畠山洋二：多様体入門

作成日：2022-05-11
最終更新日：

概要

「はしがき」から引用する。

本書は，できるだけ多くの人達にもっと多様体に親しんでいただきたいという意図で， 筆者の弘前大学数学教室における二年次，三年次の学生を対象とする講義の内容をもとにし，平易に， しかしあまり厳密さを失わないように留意して書かれた多様体への入門書である．

多様体にたどりつけない

私は頭が悪いから、多様体にたどりつけなかった。

集合等式の練習

p.5 に集合についての等式がある。これを練習しよう。

定理 1.2.1 `X` を一つの集合，`A sub X, ccA = {A_lambda; lambda in Lambda} ` を `X` の部分集合族とするとき，和集合，共通集合および差に関して次の等式が成立する．

`A uu (nnn_(lambda in Lambda)A_lambda) = nnn_(lambda in Lambda)(A uu A_lambda)` (1.1)
`a in A uu ( nnn_(lambda in Lambda)A_lambda)` であるための必要十分条件は `a in A` または `a in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである． ここで `a in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`AAlambda in Lambda : a in A_lambda`」 だから「すべての `lambda` に対して `a in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A uu( nnn_lambda A_lambda)`
`hArr a in A` または `AAlambda in Lambda : a in A_lambda`
`hArr AA lambda in Lambda : a in A uu A_lambda`
`hArr a in nnn_(lambda in Lambda)(A uu A_lambda)`
`A nn (uuu_(lambda in Lambda)A_lambda) = uuu_(lambda in Lambda)(A nn A_lambda)` (1.2)
`a in A nn ( uuu_(lambda in Lambda)A_lambda)` であるための必要十分条件は `a in A` かつ `a in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである． ここで `a in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`EElambda in Lambda : a in A_lambda`」 だから「ある `lambda` に対して `a in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A nn( uuu_lambda A_lambda)`
`hArr a in A` かつ `EElambda in Lambda : a in A_lambda`
`hArr EE lambda in Lambda : a in A nn A_lambda`
`hArr a in uuu_(lambda in Lambda)(A nn A_lambda)`
`A- uuu_(lambda in Lambda)A_lambda = nnn_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)` (1.3)
`a in A - uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` であるための必要十分条件は `a in A` かつ `a !in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである． ここで `a !in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`EElambda in Lambda : a in A_lambda`」 の否定だから「すべての `lambda` に対して `a !in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A - uuu_lambda A_lambda`
`hArr a in A` かつ `AAlambda in Lambda : a !in A_lambda`
`hArr AA lambda in Lambda : a in A - A_lambda`
`hArr a in nnn_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)`
`A- nnn_(lambda in Lambda)A_lambda = uuu_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)` (1.4)
`a in A - nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` であるための必要十分条件は `a in A` かつ `a !in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである． ここで `a !in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`AAlambda in Lambda : a in A_lambda`」 の否定だから「ある `lambda` に対して `a !in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A - nnn_lambda A_lambda`
`hArr a in A` かつ `EElambda in Lambda : a !in A_lambda`
`hArr EE lambda in Lambda : a in A - A_lambda`
`hArr a in uuu_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)`

ベクトル空間の練習

「2 章 ベクトル空間」の演習問題[Ⅱ]が pp.49-50 にある。

1. 実数を係数とする次数が 4 次以下の多項式全体からなる集合を `V` で表す．`V` は普通の和と実数倍に関し，5 次元のベクトル空間になることを示せ． さらに，`W = {f in V; f(1) = 0, f(2) = 0}` は `V` の部分ベクトル空間なることを示し，`W` の一つの基底を求めよ．

まず前半を解いてみよう。`V` の二つの元を `f, g` とする。`f, g` を実数 `a_0, a_1, cdots, a_4, b_0, b_1, cdots, b_4` を使って次のように表す。

`f(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4`

`g(x) = b_0 + b_1x+b_2x^2+b_3x^3+b_4x^4`

これらの和は次のようになる。

`(f+g)(x) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3+(a_4+b_4)x^4 = c_0 + c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4`

となる。またスカラー倍は次のようになる。

`(alpha f)(x) = (alpha a_0) + (alpha a_1)x+(alpha a_2)x^2+(alpha a_3)x^3+(alpha a_4)x^4 = c_0 + c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4`

