命題論理の「自然演繹」の推論規則 トピック一覧  

命題論理の自然演繹:推論規則公理一覧 
 ・推論規則:⇒導入則⇒除去則∧導入則∧除去則∨導入則∨除去則¬導入則¬除去則背理法二重否定除去律矛盾除去
 ・公理  :排中律 


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※述語論理の場合は、林晋,鹿島亮を参照。



命題論理の形式的体系「自然演繹」における推論規則:「矛盾についての推論規則」






【矛盾についての推論規則】

 (1) 「」を、どんな論理式に書き換えてよい。

 (2) 書き換え後に引き継ぐ仮定は、書き換え前の仮定のすべて。

* 使用例 → 対偶律の証明2(step06) /





 




【文献】
 ・前原『記号論理入門』2章§7(pp.53-6):特にp.56;
 ・高崎『数理論理学入門VII.1.
 ・鹿島『数理論理学』図2.2(p.29)
 ・戸次 『数理論理学』定義8.18NJの推論規則(p.186)



  
【矛盾についての推論規則】は、下図で表される。





【矛盾についての推論規則】

   
  



 
A

 * 上記 A には、
   どんな論理式を入れてもよい。





  この図は、
    ・演繹図 [高崎VI. 2.1] 
    ・推論図 [前原p.38;高崎VI. 2.1] 
    ・証明図 proof diagram [戸田山『論理学をつくる』8.1.1(p.177);飯田編(p.90);高崎VI. 2.1;向井pp15-16]proof figure[清水『記号論理学』p.97]
    ・導出図 [鹿島『数理論理学』図2.2(p.29)]
  などと呼ばれる。

* 使用例 → 対偶律の証明2(step06) / 選言的三段論法の証明(step05) /


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   * 排中律の代わりに
     二重否定の除去法則「¬¬A⇒A」を公理としてもよいし、
     
          
  ¬¬A 


(¬¬除去)

 
A
      を推論規則としてもよい。(前原昭二『記号論理入門』2章演繹§8.排中律についてpp.52-59証明付)


     ・7.8古典論理の体系HK(pp.165-173):ヒルベルト流
             HK=HM+DNE二重否定除去律 = HM+EFQ矛盾に関する推論規則+LEM排中律(pp.172-3)