直積 direct product, Cartesian product ： トピック一覧
・定義：直積[名称/読み/意味/略記法]
・性質：直積の元の個数/直積と空集合/直積の包含関係/直積と∪/直積と∩
定義：直積
【名称】
・集合Aと集合Bの「直積」「積空間」「直積集合」
cartesian product,direct product
【読み下し例】
・A×Bの読み下し例： "A cross B"
【意味】
・「集合Aと集合Bの直積」とは、
以下の手順でつくった集合のことをいう。
[step1] 二つの集合A,Bについて、
それぞれから一つずつ元a,bをとる。
この順序対ordered pairを(a,b)で表す。
[step2] 集合Aからどの元をとるのか、集合Bからどの元をとるのかによって、
(a,b)は様々。
この様々な(a,b)を全て集めて集合をつくる。
[step3] この様々な(a,b)を全てあつめた集合が、「集合Aと集合Bの直積」。
・すなわち、
A×B ＝ { (a,b) | a∈A かつ b∈B }
【略記法】
・集合Aとそれ自身の直積A×A を、A2 で表す。
【例】
R2
＝ R×R
＝ { (a,b) | a∈R
かつ b∈R
}
R2
は「RとRの
直積」を表し、
Rか
らの実数の選択を二度おこなって作り得る順序対を、すべて収集しつくした集合を意味する。
【例】
SMAP2 ＝ SMAP×SMAP
＝ { (a,b)
| a∈ SMAP かつ b∈ SMAP }
これは、SMAPからメンバー一人の選出を二度おこなうことによって作り得る順序対(a,b)を、すべて収集しつくした
集合を意味する。
順序対(a,b)は、順序が入れ替わると、
別ものとして扱うので注意。
つまり、 (
香取 , 草彅 ) と、 ( 草彅 , 香取 ) は、別コンビ扱い。
アイドルグループとして、 ( 香取 , 草彅 )と ( 草彅 , 香取 )を、別扱いするのは不自然かも知れない。
しかし、たとえば、
・お笑いコンビ ： ( ボケ , ツッコミ )、
・ジャズ・デュオ ： ( ピアニスト , サックス奏者 )
等、機能分化したコンビをSMAPから
選抜して結成するといった状況においては、
( 香取 , 草彅 ) と、 ( 草彅 , 香取 ) を、別コンビとして扱うほうが、むしろ自然。
【直積の性質１】 直積の元の個数
A,Bが
有限集合である場合の、
A×B の
元の個数について。
有限集合Aの
元の個数を
n(A)で表すと、
n(
A×B)＝
n(A)×n(B)
【例】 SMAP2 ＝ SMAP×SMAPの元の個数n(SMAP)は、いくつ？
SMAP ＝ { 中居 , 木村 , 稲垣 , 草彅 , 香取 } より、
n(SMAP)=5 。
ゆえに、
n(SMAP×SMAP)
＝n(SMAP)×n(SMAP) ＝n(SMAP)2＝52＝
２５。
実際に勘定してみると、
SMAP2 ＝
SMAP×SMAP＝ { (a,b) | a∈ SMAP かつ b∈ SMAP }
＝ { ( 中居 , 中居 ) , ( 中居 , 木村 ) , ( 中居 , 稲垣 ) , ( 中居 , 草彅 ) , ( 中居 , 香取 ) ,
(
木村 , 中居 ) , ( 木村 , 木村 ) , ( 木村 , 稲垣 ) , ( 木村 , 草彅 ) , ( 木村 , 香取 ) ,
( 稲垣 , 中居 ) , ( 稲垣 , 木村 ) , ( 稲垣 , 稲垣 ) , ( 稲垣 , 草彅 ) , ( 稲垣 , 香取 ) ,
( 草彅 , 中居 ) , ( 草彅 , 木村 ) , ( 草彅 , 稲垣 ) , ( 草彅 , 草彅 ) , ( 草彅 , 香取 ) ,
( 香取 , 中居 ) , ( 香取 , 木村 ) , ( 香取 , 稲垣 ) , ( 香取 , 草彅 ) , ( 香取 , 香取 ) }
となって、SMAP×SMAPは、
25ペアの元が属す集合になる
ことがわかる。
【直積の性質２】 直積と空集合
A×B＝φ ⇔ A＝φ またはB＝φ
[『岩波数学辞典（第三版）』項目162B (p.429) :証明なし]
【直積の性質３】 直積と包含関係
A≠φ かつB≠φ ならば、
A⊂C かつ B⊂D ⇔ (A×B)⊂(C×D)
【直積の性質4】 直積と∪
(A∪C)×B ＝ (A×B)∪(C×B)
なぜなら、(A×B)∪(C×B) ＝ { (a,b) | a∈A かつ b∈B} ∪ { (a,b) | a∈C かつ b∈B } ＝ { (a,b) | a∈(A∪C) かつb∈B} ＝ (A∪C)×B
【例】 (YMO×Perfume
)∪(m-flo×Perfume
)＝(YMO∪m-flo)×Perfume
・ YMO×Perfume
＝ { (a,b) | a∈ YMO
かつ b∈ Perfume
}
＝ { ( 細野晴臣 , 大本彩乃
) , ( 細野晴臣 , 西脇綾香
) , ( 細野晴臣 , 樫野有香
) ,
( 高橋幸宏 , 大本彩乃
) , ( 高橋幸宏 , 西脇綾香
) , ( 高橋幸宏 , 樫野有香
) ,
( 坂本龍一
, 大本彩乃
) , ( 坂本龍一
, 西脇綾香
) , ( 坂本龍一
, 樫野有香
) }
・ m-flo×Perfume＝
{ (a,b)
| a∈ m-flo かつ b∈ Perfume
}
＝ { ( Verbal , 大本彩乃
) , ( Verbal , 西脇綾香
) , ( Verbal , 樫野有香
) ,
( Taku , 大本彩乃
) , ( Taku , 西脇綾香
) , ( Taku , 樫野有香
) }
より、
(YMO×Perfume
)∪(m-flo×Perfume
)
＝ { ( 細野晴臣 , 大本彩乃
) , ( 細野晴臣 , 西脇綾香
) , ( 細野晴臣 , 樫野有香
) ,
( 高橋幸宏 , 大本彩乃
) , ( 高橋幸宏 , 西脇綾香
) , ( 高橋幸宏 , 樫野有香
) ,
( 坂本龍一
, 大本彩乃
) , ( 坂本龍一
, 西脇綾香
) , ( 坂本龍一
, 樫野有香
) }
( Verbal , 大本彩乃
) , ( Verbal , 西脇綾香
) , ( Verbal , 樫野有香
) ,
( Taku , 大本彩乃
) , ( Taku , 西脇綾香
) , ( Taku , 樫野有香
) }
＝ { (a,b)
| a∈ (YMO∪m-flo) かつ b∈ Perfume
}
＝ (YMO∪m-flo)×Perfume
となることがわかる。
【直積の性質５】直積と∩
(A×B)∩(C×D)
＝(A∩C)×(B∩F)
※応用例→有限加
法族に属す集合の直積がなす集合系予備命題3証明
なぜなら、
(A×B) ∩ (C×D)＝ { (a,b) | a∈A かつ b∈B} ∩ { (a,b) | a∈C
かつ b∈D} ＝ { (a,b) | a∈(A∩C) かつ b∈B∩D}
＝ (A∩C)×(B∩F)
reference
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