これらは、`V` が和とスカラー倍の演算について閉じていることを表している。また、`V` は本書 p.36 にあるベクトル空間の定義 2.1.1 にある条件、 すなわち (Ⅰ.1), (Ⅰ.2), (Ⅰ.3), (Ⅱ.1), (Ⅱ.2),(Ⅱ.3)の条件を満たしている。よって、 `V` は基底 `{1, x, x^2, x^3, x^4}` からなる 5 次元のベクトル空間である。

後半はノーヒントでできる自信がない。3.7 `RR[x]_n` の部分空間(tau.doshisha.ac.jp) を参考にしてやってみる。 なお、このリンク先の例 3.36 の主張は（…）は `RR[x]_3` の部分空間ではない．となっているが、正しくは《（…）は`RR[x]_3` の部分空間である．》だと思う。

`W` は `V` の部分集合であることは明らかである。次に、`W` がベクトル空間の定義を満たしていることを確認する。(Ⅰ.1), (Ⅰ.2) はいいだろう。（Ⅰ.3）に相当するのは、 零元（零ベクトル）と逆元の存在である。零ベクトルは `f(x) = 0` （0 のみをとる定数関数）である。`f(x)` の逆元は `-f(x)` である。(Ⅱ.1), (Ⅱ.2),(Ⅱ.3)の条件も大丈夫だ。 そして `W` が和とスカラー倍について閉じていることを確認する。まず和について、`f, g in W` とする。`f(1) = f(2) = 0, g(1) = g(2) = 0` である。このとき、

`(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0`

`(f+g)(2) = f(2) + g(2) = 0 + 0 = 0`

が成り立つ。よって、`f + g in W` である。次にスカラー倍については、任意の `alpha in RR` について、

`(alpha f)(1) = alpha (f(1)) = 0`

`(alpha f)(2) = alpha (f(2)) = 0`

が成り立つ。よって、`alpha f in W` となる。よって、`W` は `V` の部分空間である。

`W` の一つの基底だが、`W` の元は具体的に `(x-1)(x-2)(a_0+a_1x+a_2x^2)` と表せることから、`{(x-1)(x-2), x(x-1)(x-2), x^2(x-1)(x-2)}` でよいと思う。

誤植

p.19 上から 9 行目、これを Rn における通常の位相よとぶ． とあるが、正しくは 《これを Rn における通常の位相とよぶ．》 だろう。

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

数学ライブラリー

  1. 多元数論入門
  2. 複素関数論
  3. 自然数論
  4. 接続の幾何学
  5. OR 入門
  6. グラフ理論の基礎
  7. 動的計画法
  8. 変形法による構造解析
  9. 計量経済学入門
  10. 差分方程式入門
  11. 変分学の応用
  12. 待ち行列の応用
  13. 保険数学
  14. 微分方程式序説
  15. ゲームの理論
  16. 応用確率論
  17. 線形代数入門
  18. 統計数学入門
  19. 位相幾何学
  20. リーマン幾何学入門
  21. 集合論入門
  22. コンパイラ
  23. テンソル解析の応用
  24. 電気系の確率と統計
  25. ベクトルとその応用
  26. 積分とその応用
  27. 数学と物理学の交流
  28. 初等フーリエ解析と境界値問題
  29. 組合せ位相幾何
  30. グラフ理論の展開と応用
  31. テンソル解析入門
  32. 多変量解析入門
  33. 計量社会学入門
  34. 関数解析と数値解析入門
  35. 経営と経済の数値計算
  36. 線形代数と解析幾何
  37. スケジュール理論
  38. 有限要素法とその応用
  39. 実験計画法
  40. 特殊関数とその応用
  41. 多様体入門
  42. ネットワークプログラミング
  43. 確率制御過程
  44. 数理計画法入門
  45. コンピュータによる統計解析
  46. 多変量解析入門Ⅱ
  47. 乱数とモンテカルロ法
  48. ファジィ集合とその応用
  49. ルベーグ積分入門
  50. 最適化問題の基礎
  51. 多変数複素解析入門
  52. 情報代数の基礎
    53. 最適化と最適制御

書誌情報

書名多様体入門
著者畠山洋二
発行日1976 年 10 月 4 日
発行元森北出版
定価2400 円（本体）
サイズA5版 253 ページ から 366 ページ
ISBN4-627-00410-9
その他草加市立図書館にて借りて読む

まりんきょ学問所 ＞ 数学の本 ＞ 畠山洋二：多様体入門

MARUYAMA Satosi