【はじめに読むべき定義】
・「R上の点aのε近傍」とは、《点aからの距離がε以内の点》をすべてあつめた《Rの部分集合》のこと。
ただし、εは正ならばどんなに小さくてもよいとする。
・「R上の点aの近傍」とは、点aのあるε近傍を含む《Rの部分集合》のこと。[松坂『解析入門1』3.1-E(p.100)]]
【正確な定義】
・実数全体の集合Rに、距離dをいれた、距離空間 (R,d)を考えたときの「点aのε近傍ε-neighborhood」「aを中心とする開球」とは、
点a∈Rからの距離dがε以内の点からなるRの部分集合
すなわち、 Uε(a) ≡{ b∈R | d(a,b)＜ε } (ただし、εは任意の正の実数)で定義されるRの部分集合のこと。
・「点aのε近傍」Uε(a) の半径とは、εのこと。[ルディン『現代解析学』2.20定義(p.33)]
【距離d(a,b)=|a-b|と定義した1次元ユークリッド空間の場合】
実数全体の集合Rに、d(a,b)≡|a-b|で定義された距離をいれた、1次元ユークリッド空間を考える場合、
Uε(a) ≡{ b∈R | d(a,b)＜ε } ＝{ b∈R | |a-b|＜ε} [FischerDef.3.1(3.1)(p.207)；高橋注1(p.5)；]
=(a－ε,a＋ε) (ただし、半径εは任意の正の実数)
となるので、R上の点aのε近傍Uε(a)は、要するに、開区間(a－ε,a＋ε)である。
[FischerDef.3.1(3.3)(p.207)加藤定義5.2(p.43);吹田新保p.16;松坂『解析入門1』3.1-E(p.100);
松坂『解析入門3』12.1-B(p.51)；小平『解析入門I』§1.6-数直線上の点集合 (p.73). ]
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【関連項目】 R上の近傍概念と、そのバリエーション/R2上の近傍概念/Rn上の近傍概念/距離空間一般における近傍概念 【利用例】 数列の収束の定義 【文献】 ・小平『解析入門I』§1.6-数直線上の点集合 (p.73). ・吹田新保『理工系の微分積分学』p.16 ・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.140) ・松坂『解析入門1』3.1-E(p.100):開区間(a-r,a+r)をaのr近傍という。aの近傍とは…. ・松坂『解析入門3』12.1-B開球・閉球・球面(p.51):距離空間一般、Rn,R1,R2において。開球open ball.r閉近傍・閉球closed ball.球面sphere.R2では、開円・開円盤open disc, 閉円・閉円盤closed disc, 円周circumference. ・彌永『集合と位相II』§1.3(p.141):Rのケースにも触れている。 ・志賀『位相への30講』2講(pp.12-73) ・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』2.3.29(p.60) ・志賀『位相への30講』第2講(p.12) ・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.2.2開球(p.76) ・Fischer,Intermediate Real Analysis,Def.3.1(p.207):R上。 . ・ルディン『現代解析学』2.20定義(p.33):距離空間一般において。「R1では近傍は開区間であり、R2では円の内部である」 ・加藤十吉『微分積分学原論』定義5.2(p.43)R1 において。数aと正数δにたいし、開区間(a-δ,a+δ)をaのδ近傍といい、(a;δ)と書く。数aと（数直線上の）図形Xに対し、aのδ近傍に属す るXの数全体X(a,δ)＝X∩(a;δ)＝{x| |x-a|<δかつx∈X}を、aのXにおけるδ近傍という。aの除外δ近傍は、xのXー｛a｝におけるδ近傍 ・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1集合Ⅱ開集合と閉集合-注1(p.5):内点の説明のなかで。「{y:|x-y|<δ}で定義されるxを中心とする半径δの球ball with radious δ」 |
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