけを含む論理式「P」と、
　　　　　　　　命題変数をQ,Rだけを含む論理式「Q∨R」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Q,Rに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をP,Qだけ含み、論理式Bも命題変数をP,Qだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P⇒Q」と
　　　　　　　　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P∧Q」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をP,Qだけ含み、論理式Bは命題変数をQ,Rだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Q,Rに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P⇒Q」と
　　　　　　　　命題変数をQ,Rだけを含む論理式「Q⇒R」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Q,R に対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をP,Qだけ含み、論理式Bは命題変数をR,Sだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Q,R,Sに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P⇒Q」と
　　　　　　　　命題変数をR,Sだけを含む論理式「R⇒S」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Q,R,S に対する真理値割り当て」を指す。


・n個の論理式A1,A2,…Anを扱う際、
　真理値割り当てtruth assignmentとは、　
　論理式A1,A2,…Anのうち、少なくとも一つ以上の論理式に含まれるすべての命題変数(原子式)に対する真理値割り当て　　
　を指す。　　

色々なケース→戸田山　　　　　　　


  




【活用例】矛盾 / 充足可能・整合的　/ 推論の妥当性　


【文献】
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）3.4真理値割り当て3.5 真理値割り当てによる論理式の意味解釈
　　　　　　　「 論理式φに含まれる変数が x1, ..., xn であるとする．これらの 真理値割り当て M が与えられれば φ の真理値が定まる． これを真理値割り当て M の下での論理式φの「解釈」 という」
　　　　　　　4.1 論理式の同値性「 【定義】論理式φ, ψが論理的に同値であるとは， φ, ψに含まれる命題変数のあらゆる真理値割り当て M に対して M[φ] = M[ψ] となることをいう．」


　・戸田山『論理学をつくる』
　　　3.5.2真理値割り当て (p.55) 「【定義】Lの原子式からなる或る集合をFとする。Fに対する真理値割り当てVを次のような関数とする。V:F→{1,0}」
　　　　　松本のように、論理式にたいして、「論理式の付値」を定義しているのではなく、
　　　　　原子式の集合に対して、その集合に属す原子式に真偽を割り当てるものとして、「原子式の集合の真理値割り当て」を定義している。
　　　3.6.1 論理式の集合の矛盾を定義する(p.58)：「論理式の集合の真理値割り当て」を明示的に定義していないが、具体例を示している。
　・戸次 『数理論理学』
　　　・3.2.2解釈(pp.28-35)：「論理式の集合からDt(真偽値領域)への写像」を「一階命題論理の解釈と呼ぶ」(p.29)：
　　　　　　　　　　　　　　　これだと、論理式を真/偽に対応づけているだけ。
　　　　　　　　　　　　　　　《論理式の集合》を 真/偽に対応づけたいなら、「論理式の冪集合からDt(真偽値領域)への写像」などと表現するはず。
　　　以下、複数の論理式の解釈というものを、手でいじれる形でみせることのないまま、
　　　・3.3.1定義3.48(p.41)：論理式列「Γに含まれるすべての論理式φについて[φi]I=1」…「[φi]I=0であるような解釈I」が登場。
　　　・3.3.2定義3.56(p.43)：「論理式列Γを同時に充足する解釈が存在することを、Γは充足可能であるという」が登場。
　　

　



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定義：同時に充足する　simultaneously satisfy 　　


・複数の論理式を、
　或る真理値割り当てが
　　　　（　正確には、或る《それらの論理式に含まれる命題変数に対する真理値割り当て》が　）
　同時に充足するsimultaneously satisfy
　とは、

　その真理値割り当てが、それらすべての論理式を充足する　

　すなわち、
　　その真理値割り当て　（　正確には、或る《それらの論理式に含まれる命題変数に対する真理値割り当て》　）
　　にしたがって
　　命題変数 （　正確には、それらのいずれかの論理式に含まれる命題変数　）
　　に 真理値 を与えていくと、
　　それらすべての論理式の真理値が同時に真になる
　　　
　ということ。　　

・論理式A,Bを、
　或る真理値割り当てが
　　　　（　正確には、或る《論理式A,Bに含まれる命題変数に対する真理値割り当て》が　）
　同時に充足するsimultaneously satisfy
　とは、

  その真理値割り当てが、論理式Aを充足し、論理式Bも充足する、

　すなわち、
　　その真理値割り当て　（　正確には、或る《論理式A,Bに含まれる命題変数に対する真理値割り当て》　）
　　にしたがって
　　命題変数 （　正確には、論理式A,Bに含まれる命題変数　）
　　に 真理値 を与えていくと、
　　それらすべての論理式の真理値が同時に真になる
　　　
　ということ。　　

　
  




【活用例】矛盾 / 充足可能・整合的　/ 推論の妥当性　　

【文献】
　・戸次 『数理論理学』3.3.2定義3.56(pp.42-43)　充足可能satisfiable. 充足不可能unsatisfiable 



　
　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bも命題変数をPだけ含む場合、　　
　　　　或る真理値割り当てが論理式A,Bを同時に充足するとは、
　　　　　或る「命題変数Pに対する真理値割り当て」が、論理式Aを充足し、論理式Bも充足する、

　　　　　すなわち、
　　　　　　その「命題変数Pに対する真理値割り当て」にしたがって
　　　　　　命題変数P に 真理値 を与えると、
　　　　　　論理式A,Bの論理式の真理値が同時に真になる
　　　　ということ。
　
　　　　　　→【例】　論理式「P」「¬P」を同時に充足する「真理値割り当て」は…　

