山田　功：工学のための関数解析

概要

工学の立場からみた関数解析の教科書。

省いたところ、力が入っているところ

工学の立場からの関数解析の本としての特色として、思い切って線型作用素のスペクトル理論を省いたことだろう。 一方で、工学でよく出てくる非線形の問題に対して、凸最適化理論を紹介している。また、図が多いのもありがたい。

コーナーストーン

著者は関数解析のコーナーストーンとして、次の４種類の定理を挙げている。

• 一様有界性の定理
• 開写像定理
• 閉グラフ定理
• ハーン・バナッハの定理

４種類の定理のうち、最初の３定理と最後のハーン・バナッハの定理とは毛色が違う。 最初の３定理は空間に完備性が仮定されている必要があるが、ハーン・バナッハの定理は必ずしも完備性がなくとも成立する。 この本では、一般のノルム空間ではなく、計量の入った内積空間（プレヒルベルト空間）に限定して証明している。 これは初学者にとってありがたいことだ。

数列の表記法

同書では実数列 `(a_n)_(n=1)^oo` のように丸括弧を使って書かれているが、他の書籍では `{a_n}_(n=1)^oo` のように波括弧を使うことがある。

正体

著者は「正体」ということばが好きなのだろう。いくつか探してみた。

• p.13 ( 1 章の問題 7 ) `x_1 = 2` から始めて，`x_(n+1) = x_n / 2 + 1 / x_n (n = 1, 2, 3, cdots)` によって数列 `(x_n)_(n=1)^oo` をつくることを考える．（中略） `(x_n)_(n=1)^oo` は，ある `alpha in RR` に収束する．`alpha` の正体を求めよ．
• p.51 「縮小写像の不動点定理」は，方程式（中略）の解の一意存在性（中略）を示すのに利用されるだけでなく， 解の正体を求めるためにも利用される．
  例をあげておく．
  ( 例題 2.10 ) 次の微分方程式を満足する連続関数 `x(t) ` が一意に存在することを証明するとともにこの解の正体を求めよ．
  `x(t) = 1 + int_0^t (int_0^s x(tau) d tau) ds`
• p.151 ( 参考　「微分係数」のイメージ ) `lim_(h ->0) (rho_r(h)) / |h| = 0` は、「『増分 `f(xi + h) - f(xi)` の線形関数 `ccL_tau (h) ` による近似誤差 `rho_tau(h)` 』が，`h` が 0 に近づくにつれ，(`h -> 0` となるスピードに比べて) 圧倒的に速く 0 に近づいていく特別な状況が実現されている」ことを意味している」ことを意味している． このような特別な性質を持つ線形近似 `ccL_tau(h)` が存在することが， `f` が `xi` で微分可能であることにほかならない．この特別な線形近似を実現する唯一の「傾き：`tau`」が 「`xi` における `f` の微分係数の正体」である．

誤植

私がもっているのは第 2 刷である。私が見つけた誤植は下記だけである。

p.239 [14] の著者が D. G. Luenburger となっているが、正しくは D. G. Luenberger である。

サポートページ

同書のサポートページ(www.saiensu.co.jp) がある。

関数解析の本

• 森本　光生：関数解析とフーリエ級数
• 保江　邦夫：ヒルベルト空間論
• 宮島　静雄：関数解析
• 藤田　宏，黒田　成俊，伊藤　清三：関数解析
• 藤田　宏：関数解析

数式の記述

数式記述は ASCIIMathML を、 数式表現はMathJax を用いている。

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