水野弘文: 情報代数の基礎

作成日 : 2024-07-10
最終更新日 :

概要

まえがきより引用する:

本書は，その表題の通り，あくまで情報代数の基礎であり，これからこの分野を勉強しようとする人達のための入門書である． したがってここに述べなかったことで重要なことがらも沢山ある．関連する応用分野も極めて多岐にわたるが，本書では，最も典型的な情報数理分野の 1 つの例として， 最後の章で符号理論について簡単に触れることにした．

各章の途中には問が、また章末には練習問題が置かれている（ただし 「5 章 符号理論入門」は本文中の問も章末の練習問題もない）。巻末には参考文献がある。 問・練習問題の解答はない。

感想

そっけない書き方がされているが、広範囲の題材を扱っている。圏と関手、完全列についての項もある。ただ本書は、代数の基礎の延長に情報数学の一部である符号理論の入門を置いた、 という構成だと思う。

素イデアル・極大イデアル

p.61 から引用する。

この節以後とくにことわらなければ環はすべて 1 を含む可換環と仮定する．

定義．環 `R` のイデアル `P` は `R` の 2 元 `a, b` に対して

`ab in P rArr a in P` または `b in P`
が成り立つとき素イデアルと呼ぶ（中略）

＜例 1 ＞ `Z` の中の偶数全体のつくるイデアル (2)，あるいはもっと一般に `p in ZZ` を素数とするとき `p` で割り切れる整数全体のつくるイデアル `(p)` は素イデアルである．

＜例 2 ＞ 実数体上の多項式環 `R = RR[x]` の中で `X=a` のとき 0 となる多項式全体：

`P = {f(x) in RR[x]| f(a) = 0}`
は素イデアルである．

定義．環 `R` のイデアル `M` は

`M` $ \subsetneq $ `R` かつ `M` $ \subsetneq $ `I` $ \subsetneq $ `R`
となるイデアル `I` が存在しないとき極大イデアルという

謎の表紙

表紙には太枠があり、その中に次の式が並べられている。

`xi^0 = 1``xi^12 = i``xi^24 = -1`
`xi^1 = 3 + i``xi^13 = -1 + 3i``xi^25 = -3 - i`
`xi^2 = 1 - i``xi^14 = 1 + i`：
`xi^3 = -3 - 2i``xi^15 = 2 - 3i`：
`xi^4 = - 2i``xi^16 = 2`：
`xi^5 = 2+i``xi^17 = -1+2i`：
`xi^6 = 2 - 2i``xi^18 = 2 +2i`：
`xi^7 = 3 - i``xi^19 = 1 + 3i`：
`xi^8 = 3``xi^20 = 3i`：
`xi^9 = 2+3i``xi^21 = - 3+2i`：
`xi^10= 3 - 3i``xi^22 = 3 + 3i`：
`xi^11 = -2 +i``xi^23 = -1 - 2i``xi^47 = 1 + 2i`
`xi^48 = 1`

この謎の式の意味は pp.69-70 を読むとわかる。次の例題がある。

〔例題〕主イデアル整域 `ZZ[i]` において 7 は既約元であり，したがってそれは極大イデアル `(7)` を生成する． ゆえに剰余環 `ZZ[i]//(7)` は体 `K` になる．`K` の 0 以外の元全体は乗法に関して `K^**` をなし，それは巡回群になる．以上のことを示せ．

（中略）`xi = 3 + i` の `K = ZZ[i]//(7)` における剰余類を簡単のため同じ文字 `xi` で表すことにする．このとき `xi` のべきを計算すると次のようになる:

そこで表紙の式が登場するというわけだ。ちょこっと計算してみよう。

`xi^2 = (3 + i)^2 = (3 + i)(3 + i) = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i`

ここで法を 7 とする剰余系を考えると、`8 -= 1 (mod 7), 6 = -1 (mod7)` だから、`8 + 6i` = `1 - i`。

`xi^3 = (1-i)(3 + i)= 4 - 2i`

ここで法を 7 とする剰余系を考えると、`4 -= -3 (mod 7)` だから、`4 - 2i` = `-3 - 2i`。

こうしたことを地道に計算すればさらに高次の値もわかるのだろう。以前だったら計算するプログラムを書いたが、もう元気がなくなった。

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数式の記述

数式表現は ASCIIMathML を、 数式表現はMathJax を用いている。

書誌情報

書名 情報代数の基礎
著者 水野弘文
発行日 1990 年 8 月 25 日（第１版第４刷）
発行元 森北出版
定価 2100 円（税別）
サイズ A5版 ページ
ISBN 4-627-00520-2
NDC
その他 草加市立図書館にて借りて読む

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MARUYAMA Satosi