テイラーの定理 (入門版―ラグランジュの剰余項)
・関数f(x) が閉区間[a,b]でn階まで連続な導関数をもち、開区間(a,b)で(n＋1)階微分可能とする。
・f(b)=f(a)+f '
(a) (b−a) ＋ f '' (a) (b−a)2/(2! )＋…＋ f
(n) (a) (b−a)n/
(n! ) ＋ Rn+1 
とおくと、
・Rn+1=f
(n+1) (c) (b−a)n+1
/ ( (n+1)! ) を満たすcが、開区間（a, b）内に存在する、（つまり、Rn+1=f
(n+1) (c) (b−a)n+1
/ ( (n+1)! ) かつa<c<bを満たすcが存在する）
・ないしは、c を a+θ( b−a
)と書いて、（ a<c<b⇔０＜θ＜１だから ）
Rn+1=f
(n+1) ( a +θ( b−a
) ) (b−a)n+1
/(n+1)! を満たすθが開区間(0,1)内に存在する。（つまり、Rn+1=f
(n+1) ( a +θ( b−a
) ) (b−a)n+1
/(n+1)! かつ ０＜θ＜１を満たすθが存在する）
・この Rn+1 をラグランジュの剰余項 Lagrange
form of the remainderと呼ぶ。
※以下のように書いても全く同じ。
f(b)=f(a)+f ' (a) (b−a)＋f '' (a) (b−a)2/ (2! )＋…＋f (n-1) (a) (b−a)n-1/(n-1)!＋Rn
とおくと、
・Rn= f (n) (c) (b−a)n /(n! )を満たすcが、開区間（a, b）内に存在する。（つまり、「Rn= f (n) (c) (b−a)n /(n! ) かつ a<c<b」を満たすcが存在する）
・ないしは、c を a +θ( b−a )と書いて（a<c<b ⇔ ０＜θ＜１ だから）
Rn= f (n) ( a +θ( b−a )) (b−a)n /(n! ) を満たすθが開区間(0,1)内に存在する。 （つまり、Rn= f (n) ( a +θ( b−a ) ) (b−a)n /(n! ) かつ ０＜θ＜１を満たすcが存在する）
※ f(n) の意味、 n！の意味、Σの意味、
【解釈】
開区間（a, b）内のどこかに存在するcを用いると、f(b)をこのように「(n項までの級数)＋(cを用いた剰余項)」で表せる！ というのが、メインメッセージ。
(証明1)
[参照：和達『微分積分』pp.64-65.]
[関数g(x)の設定]
以下のように、関数 g (x)を、
ロールの定理が適用可能となるように、
すなわち、閉区間[a,b]で連続、 開区間(a,b)で微分可能、g(a)=g(b)となるように、
つくる。
Kを定数として、
g (x)=−f (b) ＋ f (x)＋ f ' (x) (b−x) ＋ f '' ( x ) (b−x)2/ (2! )＋…＋ f (n) ( x ) (b−x )n/ (n! )＋ K(b−x )n+1
とする。ここで、
とする。
[ロールの定理の適用]
g (b)=−f (b) ＋ f (b) ＋ f ' (b)・０ ＋ f '' ( b )０2/ (2! )＋… ＋ f (n) ( b )０n/(n! ) ＋ K・０n+1 =０
g (a)=−f (b) ＋ f (a) ＋ f ' (a) (b−a) ＋ f '' ( a ) (b−a)2/ (2! )＋…＋ f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! ) ＋ K(b−a)n+1=０ (∵Kを代入せよ)
より、確かに、g(a)= g(b)となる。
ロールの定理から、
g'(c) = ０ をみたすcが、開区間（a,b）内に少なくとも一つ存在する、 …(1)
との結論を得る。
[g(x)の導関数]
ところで、