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bは命題変数をQだけ含む場合、　　
　　　　或る真理値割り当てが論理式A,Bを同時に充足するとは、
　　　　　或る「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」が、論理式Aを充足し、論理式Bも充足する、

　　　　　すなわち、
　　　　　　その「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」にしたがって
　　　　　　命題変数P,Q に 真理値 を与えると、
　　　　　　論理式A,Bの真理値が同時に真になる
　　　　ということ。

　　　　　　→命題変数Pに真理値「真」を与え、命題変数Qに真理値「真」を与える真理値割り当ては、
　　　　　　　論理式「P」の真理値と、論理式「Q」の真理値が、同時に真にするから、
　　　　　　　論理式「P」と論理式「Q」を同時に充足する。
　

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bは命題変数をP,Qだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をPだけを含む論理式「P」と
　　　　　　　　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P∧Q」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bは命題変数をQ,Rだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Q,Rに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をPだけを含む論理式「P」と、
　　　　　　　　命題変数をQ,Rだけを含む論理式「Q∨R」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Q,Rに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をP,Qだけ含み、論理式Bも命題変数をP,Qだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P⇒Q」と
　　　　　　　　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P∧Q」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Qに対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をP,Qだけ含み、論理式Bは命題変数をQ,Rだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Q,Rに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P⇒Q」と
　　　　　　　　命題変数をQ,Rだけを含む論理式「Q⇒R」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Q,R に対する真理値割り当て」を指す。

　　→　論理式Aが命題変数をP,Qだけ含み、論理式Bは命題変数をR,Sだけ含む場合、　　
　　　　論理式A,Bを扱う際に「真理値割り当て」というと、
　　　　　「命題変数P,Q,R,Sに対する真理値割り当て」を指す。

　　　　　　→　命題変数をP,Qだけを含む論理式「P⇒Q」と
　　　　　　　　命題変数をR,Sだけを含む論理式「R⇒S」を扱う際に
　　　　　　　　「真理値割り当て」というと、
　　　　　　　　「命題変数P,Q,R,S に対する真理値割り当て」を指す。



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定義：矛盾 inconsistent 　　・　充足不能 unsatisfiable　　



・複数の論理式について「矛盾しているinconsistent」「充足不能unsatisfiable」とは、

　それらの論理式を同時に充足する真理値割り当てが存在しない　
　ということ、

　正確には、
　　《それらの論理式に含まれる命題変数に対する真理値割り当て》のなかに、
　　それらの論理式の真理値を同時に真にするものが
　　存在しない

 ということ。　　

  




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』3.6.1 (p.58)
　　　例：{P,P⇒Q,¬Q∨R,R⇒¬P}(真理値表付);
　　　　　{P,¬P}(p.59),練習問題12(1)は充足可能な例(答はp.370)
　・戸次 『数理論理学』3.3.2定義3.56(pp.42-43)　充足可能satisfiable. 充足不可能unsatisfiable  



　

・論理式A,Bが「矛盾しているinconsistent」「充足不能unsatisfiable」
　
 　　記号で表すと、　A,B  ⊨
　とは、
　論理式A,Bを同時に充足する真理値割り当てが存在しない　
　ということ、

　正確には、
　　《論理式A,Bに含まれる命題変数に対する真理値割り当て》のなかに、
　　それらの論理式の真理値を同時に真にするものが
　　存在しない
　　
　ということ。　　

　→　論理式Aが命題変数をPだけ含み、論理式Bも命題変数をPだけ含む場合、　　
　　　論理式A,Bが「矛盾しているinconsistent」「充足不能unsatisfiable」とは、
　　　「命題変数Pに対する真理値割り当て」のなかに、論理式A,Bを同時に充足する真理値割り当てが存在しないということ、
　　　正確には、
　　　「命題変数Pに対する真理値割り当て」のなかに、論理式A,Bの真理値を同時に真にするものが存在しないということ。
　　
　　　　　　　→【例】　論理式「P」「¬P」は矛盾している・充足不能　


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定義：整合的　consistent 　充足可能　satisfiable 　

・複数の論理式について「整合的consistent」「充足可能satisfiable」とは、

　それらの論理式を同時に充足する真理値割り当てが
　最低一個は存在するということ、

　正確には、
　　《それらの論理式に含まれる命題変数に対する真理値割り当て》のなかに、　　
　　それらの論理式の真理値を同時に真にするものが
　　最低一個は存在する　
　ということ。

　




【関連事項】
　　→ 定義「充足」　
　　→ 一つの論理式についての充足可能/充足不能
【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』3.6.2 (pp.58-9)
　　　例：練習問題12(1)(答はp.370){P⇒Q,¬Q∨R,R⇒¬P},{P⇒(Q⇒R),P⇒Q,¬R}
　・戸次 『数理論理学』3.3.2定義3.56(pp.42-43)　充足可能satisfiable. 充足不可能unsatisfiable  



　
　　
・論理式A,Bが「整合的consistent」「充足可能satisfiable」とは、
　論理式A,Bを同時に充足する真理値割り当てが存在しない　
　最低一個は存在するということ、

　正確には、
　　《論理式A,Bに含まれる命題変数に対する真理値割り当て》のなかに、
　　それらの論理式の真理値を同時に真にするものが
　　最低一個は存在する　
　　
　ということ。　　
　　　　　　　→【例】　論理式「P」「¬P」は整合的でない