・関数f(x) が閉区間[a,b]でn階まで連続な導関数をもち、開区間(a,b)で(n+1)階微分可能とする。
・f(b)=f(a)+f '
(a) (b−a) + f '' (a) (b−a)2/(2! )+…+ f
(n) (a) (b−a)n/
(n! ) + Rn+1 とおくと、
・Rn+1=f
(n+1) (c) (b−a)n+1
/ ( (n+1)! ) を満たすcが、開区間(a, b)内に存在する、(つまり、Rn+1=f
(n+1) (c) (b−a)n+1
/ ( (n+1)! ) かつa<c<bを満たすcが存在する)
・ないしは、c を a+θ( b−a
)と書いて、( a<c<b⇔0<θ<1だから )
Rn+1=f
(n+1) ( a +θ( b−a
) ) (b−a)n+1
/(n+1)! を満たすθが開区間(0,1)内に存在する。(つまり、Rn+1=f
(n+1) ( a +θ( b−a
) ) (b−a)n+1
/(n+1)! かつ 0<θ<1を満たすθが存在する)
・この Rn+1 をラグランジュの剰余項 Lagrange
form of the remainderと呼ぶ。
※以下のように書いても全く同じ。
f(b)=f(a)+f ' (a) (b−a)+f '' (a) (b−a)2/ (2! )+…+f (n-1) (a) (b−a)n-1/(n-1)!+Rnとおくと、
・Rn= f (n) (c) (b−a)n /(n! )を満たすcが、開区間(a, b)内に存在する。(つまり、「Rn= f (n) (c) (b−a)n /(n! ) かつ a<c<b」を満たすcが存在する)
・ないしは、c を a +θ( b−a )と書いて(a<c<b ⇔ 0<θ<1 だから)
Rn= f (n) ( a +θ( b−a )) (b−a)n /(n! ) を満たすθが開区間(0,1)内に存在する。 (つまり、Rn= f (n) ( a +θ( b−a ) ) (b−a)n /(n! ) かつ 0<θ<1を満たすcが存在する)
※ f(n) の意味、 n!の意味、Σの意味、
【解釈】
開区間(a, b)内のどこかに存在するcを用いると、f(b)をこのように「(n項までの級数)+(cを用いた剰余項)」で表せる! というのが、メインメッセージ。
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[参照:和達『微分積分』pp.64-65.]
[関数g(x)の設定]
以下のように、関数 g (x)を、
ロールの定理が適用可能となるように、
すなわち、閉区間[a,b]で連続、 開区間(a,b)で微分可能、g(a)=g(b)となるように、
つくる。
Kを定数として、
g (x)=−f (b) + f (x)+ f ' (x) (b−x) + f '' ( x ) (b−x)2/ (2! )+…+ f (n) ( x ) (b−x )n/ (n! )+ K(b−x )n+1
とする。ここで、
とする。
[ロールの定理の適用]
g (b)=−f (b) + f (b) + f ' (b)・0 + f '' ( b )02/ (2! )+… + f (n) ( b )0n/(n! ) + K・0n+1 =0
g (a)=−f (b) + f (a) + f ' (a) (b−a) + f '' ( a ) (b−a)2/ (2! )+…+ f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! ) + K(b−a)n+1=0 (∵Kを代入せよ)
より、確かに、g(a)= g(b)となる。
ロールの定理から、
g'(c) = 0 をみたすcが、開区間(a,b)内に少なくとも一つ存在する、 …(1)
との結論を得る。
[g(x)の導関数]
ところで、
g (x)=−f (b) + f (x) + f ' (x) (b−x) + f '' (x) (b−x)2/ (2! )+…+ f (n) ( x ) (b−x )n/ (n! ) + K(b−x )n+1
