1変数関数についての広義積分の性質

【トピック一覧】
・定理:区間I上広義可積ならIに含まれる任意の区間で広義可積/ 区間加法性 / 線形性 / 広義積分可能な関数の積 / 単調性     
・定理:絶対可積・絶対収束/条件収束/三角不等式
【関連ページ:1変数関数の広義積分について】

  前:有限区間における非有界関数の広義積分の定義無限区間における広義積分定義
  次:向き付き広義積分積分関数(不定積分)・解析学の基本定理収束条件ガンマ関数ベータ関数 
cf. 1変数関数の定積分、2変数関数の広義積分、n変数関数の広義積分
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定理:

 [高木『解析概論』104:証明なし; 吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし.]
 関数f有限区間Iにおいて広義積分可能
  または
 関数f無限区間Iにおいて広義積分可能とすると、
 Iに含まれる任意の区間広義積分可能
  cf.この定理の定積分版


定理:区間加法性

[高木『解析概論』104:証明なし・広義積分に向きをつけた上で;小平『解析入門I』178:証明は176:向きの付かない広義積分で;吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし;.]

 定積分の区間加法性は、広義積分でも成り立つ。
 すなわち、 a<b<cに対して、
 広義積分収束しているならば、
 [すなわち、関数f(x)開区間(a,c)において広義積分可能ならば、]
 
 応用例: 
(証明) 小平『解析入門I』178は、広義積分の定義から明らかであるとしている。


定理:線形性

[小平邦彦『解析入門I』178-180; 吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし;]
 定積分の線形性は、広義積分でも成り立つ。
 すなわち、
 広義積分
   
 が収束しているならば、
 任意の定数α、βに対して、
   
 も収束し
  
(証明の沿革)
 広義積分も、定義にまで遡ると、普通のリーマン定積分であるから、普通のリーマン定積分の線形性を適用できる。
(開区間(a,b)における広義積分である場合の説明: 小平『解析入門I』179)
Step1:
 開区間(a,b)における広義積分が定義されているということは、すでに以下が前提されている。 
 1. 閉区間[a,b]において、その境界点a,bだけが特異点である。
  だから、それを除いた区間
    すなわち、任意のa',b' (a< a'<b'<b )に対して[a',b']
  において、f(x) , g(x)有界かつリーマン積分可能である。…@
 2.  
  という有限の極限値が存在する。 …A
Step2:
 @より、Aで問題にされている
   
 は、普通のリーマン定積分なのだから、普通のリーマン定積分の線形性が成り立って、
 任意の定数α、βに対して、
     …B
Step3:
 ここで、a'a+0b'b−0としても、a'=a, b'=bとなるところまで行かないから、
 @より、[a',b']において、f(x) , g(x)有界かつリーマン可積であり、
   
 は、普通のリーマン定積分なのだから、普通のリーマン定積分の線形性が成り立つ。
 よって、a'→ a+0b'b−0としても、Bは成り立つ。
 つまり、
  
 これを、広義積分の記号を用いて書きかえると、
  
([a,b]の中に特異点を含んだ広義積分である場合の説明)



定理:広義積分可能な関数の積

[高木『解析概論』108;吹田新保『理工系の微分積分学』115:証明なし;.]
 ある区間関数f,gがそれぞれ広義積分可能でも、積f gもその区間広義積分可能であるとは限らない。
 例:
 
 は、(0,1]で広義積分可能だが、積f(x)f (x)=1/xは、(0,1]で広義積分可能ではない。 
cf. 定理:積分可能な関数の積:「閉区間[a,b]で有界な関数f,gがそこで積分可能なら、積f gも積分可能。」
Question:普通のリーマン定積分可能な関数の積は可積なのに、広義積分可能な関数の積が可積とは限らないのは、どこが、どう違うからか?
  


→[トピック一覧:広義積分の性質]
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定理:広義積分の単調性

 cf.向きのついた積分の単調性 
 定積分の単調性は、広義積分でも成り立つ。
 すなわち、f(x),g(x)区間(a,b)で高々有限個の点を除いて連続な関数であって、 
 広義積分
   
 が収束しており、
 区間(a,b)で常に f(x)g(x) なら、
    
   等号が成り立つのは、f,g連続なら、つねに、f(x)=g(x) である場合だけ。 
 応用例:、 
[小平邦彦『解析入門I』179-180:証明付き; 高木『解析概論』108:証明なし;]
(証明)  


定義:絶対可積・絶対収束

[杉浦『解析入門』292;高木『解析概論』106;吹田新保『理工系の微分積分学』117;.小平『解析入門I』185]

 1. ある区間で、関数f(x)広義積分可能である(「f(x)の広義積分が収束する」)からといって、
  |f(x)|広義積分可能である(「|f(x)|の広義積分が収束する」)とは限らない。 
  [つまり、普通の定積分の性質「fが積分可能ならば、|f|も積分可能」は、広義積分では成り立たない。] 

 2. ある区間|f(x)|広義積分可能である(「|f(x)|の広義積分が収束する」)とき、

   その区間で「f(x)絶対可積である」、「f(x)の広義積分は絶対収束する」という。 

定義:条件収束

 [吹田新保『理工系の微分積分学』117;.]
  収束しているが絶対収束でない広義積分は、条件収束するという。 


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定理:広義積分に関する三角不等式

 cf.定積分に関する三角不等式

[小平『解析入門I』178-180; 杉浦『解析入門』292;高木『解析概論』106; 吹田新保『理工系の微分積分学』117;.]


|f(x)|が広義積分可能であるなら、
  (すなわち「f(x)絶対可積である」「f(x)の広義積分が絶対収束する」なら) 
  
 これは、有限区間の広義積分でも無限区間の広義積分でも成り立つ
    [高木『解析概論』106; 小平『解析入門I』180]

(証明) 定積分に関する三角不等式 から。[小平『解析入門I』180]
   

reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)。
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年 pp.178-180。
高木貞治『解析概論 改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 104-5.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.290-295次元の広義積分の定義と収束条件。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.113-120.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.90-93.
青本和彦『岩波講座現代数学への入門:微分と積分1』岩波書店、1995年、138-143.軽く説明。
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学 改訂版』裳華房、p.117-8.
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.98-103.