体上の正方行列に関する様々な定義　：　トピック一覧

　定義：対角成分･非対角成分/対角和･トレース
　定義：対角行列/スカラー行列/クロネッカーのδ/単位行列　
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※体として実数体を指定した具体例：実行列　　
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定義：正方行列の対角成分・非対角成分

【舞台設定】　　












a11
 a12 …
 a1n



　A：n次正方行列
　　　　すなわち、 A =  a21
 a22 … a2n


 ：
 ：
：


an1
 an2 … ann









【定義】
 ・n次正方行列Aの対角成分とは、  Aの対角線上にある成分a11, a22, …, annのこと。
 ・n次正方行列Aの非対角成分とは、Aの対角線上にない成分aij (i≠j)のこと。
【文献】
　・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.43);藤原『線形代数』2.1(p.21)

【具体化】
　・実行列の対角成分･非対角成分
　


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定義：対角和・跡・トレース trace ・シュプール Spur 　　　


【舞台設定】
　　
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　












a11
 a12 …
 a1n



　A：K上のn次正方行列
　　　　すなわち、 A =  a21
 a22 … a2n


 ：
 ：
：


an1
 an2 … ann









【定義】

　n次正方行列 Aの対角和・跡・トレースtrace・シュプールSpurとは、
　Aの対角成分の和a11＋a22＋…＋annのこと。
　（なお、上記の＋は、体Kにおいて定義されている加法）

【記号】

  n次正方行列Aの対角和・トレースは、記号「Tr A」などで表される。　

【文献】
　藤原『線形代数』2.1(p.29)

【具体化】
　・実行列の対角和･トレース 　

 

定義：対角行列diagonal matrix　　　

　・対角行列とは、
　　すべての非対角成分が０である正方行列、
　　
　　すなわち、












a11
 ０ …
 … … ０



　　　　  ０ a22 ０ … … ０

０ ０ a33 ０ … ０

： ： ０

：

： ： ：

０

０ ０ ０ … ０ ann









　　のこと。

【具体化】
 　・実行列の対角行列

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列A(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』5.1(p.133)
　・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.43)
　・藤原『線形代数』2.5(p.52)
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定義：スカラー行列　scalar matrix　　　


・スカラー行列とは、すべての対角成分が等しい対角行列のこと、

　すなわち、
　すべての対角成分が等しく、なおかつ、すべての非対角成分が０である正方行列　　

















a
０
…
…
…
０



  ０
a
０
…
…
０

０
０
a
０
…
０

：
：
０




：

：
：
：




０

０
０
０
…
０
a














　　
　のこと。

【具体化】

　・実行列のスカラー行列

【文献】

　・『岩波数学辞典』83行列(p.220)
　・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.43)

定義：クロネッカーのデルタ　Kronecker's delata

　次のように定義した δij  を、クロネッカーのデルタと呼ぶ。　
δij ＝
 {
 1 (i＝j)
0 (i≠j)
　
【文献】

　・『岩波数学辞典』83行列A(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.25)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.35)
　・藤原『線形代数』1.2(p.11

 
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定義：単位行列　 unit matrix, identity matrix

【一般的な定義】

　n次単位行列とは、
　すべての対角成分が１であり、なおかつ、すべての非対角成分が０である、 「n次正方行列」  のこと。　

【クロネッカーのδをもちいた定義】

　n次単位行列とは、すべての( i, j )成分がδijである n次正方行列 のこと。

【行列の成分を明示した定義】　


















1
０
…
…
…
０




  ０
1
０
…
…
０
　n次単位行列とは、　 ０
０
1
０
…
０　という 「n次正方行列」 のこと。

：
：
０




：

：
：
：




０

０
０
０
…
０
1















　
【記号】　
　n次単位行列は、In, En 、あるいは略して、I , E　と表す。
　したがって、上記定義を記号で表すと、I=(δi j)　となる。　

【性質】　
　任意の(m,n)型行列Aにたいして、
　　Im A= A
　　A In= A
　が成り立つ。（∵行列の積の定義にもどって考えればわかる）　


【具体化】
　実単位行列

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.26)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.35)
　・藤原『線形代数』2.1(p.27)]


　
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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。


数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。