数ベクトルが基底とならないことの十分条件の証明　

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(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
Kn：K上のn次元数ベクトル空間　
+：K上のn次元数ベクトル空間において定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法　
v1, v2, …, vn：n個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, nにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=( vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vn ∈Kn 。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
a1, a2, …, an ：スカラー。a1, a2, …, an ∈K　　

(定理)
　「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl　の個数lがnより少ないならば、
　　v1, v2, …, vlが一次従属の場合もあれば一次独立の場合もありえる。　
　　もし、ここで、v1, v2, …, vlが一次独立だとしても
　　v1, v2, …, vlは、Knの基底になりえない。　
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(証明)　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.2.4(p.14);]
　　一次独立なn次元数ベクトルv1, v2, …, vlが、基底の定義を満たすには、
　　条件P1：v1, v2, …, vlは一次独立。
　　条件P2：v1, v2, …, vlの一次結合として、Knに属す「任意の」n次元数ベクトルを表せること。
　　　　　　　　　　　　　( ∀v ∈Kn ) ( ∃a1, a2, …, al ∈Ｋ) ( v =a1u1+a2u2+…+alul )　
　　が満たされねばならない。
　　しかし、l<nならば、条件P2を満たすことは不可能である。
　　v1, v2, …, vlの一次結合としては表し得ない「Kからつくったn次元数ベクトル」があることは、
　　次の点について考えてみると判然とする。
　　｜Knの単位ベクトルは、いつでもn個ある。　
　　｜また、Knの単位ベクトルは、いつでも一次独立である。（∵）　　
　　｜つまり、Knには、一次独立なn個のn次元数ベクトルが、単位ベクトルを実例として存在している。　
　　｜ところが、　　
　　｜l < nという設定下で、v1, v2, …, vlの一次結合をn個つくると、　
　　｜このn個の「v1, v2, …, vlの一次結合」は一次従属にしかならない。（∵）
　　｜「v1, v2, …, vlの一次結合」としてあらわしうる、一次独立なベクトルの個数は、l以下である。（∵）　　　
　　｜したがって、　
　　｜単位ベクトルを実例とする、一次独立なn個のn次元数ベクトルを、「v1, v2, …, vlの一次結合」として表そうとしても、　
　　｜表せない(n−l)個のベクトルが存在することになる。　　　
　　したがって、「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl　の個数lがnより少ないケースにおいては、
　　たとえ、v1, v2, …, vlが一次独立だとしても
　　v1, v2, …, vlは、Knの基底になりえない。　


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