R²上の区間塊の面積を定義する集合関数μ( )の性質4の証明−ケース4-1　

　　→μ( )の性質4の証明の冒頭へ戻る　

・舞台設定　
　R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈ Rかつ y ∈ R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
　集合系(族)E　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、Eは R²の部分集合系(族)となっている。
　Ψ(I) 　　　：　R²上の区間の面積を定義する集合関数Ψ。
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR²上区間Iに対して、
　　　　　　　(i) I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Ψ(I) =( b−a ) (b'−a' )　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
　　　　　　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　
　　　　　　　※値域は、広義の実数R^*上の区間[0, ＋∞]となる。
　　　　　　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
　（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
　と表せる。※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、面積を定義する集合関数Ψを用いて、　
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
　と、　R²上の区間塊Eの面積を定義する集合関数μを定義する。　

[μ( )の性質4]　

　　type 1: 左半開区間(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b]　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞)　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)　
　　type 5: 空集合φ 　

のいずれかのかたちのR上区間の直積である限りで任意の区間Iと、
区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、

　　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞ , −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )
　　空集合φ 　　　

のいずれかのかたちをした、ある有界区間Jが存在し、
　　　　　[J]⊂I　かつ　α<μ(J)　
を満たす。
すなわち、
　(a, b] , (−∞, b] , (a , ∞) , (−∞, ∞) , φのいずれかのかたちのR上区間の直積をすべて集めた集合系をI、
　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ], φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、

　　　(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂Iかつα<μ(J) )　　

　　→μ( )の性質4の証明の冒頭へ戻る　

[μ( )の性質4の証明−ケース4‐1]　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]

[case 4-1:　区間Iが、type 4: (−∞, ∞)×(a', b']　(−∞< a'< b'<＋∞) というかたちをしている場合]　　　

step0:証明すべき主張の分析
この場合、上記主張は、
　　「区間I=(−∞, ∞)×(a', b']　(−∞< a'< b'<＋∞) と、　
　　　このI=(−∞, ∞)×(a', b']にたいして任意にとったα<μ(I)=μ((−∞, ∞)×(a', b'])に対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞ , −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )、ないし、J=φ　
　　　が存在して、
　　　　　[J]⊂I=(−∞, ∞)×(a', b']　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」　
となるが、
　　I=(−∞, ∞)×(a', b']ならば、μ(I)=Ψ(I) =＋∞ 　(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)　
　　I=(−∞, ∞)×(a', b']にたいして任意にとったα<μ(I)=＋∞とは、任意の実数あるいは−∞である。
したがって、J=φは、任意の実数α<0に対しては、「α<μ(J)」を満たすが、
0≦α<μ(I) =＋∞任意の実数αに対しては、「α<μ(J)」　を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0　
上記主張を証明するには、
　　「任意の区間(−∞, ∞)×(a', b']　(−∞< a'< b'<＋∞)　と、任意の実数αに対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞, −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )
　　　が存在して、
　　　　　[J]=[a^*, b^*]×[a'^*, b'^*]⊂(−∞, ∞)×(a', b']　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」
ことを示せば十分であるから、以下では、この点のみを証明する。
なお、Jは有界区間だから、μ(J)=Ψ(J) <＋∞であることに注意(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)。

step1:　区間Iを分割　　　
・下記3条件を満たす数列{a_k}をとる。　
　　1.狭義単調減少列であること　　a₁ > a₂ > a₃ >…　　(1-1)
　　2.　a_k→−∞　(k→∞)　　　−∞に発散　　　(1-2)
・下記3条件を満たす数列{b_k}をとる。　
　　1.狭義単調増加列であること　　b₁ < b₂ < b₃ <…　　(1-3)
　　2.　任意のkに対して、a₁ < b_k　　　　　　(1-4)　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a₁< b₁ < b₂ < b₃ <…　
　　3.　b_k→＋∞　(k→∞)　　　　　　　　(1-5)
　このような数列{a_k} {b_k}から数列{b_k−a_k}をつくると
　　　　b_k−a_k→＋∞　(k→∞)　　　(1-6)
　　
　下記3条件を満たす数列{a'_k}をとる。
　　　1.狭義単調減少列であること　　a'₁ > a'₂ > a'₃ >…　　(1-1' )　　
　　　2.　任意のkに対して、a' < a'_k < b'　　　　　　　　(1-2')　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a'<…< a'₃ < a'₂< a'₁ < b'　
　　　3.　a'_k→a'　(k→∞)　　　　　　　　　　　　　　　(1-3')　　
　このような数列{a'_k}から数列{b'−a'_k}をつくると、以下が成り立つ。
　　　　任意のkに対して、b'−a'_k ≧b'−a'₁>0　　　　　　　　　　(1-4')
　　
　　
step2:　区間I_kを定義　　　
　I_k=(a_k , b_k]×(a'_k , b']　とI_kを定義する　
　　　つまり、I₁= ( a₁ , b₁ ]×(a'₁ , b'] 、I₂= ( a₂ , b₂ ]×(a'₂ , b'] 、I₃= ( a₃ , b₃ ]×(a'₃ , b'] 、… といった具合になる。
　　　
step3:　区間I_kの性質　　　
　任意のkに対して、I_kの閉包[ I_k ]⊂Iとなる。　
　　　　実際、　[ I_k ]=[ a_k , b_k ]×[ a'_k , b'] ⊂(−∞, ∞)×(a', b']=I　　　…(3)　
step4:　μ(I_k)の値　　　
　μ()の定義より、
　μ(I_k)=μ( ( a_k , b_k ]×(a'_k , b'] ) =（ b_k−a_k）（b'−a'_k）　　　　…(4)
step5:　任意の実数αにたいして、kを十分大きくとれば、　α<μ(I_k)　　　
(1-6)より数列{ b_k−a_k}は∞に発散し、
(1-4')より数列{b'−a'_k}の任意の項についてb'−a'_k ≧b'−a'₁>0が満たされるので、
数列{ b_k−a_k}と数列{b'−a'_k}との積の数列{ (b_k−a_k) ( b'−a'_k)}は∞に発散する。（∵）　
これと(4)から、
　　
∞に発散するの定義より、
(∀α∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(I_k)>α) 　　…(5)
step6:　　　　
(5)より、
　任意の実数αに対して、kを十分大きくとれば、μ(I_k)>αを満たすI_kが存在し、
　このようなI_kは、
　(3)より、　[ I_k ] ⊂ Iも満たす。　　
したがって、
任意の区間I=(−∞, ∞)×(a', b']　(−∞< b<＋∞)　と、任意の実数αに対して、　
上記のI_k という有界区間Jが存在して
　　　　　[J]⊂ I= (−∞, ∞)×(a', b']　かつ　α<μ(J)　
を満たすことが確認できた。

　　→μ( )の性質4の証明の冒頭へ戻る