g (x)=−f (b) ＋ f (x) ＋ f ' (x) (b−x) ＋ f '' (x) (b−x)2/ (2! )＋…＋ f (n) ( x ) (b−x )n/ (n! ) ＋ K(b−x )n+1
の導関数は、
g' (x) ＝ f ' (x)＋｛ f ' (x) (b−x) ｝’＋ (1/2! ) ｛ f '' ( x ) (b−x)2 ｝’＋…＋(1/n! )｛ f (n) ( x ) (b−x )n ｝’ ＋ K｛ (b−x )n+1 ｝’ ∵和の微分、定数倍の微分
＝f ' (x)＋｛ f '' ( x ) (b−x) ＋ f ' (x) (b−x)’ ｝ ＋ (1/2! )｛ f ''' ( x ) (b−x )2 ＋ f '' ( x ) ( (b−x)2 )’｝＋……＋(1/n! )｛ f (n+1) ( x ) (b−x)n ＋ f (n) ( x ) ( (b−x )n)’ ｝ ＋ K｛ (b−x)n+1 ｝’ ∵積の微分
＝ f ' (x) ＋ ｛ f '' ( x ) (b−x) ＋ f ' (x) (−１) ｝＋ (1/2! )｛ f ''' ( x ) (b−x ) 2 ＋ f '' ( x ) ( −2(b−x))｝＋…＋(1/n! ) ｛f (n+1) ( x ) (b−x )n ＋ f (n) ( x ) (−n (b−x )) n−1｝＋K｛−(n+1) (b−x )n｝ ∵合成関数の微分
＝f ' (x)＋｛ f '' ( x ) (b−x) −f ' (x) ｝＋｛ f ''' ( x ) (b−x ) 2/ (2! )−f '' ( x ) (b−x) ｝＋……＋｛ f (n+1) ( x ) (b−x)n/ (n! )−f (n) ( x ) (b−x ) n−1/ ( (n-1)! )｝−(n+1)K (b−x )n
＝f ' (x)＋｛ −f ' (x) ＋ f '' (x) (b−x) ｝＋｛−f '' (x) (b−x) ＋ f ''' (x) (b−x) 2/ (2! )｝＋……＋｛−f (n) (x) (b−x) n−1/ ((n-1)!) ＋ f (n+1) (x) (b−x)n/ (n! )｝− (n+1)K (b−x )n
＝ f (n+1) (x) (b−x)n/(n! )− (n+1)K (b−x)n
(1)より、
g'(c)= f (n+1) (c) (b−c )n / (n! )− (n+1)K(b−c ) n =０ …※
をみたすcが、開区間（a,b）内に少なくとも一つ存在する。
※はすなわち
(n+1)K(b−c)n = f (n+1) (c) (b−c )n/ (n! )
K = f (n+1) (c) (b−c)n / (n! (n+1) (b−c )n )
K = f (n+1) ( c ) / ((n+1) ! ) …(2)
ゆえに、(2)をみたすcが、開区間（a, b）内に少なくとも一つ存在する、ということになる。
g (a)=−f (b) ＋ f (a) ＋ f ' (a) (b−a) ＋ f '' (a) (b−a)2/ (2! ) ＋ … ＋ f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! ) ＋ K(b−a )n+1=０
のKに(2)を代入して、
−f (b) ＋ f (a) ＋ f ' (a) (b−a) ＋ f '' (a) (b−a)2/ (2! )＋…＋ f (n) (a) (b−a )n/ (n! ) ＋ f (n+1) (c) (b−a )n+1/ ((n +1) ! )=０
f (b)=f (a)＋ f ' (a) (b−a) ＋ f '' (a) (b−a)2/ (2! )＋…＋ f (n) (a) (b−a)n/ (n! ) ＋ f (n+1) (c) (b−a )n+1/ ((n+1) ! )
よって、これを満たすcが、開区間（a, b）内に少なくとも一つ存在する、ということになる。
(証明2)
[参照：吹田・新保『理工系の…』p.46.]