の導関数は、
g' (x) = f ' (x)+{ f ' (x) (b−x) }’+ (1/2! ) { f '' ( x ) (b−x)2 }’+…+(1/n! ){ f (n) ( x ) (b−x )n }’ + K{ (b−x )n+1 }’ ∵和の微分、定数倍の微分
=f ' (x)+{ f '' ( x ) (b−x) + f ' (x) (b−x)’ } + (1/2! ){ f ''' ( x ) (b−x )2 + f '' ( x ) ( (b−x)2 )’}+……+(1/n! ){ f (n+1) ( x ) (b−x)n + f (n) ( x ) ( (b−x )n)’ } + K{ (b−x)n+1 }’ ∵積の微分
= f ' (x) + { f '' ( x ) (b−x) + f ' (x) (−1) }+ (1/2! ){ f ''' ( x ) (b−x ) 2 + f '' ( x ) ( −2(b−x))}+…+(1/n! ) {f (n+1) ( x ) (b−x )n + f (n) ( x ) (−n (b−x )) n−1}+K{−(n+1) (b−x )n} ∵合成関数の微分
=f ' (x)+{ f '' ( x ) (b−x) −f ' (x) }+{ f ''' ( x ) (b−x ) 2/ (2! )−f '' ( x ) (b−x) }+……+{ f (n+1) ( x ) (b−x)n/ (n! )−f (n) ( x ) (b−x ) n−1/ ( (n-1)! )}−(n+1)K (b−x )n
=f ' (x)+{ −f ' (x) + f '' (x) (b−x) }+{−f '' (x) (b−x) + f ''' (x) (b−x) 2/ (2! )}+……+{−f (n) (x) (b−x) n−1/ ((n-1)!) + f (n+1) (x) (b−x)n/ (n! )}− (n+1)K (b−x )n
= f (n+1) (x) (b−x)n/(n! )− (n+1)K (b−x)n
(1)より、
g'(c)= f (n+1) (c) (b−c )n / (n! )− (n+1)K(b−c ) n =0 …※
をみたすcが、開区間(a,b)内に少なくとも一つ存在する。
※はすなわち
(n+1)K(b−c)n = f (n+1) (c) (b−c )n/ (n! )
K = f (n+1) (c) (b−c)n / (n! (n+1) (b−c )n )
K = f (n+1) ( c ) / ((n+1) ! ) …(2)
ゆえに、(2)をみたすcが、開区間(a, b)内に少なくとも一つ存在する、ということになる。
g (a)=−f (b) + f (a) + f ' (a) (b−a) + f '' (a) (b−a)2/ (2! ) + … + f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! ) + K(b−a )n+1=0
のKに(2)を代入して、
−f (b) + f (a) + f ' (a) (b−a) + f '' (a) (b−a)2/ (2! )+…+ f (n) (a) (b−a )n/ (n! ) + f (n+1) (c) (b−a )n+1/ ((n +1) ! )=0
f (b)=f (a)+ f ' (a) (b−a) + f '' (a) (b−a)2/ (2! )+…+ f (n) (a) (b−a)n/ (n! ) + f (n+1) (c) (b−a )n+1/ ((n+1) ! )
よって、これを満たすcが、開区間(a, b)内に少なくとも一つ存在する、ということになる。
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[参照:吹田・新保『理工系の…』p.46.]
