2重和ΣΣの公式の証明

2重和の公式の証明

【1】　

ⁱ⁼¹

^j=1

X_ij　

　＝　

^j=1

ⁱ⁼¹

X_ij　

　[証明]

ⁱ⁼¹

^j=1

X_ij　

＝　

^j=1

X_1j　＋　

^j=1

X_2j　＋　…　＋　

^j=1

X_nj　　

　　＝（　X₁₁ ＋　X₁₂ ＋　…　＋　X_1m ）　＋　（　X₂₁ ＋　X₂₂ ＋　…　＋　X_2m ）　＋　…　＋　（　X_n1 ＋　X_n2 ＋　…　＋　X_nm ）　　　　　　　

　　実数の加法の結合則にしたがって、
　　各括弧内部の一番目だけ、各括弧内部の二番目だけ、各括弧内部三番目だけ、…を集めるように、
　　括弧のくくり方を変えて、

　　＝（　X₁₁ ＋　X₂₁ ＋　…　＋　X_n1 ）　＋　（　X₁₂ ＋　X₂₂ ＋　…　＋　X_n2 ）　＋　…　＋　（　X_1m ＋　X_2m ＋　…　＋　X_nm ）　

＝　

ⁱ⁼¹

X_i1　＋　

ⁱ⁼¹

X_i2　＋　…　＋　

ⁱ⁼¹

X_im　　

＝　

^j=1

ⁱ⁼¹

X_ij　

　　※{X_ij}が以下のような行列で、iが行でjが列だという設定で考えると、直感的にわかりやすい。

	j=1 ↓	j=2 ↓		j=m ↓

i=1→	X₁₁	X₁₂	…	X_1m
i=2→	X₂₁	X₂₂	…	X_2m
	：	：		：
i=n→	X_n1	X_n2	…	X_nm

　　　左辺が指示しているのは、まず、各行の総和を求めてから、それらを縦に足し合わせてゆくという計算動作である。
　　　右辺が指示しているのは、まず、各列の総和を求めてから、それらを横に足し合わせてゆくという計算動作である。
　　　どちらで計算しても、結果が同じであることは、小学生でもわかる。

　【文献】

　　・山本拓『計量経済学』新世社、1995年、38-41ページ。　　　

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2重和の公式の証明

【2】　

ⁱ⁼¹

^j=1

X_i Y_j　

　＝　

ⁱ⁼¹

X_i

^j=1

Y_j

　[証明]

ⁱ⁼¹

^j=1

X_i Y_j　

　＝　X₁　

^j=1

Y_j　＋　X₂　

^j=1

Y_j　＋　…　＋　X_n　

^j=1

Y_j　　　　　∵　

ⁱ⁼¹

　の定義　にしたがって。　

　＝　（　X₁ ＋　X₂ ＋　…　＋　X_n ）　

^j=1

Y_j　　　　　　∵　分配則にしたがって、　

^j=1

Y_j　で括って。　

　＝　

ⁱ⁼¹

X_i

^j=1

Y_j 　　　∵　

ⁱ⁼¹

　の定義　にしたがって。

　　　※　(a+b+c)(d+e+f)=ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf
　　　　　という公式で、{a,b,c},{d,e,f}をそれぞれ数列とみなしただけ。

　【文献】

　　　・山本拓『計量経済学』新世社、1995年、38-41ページ。

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