関数f(x) が閉区間[a,b]でn階まで連続な導関数をもち、開区間(a,b)で(n＋1)階微分可能とする。
未知の定数Rn+1を用いて、
f(b)=f(a)+f ' (a) (b−a)＋f '' (a) (b−a)2/ (2! )＋…＋f (n) (a) (b−a)n/ (n! )＋Rn+1
…(1)
とおく。
（つまり、(1)が必ず成り立つように、未知の定数Rn+1を決めると考えればよい）
以下、この未知の定数Rn+1を求める。
[関数g(x)の設定]
以下のように、関数g(x)を、
ロールの定理が適用可能となるように、
すなわち、閉区間[a,b]で連続、開区間 (a,b)で微分可能、g(a)= g(b)となるように、
つくる。
Rn+1を定数として、
g (x)= f (x)＋ f ' (x) (b−x)＋f '' ( x ) (b−x)2/ (2! )＋…＋f (n) ( x ) (b−x )n/ (n! )＋Rn+1 { (b−x )n+1 / (b−a )n+1}
とする。 （ (1)の右辺との違いはRn+1の係数だけ）
[ロールの定理の適用]
g (b)= f (b)＋ f ' ( b ) (b−b)＋f '' ( b ) (b−b)2/ (2! )＋…＋f (n) ( b ) (b−b )n/ (n! )＋Rn+1 { (b− b )n+1 / (b−a )n+1}
= f (b)＋ f ' ( b )０＋f '' ( b )０2/ (2! )＋…＋f (n) ( b )０n/ (n! )＋Rn+1 { ０n+1 / (b−a )n+1}
= f (b)＋０＋０＋…＋０＋０
= f (b)
g (a)= f (a)＋ f ' (a) (b−a)＋f '' ( a ) (b−a)2/ (2! )＋…＋f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! )＋Rn+1 { (b−a )n+1 / (b−a )n+1}
= f (a)＋ f ' (a) (b−a)＋f '' ( a ) (b−a)2/ (2! )＋…＋f (n) ( a ) (b−a )n/ (n! )＋Rn+1 （これは(1)の右辺）
= f (b) ∵(1)
より、確かに、g(a)= g(b) = f(b)となる。
ロールの定理から、
g' ( c ) =０ をみたすcが、開区間（a, b）内に少なくとも一つ存在する、 …(2)
との結論を得る。
[g(x)の導関数]
g' (x)＝f ' (x)＋｛ f ' (x) (b−x) ｝’＋ (1/2! ) ｛ f '' ( x ) (b−x)2 ｝’＋…＋(1/n! )｛ f (n) ( x ) (b−x )n ｝’＋{ Rn+1 / (b−a )n+1}｛ (b−x )n+1 ｝’
∵和の微分、定数倍の微分
＝f ' (x)＋｛ f '' ( x ) (b−x) ＋f ' (x) (b−x)’ ｝＋ (1/2! )｛ f ''' ( x ) (b−x ) 2＋f '' ( x ) ( (b−x) 2)’｝＋…
…＋(1/n! )｛ f (n+1) ( x ) (b−x )n ＋ f (n) ( x ) ( (b−x )n)’ ｝＋{ Rn+1 / (b−a )n+1}｛ (b−x )n+1 ｝’ ∵積の微分
＝f ' (x)＋｛ f '' ( x ) (b−x) ＋f ' (x) (−１) ｝＋ (1/2! )｛ f ''' ( x ) (b−x ) 2＋f '' ( x ) ( −2(b−x))｝＋…
…＋(1/n! ) ｛f (n+1) ( x ) (b−x )n ＋ f (n) ( x ) (−n (b−x )) n−1｝＋{ Rn+1 / (b−a )n+1}｛−(n+1) (b−x )n｝ ∵合成関数の微分
＝f ' (x)＋｛ f '' ( x ) (b−x) −f ' (x) ｝＋｛ (1/2! ) f ''' ( x ) (b−x ) 2＋(−2/2! )f '' ( x ) (b−x) ｝＋…
…＋｛ (1/n! )f (n+1) ( x ) (b−x )n ＋ (−n /n! )f (n) ( x ) (b−x ) n−1｝−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
＝f ' (x)＋｛ f '' ( x ) (b−x) −f ' (x) ｝＋｛ f ''' ( x ) (b−x ) 2/ (2!)−f '' ( x ) (b−x) ｝＋…
…＋｛ f (n+1) ( x ) (b−x )n/ (n! )−f (n) ( x ) (b−x ) n−1/( (n-1)!) ｝−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
＝f ' (x)＋｛ −f ' (x) ＋ f '' ( x ) (b−x)｝＋｛−f '' ( x ) (b−x)＋ f ''' ( x ) (b−x ) 2/ (2! ) ｝＋…
…＋｛−f (n) ( x ) (b−x ) n−1/ ( (n-1)! )＋ f (n+1) ( x ) (b−x )n/ (n! )｝−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
= f (n+1) ( x ) (b−x )n/ (n! )−Rn+1{(n+1) (b−x )n / (b−a )n+1}
(2)より、
g' ( c ) = f (n+1) ( c ) (b− c )n/ (n!)−Rn+1{(n+1) (b− c )n / (b−a )n+1}=０ …(※)
をみたすcが、開区間（a, b）内に少なくとも一つ存在する。
(※)はすなわち、
Rn+1{(n+1) (b− c )n / (b−a )n+1}＝f (n+1) ( c ) (b− c )n/ (n!)
Rn+1＝f (n+1) ( c ) (b− c )n(b−a )n+1/ (n!(n+1) (b− c )n)
Rn+1＝f (n+1) ( c ) (b−a )n+1/ ( (n+1) ! ) …(3)
ゆえに、(3)をみたすcが、開区間（a, b）内に少なくとも一つ存在する、ということになる。