関数f(x) が閉区間[a,b]でn階まで連続な導関数をもち、開区間(a,b)で(n+1)階微分可能とする。
未知の定数Rn+1を用いて、
f(b)=f(a)+f ' (a) (b−a)+f '' (a) (b−a)2/ (2! )+…+f (n) (a) (b−a)n/ (n! )+Rn+1
…(1)
とおく。
(つまり、(1)が必ず成り立つように、未知の定数Rn+1を決めると考えればよい)
以下、この未知の定数Rn+1を求める。
[関数g(x)の設定]
以下のように、関数g(x)を、
ロールの定理が適用可能となるように、
すなわち、閉区間[a,b]で連続、開区間 (a,b)で微分可能、g(a)= g(b)となるように、
つくる。
Rn+1を定数として、
g (x)= f (x)+ f ' (x) (b−x)+f '' ( x ) (b−x)2/ (2! )+…+f (n) ( x ) (b−x )n/ (n! )+Rn+1 { (b−x )n+1 / (b−a )n+1}
とする。 ( (1)の右辺との違いはRn+1の係数だけ)
[ロールの定理の適用]
g (b)= f (b)+ f ' ( b ) (b−b)+f '' ( b ) (b−b)2/ (2! )+…+f (n) ( b ) (b−b )n/ (n! )+Rn+1 { (b− b )n+1 / (b−a )n+1}
= f (b)+ f ' ( b )0+f '' ( b )02/ (2! )+…+f (n) ( b )0n/ (n! )+Rn+1 { 0n+1 / (b−a )n+1}
= f (b)+0+0+…+0+0
= f (b)
g (a)= f (a)+ f ' (a) (b−a)+f '' ( a ) (b−a)2/ (2! )+…+f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! )+Rn+1 { (b−a )n+1 / (b−a )n+1}
= f (a)+ f ' (a) (b−a)+f '' ( a ) (b−a)2/ (2! )+…+f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! )+Rn+1 (これは(1)の右辺)
= f (b) ∵(1)
より、確かに、g(a)= g(b) = f(b)となる。
ロールの定理から、
g' ( c ) =0 をみたすcが、開区間(a, b)内に少なくとも一つ存在する、 …(2)
との結論を得る。
[g(x)の導関数]
g' (x)=f ' (x)+{ f ' (x) (b−x) }’+ (1/2! ) { f '' ( x ) (b−x)2 }’+…+(1/n! ){ f (n) ( x ) (b−x )n }’+{ Rn+1 / (b−a )n+1}{ (b−x )n+1 }’
∵和の微分、定数倍の微分
=f ' (x)+{ f '' ( x ) (b−x) +f ' (x) (b−x)’ }+ (1/2! ){ f ''' ( x ) (b−x ) 2+f '' ( x ) ( (b−x) 2)’}+…
…+(1/n! ){ f (n+1) ( x ) (b−x )n + f (n) ( x ) ( (b−x )n)’ }+{ Rn+1 / (b−a )n+1}{ (b−x )n+1 }’ ∵積の微分
=f ' (x)+{ f '' ( x ) (b−x) +f ' (x) (−1) }+ (1/2! ){ f ''' ( x ) (b−x ) 2+f '' ( x ) ( −2(b−x))}+…
…+(1/n! ) {f (n+1) ( x ) (b−x )n + f (n) ( x ) (−n (b−x )) n−1}+{ Rn+1 / (b−a )n+1}{−(n+1) (b−x )n} ∵合成関数の微分
=f ' (x)+{ f '' ( x ) (b−x) −f ' (x) }+{ (1/2! ) f ''' ( x ) (b−x ) 2+(−2/2! )f '' ( x ) (b−x) }+…
…+{ (1/n! )f (n+1) ( x ) (b−x )n + (−n /n! )f (n) ( x ) (b−x ) n−1}−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
=f ' (x)+{ f '' ( x ) (b−x) −f ' (x) }+{ f ''' ( x ) (b−x ) 2/ (2!)−f '' ( x ) (b−x) }+…
…+{ f (n+1) ( x ) (b−x )n/ (n! )−f (n) ( x ) (b−x ) n−1/( (n-1)!) }−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
=f ' (x)+{ −f ' (x) + f '' ( x ) (b−x)}+{−f '' ( x ) (b−x)+ f ''' ( x ) (b−x ) 2/ (2! ) }+…
…+{−f (n) ( x ) (b−x ) n−1/ ( (n-1)! )+ f (n+1) ( x ) (b−x )n/ (n! )}−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
= f (n+1) ( x ) (b−x )n/ (n! )−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
(2)より、
g' ( c ) = f (n+1) ( c ) (b− c )n/ (n!)−Rn+1{(n+1) (b− c )n / (b−a )n+1}=0 …(※)
をみたすcが、開区間(a, b)内に少なくとも一つ存在する。
(※)はすなわち、
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