極私的関数解析：用語集

記法

用語のあとのカッコ内は、順にエスペラント、英語での訳である。

以下、係数体としては、実数体 `RR` あるいは複素数体 `CC` のみを考える。`RR` または `CC` を表す記号として `K` を用いる。

あ～お

アナイアレーター

アナイアレーター（-, annihilator）とは、ヒルベルト空間の任意の部分集合の直交部分空間のことをいう。 アナイアレイターとつづることもある。日本語では零化域と訳されることがある。

か～こ

開球

malfermita globo

open ball

`(X, d)` を距離空間、`x in X, epsilon > 0` とするとき、 `X` の部分集合 `B(x, epsilon) := {y in X | d(x, y) < epsilon}` を 中心 `x` 、半径 `epsilon` の （距離 `d` に関する）開球と呼ぶ。参考：近傍

可測空間

mezurebla spaco

measureable space

可測空間とは、空でない集合 `Omega` とその部分集合からなるある集合族 `F` について `F` が次の条件をみたすときの組 `(Omega, F)` のことをいう。

1. `Omega in F`
2. `A in F => A^C in F`
3. `A_1, A_2, cdots in F => uuu_(i=1)^oo A_i in F`

可測集合（かそくしゅうごう）

mezurebla aro

measurebale set

可測集合とは、可測空間 `(Omega, F)` における `F` の要素の集合をいう。

可分（かぶん）

apartigebla

separable

ノルム空間 `X` が可分であるとは、 `X` の部分集合 `M` で次の条件 i. ii. を満たすものが存在することである。

1. `bar(M) = X` 、すなわち `M` は `X` で稠密。
2. `M` は可算集合。

すなわち、`X` の中の可算集合 `M = {f_1, f_2, cdots, f_n, cdots}` を選んで、 任意の `u in X` が `M` の触点になるようにできることである。

完備（かんび）

kompleta

complete

完備とは、距離空間についてのある種の性質をいう。距離空間 `M` が完備であるとは、 `M` 内の任意のコーシー列が `M` に属する極限を持つ、すなわち任意のコーシー列が収束することをいう。

共役空間（きょうやくくうかん）

ノルム空間 `X` から `X` の係数体（実数か複素数）`Y` への有界線形作用素の全体を `ccL(X, Y)` で表す。このとき、 `ccL(X, Y)` は `X^*` と書かれ、`X` の共役空間と呼ばれる。

距離空間（きょりくうかん）

metrika spaco

metric space

集合 `X` が距離空間であるとは、`X` の 2 点 `u, v` に対し、距離関数とよばれる非負実数値関数 `d(u, v)` が与えられていて、 距離関数が次の距離の公理を満たすものをいう。

1. `d(u, v) >= 0 (u, v in X)`
   かつ
   `d(u, v) = 0 <=> u = v.`
2. `d(u, v) = d(v, u) quad (u, v in X)`
3. `d(u, v) <= d(u, w) + d(w, v) quad (u, v, w in X)`

しばしば距離空間 `(X, d)` と書かれる。

近傍（きんぼう）

ĉirkaŭĵo

neighborhood

`(X, d)` を距離空間、`x in X, epsilon > 0` とするとき、 `X` の部分集合 `B(x, epsilon) := {y in X | d(x, y) < epsilon}` を `x` の `epsilon - ` 近傍と呼ぶ。 参考：開球

さ～そ

作用素（さようそ）

operatoro

operator

作用素とは、関数空間上の変換、すなわち関数を別の関数にうつす写像をいう。 特に、関数解析学におけるヒルベルト空間上の線形写像のことを指す。以下の記述では、 作用素という用語を使うが、写像と読み替えて説明する文献もある。

弱位相（じゃくいそう）

malforta topologio

weak topology

`X` を `K = RR or CC` 上のノルム空間、`X^*` をその共役ノルム空間とする。`X^*` は `X` から `K` への写像の族なので、 `X^*` により `X` 上の逆位相が定義されるが、これを `X` の弱位相といい、`sigma(X, X^*)` で表す。

弱収束（じゃくしゅうそく）

malforta converĝo

weak convergence

Banach 空間の点列 `{x_n}` が `x_0` に弱収束するとは、`x_0` の弱位相での任意の近傍 `V` に対して `n` が十分大ならば `x_n in V` となることである。

触点（しょくてん）

adhera punkto

adherent point

点 `x` が集合 `A` の触点であるとは、任意の `epsilon > 0` に対して開球 `B(x, epsilon) nn A != O/` となっていることである。

