数ベクトルが基底とならないことの十分条件の証明
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定理)
(証明) [永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.2.4(p.14);]
一次独立なn次元数ベクトルv1, v2, …, vlが、基底の定義を満たすには、
条件P1:v1, v2, …, vlは一次独立。
条件P2:v1, v2, …, vlの一次結合として、Knに属す「任意の」n次元数ベクトルを表せること。
( ∀v ∈Kn ) ( ∃a1, a2, …, al ∈K) ( v =a1u1+a2u2+…+alul )
が満たされねばならない。
しかし、l<nならば、条件P2を満たすことは不可能である。
v1, v2, …, vlの一次結合としては表し得ない「Kからつくったn次元数ベクトル」があることは、
次の点について考えてみると判然とする。
|Knの単位ベクトルは、いつでもn個ある。
|また、Knの単位ベクトルは、いつでも一次独立である。(∵)
|つまり、Knには、一次独立なn個のn次元数ベクトルが、単位ベクトルを実例として存在している。
|ところが、
|l < nという設定下で、v1, v2, …, vlの一次結合をn個つくると、
|このn個の「v1, v2, …, vlの一次結合」は一次従属にしかならない。(∵)
|「v1, v2, …, vlの一次結合」としてあらわしうる、一次独立なベクトルの個数は、l以下である。(∵)
|したがって、
|単位ベクトルを実例とする、一次独立なn個のn次元数ベクトルを、「v1, v2, …, vlの一次結合」として表そうとしても、
|表せない(n−l)個のベクトルが存在することになる。
したがって、「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl の個数lがnより少ないケースにおいては、
たとえ、v1, v2, …, vlが一次独立だとしても
v1, v2, …, vlは、Knの基底になりえない。
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