線形位相空間（せんけいいそうくうかん）

位相線形空間（いそうせんけいくうかん）

ベクトル位相空間（べくとるいそうくうかん）

位相ベクトル空間（いそうべくとるくうかん）

lineara topologikala spaco

topologikala lineara spaco

vektora topologikala spaco

topologikala vektora spaco

linear topological space

topological linear space

vektor topological space

topological vector space

係数体 `K` の線形空間 `X` が線形位相空間であるとは、`X` に位相が導入されていて、それに対して和やスカラー倍の演算が連続になっていることをいう。 すなわち、
`{((x"," y), |->, x + y) , (X xx X, ->, X):} quad {((lambda"," x), |->, lambda x) , (K xx X, ->, X):}`

が連続になるということである。

線形空間（せんけいくうかん）

lineara spaco

linear space

線形空間とは、抽象的なベクトル空間のことである。 `X` が線形空間であるとは、`X` に属する任意の要素どうしの加法、 および `X` の要素にスカラーとよばれる数を乗じるスカラー乗法が定義されている空間をいう。 なお、線形のかわりに線型と表記することもある。

線形汎関数（せんけいはんかんすう）

lineara funkcionalo

linear functional

`X` を `K` 上の線形空間とする。写像 `f : X -> K` が線形性をもっているとき、すなわち、
`f(u + v) = f(u) + f(v) (u, v in X)`
`f(alpha u) = alpha f(u) (alpha in K, u in X)`
が成り立つとき、`f` は `X` における線形汎関数と呼ばれる。

測度（そくど）

mezuro

measure

可測空間`(Omega, F)` に対し、`F` 上の広義実数値関数 `mu` が以下の性質を満たすとき測度という。

1. `A in F => mu(A) >=0` かつ `mu(O/) = 0`
2. `A_1, A_2, cdots, in F` について、
   `mu(sum_(i=1)^oo A_i) = sum_(i=1)^oo mu(A_i)`

測度空間

測度空間(mezurhava spaco, measure space) `(Omega, F, mu)` とは、可測空間 `(Omega, F)` と測度 `mu` の組（数学的構造）をいう。

な～の

内積

`X = L^2(a,b)` が実数値関数からなっているとし、`u, v in X` とする。`u, v` の内積(interna produto, internal product)　`(u, v)` は、 次の式で定義される。
`(u, v) = int_a^b u(x)v(x)dx`

`X` が複素数値関数からなっているとすれば、`u, v in X` の内積は次の式で定義される。
`(u, v) = int_a^b u(x)bar(v)(x)dx`
ここで `bar(v)(x)`は `v(x)` の共役複素数である。

内点

`x` が `A` の内点である（または `x` が `A` の内部にある）とは、ある `epsilon > 0` で `B(x, epsilon) sub A` を満たすものが存在することをいう。 `A` の内点全体の集合を `A` の内部または開核といい、Int `A` あるいは `A^@` で表す

ノルム

normo

norm

線形空間 `X` で定義された汎関数 `||*|| : X |-> RR` がノルムの公理をみたすとき、 `||*||` を `X` のノルムという。とくに、`u in X` に対し `||u||` を要素 `u` のノルムという。

ノルム空間

norma spaco

normed space

ノルム空間とは、ノルムが定義されている線形空間のことをいう。ノルム線形空間、ノルム付き線形空間 線形ノルム空間ともいう。

は～ほ

バナッハ空間（ばなっはくうかん）

banaĥa spaco

Banach space

バナッハ空間とは、完備なノルム空間のことをいう。

反射的

refleksiva

reflexsive, reflective

空間 `X` が反射的であるとは、 `X` の第２共役空間 `X''` の任意の要素 `F` に対して、
`F(f) = (: f, a :) (AA f in X') `
となるような `a in X` が選べることをいう。

なお、反射的のかわりに、回帰的あるいは再帰的であるともいう。

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間(hilberta spaco, Hilbert space)とは、 完備な内積空間のことをいう。

や、ゆ、よ

有界作用素

有界作用素(barita operatoro, bounded operator)とは、 二つのノルム空間 `X` および `Y` の間の線形変換 `L` であって、 `X` に含まれるゼロでないすべてのベクトル `v` に対して `L(v)` のノルムと `v` のノルムの比が、 `v` に依存しない一つの数によって上から評価されるような`L`のことをいう。

式で書けば、`X` に含まれるすべてのゼロでない `v` に対し
`||Lv||_Y <= M ||v||_X `
が成り立つ定数 `M > 0` が存在する線形変換 `L` のことをいう。

ら～ろ、わ

リースの表現定理

リースの表現定理(Teorio de esprimo de Riesz, Riesz representation theorem）とは、 数学の関数解析学の分野におけるいくつかの有名な定理に対する呼び名である。 ハンガリーの数学者、リース・フリジェシュ（Riesz Frigyes）の名をとっている。

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

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MARUYAMA Satosi