R上の区間塊の長さを定義する集合関数μ( )の性質4の証明　

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[準備]　
・舞台設定
R　　　　　：実数の全体の集合R＝{ x| −∞ < x < ＋∞ }であるが、
　　　　　　　ここでは特に、1次元ユークリッド空間の意味ももたせる。　
集合系(族)E：　R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、Rの部分集合だから、EはRの部分集合系(族)となっている。
　　　　　　　　　　　　※Eは有限加法族である(∵)。　
Ψ(I) 　　　：　区間Iの長さを定義する集合関数。
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　(i)　I=(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞)ならば、　Ψ(I) =b−a　　　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　I=(−∞, b], (a , ∞), (−∞, ∞)(ただし−∞< a,b<＋∞) ならば、Ψ(I) =＋∞
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、区間塊であるから、　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　の5タイプの区間の有限個の直和として表す（＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間）
　と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、区間Iの長さを定義する集合関数を用いて、　
　　　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)
　と、関数μを定義する。　
　このμ(E)は、きれぎれの直線Eの長さの和となる。

[μ( )の性質4]　

　type 1: (a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞), type 2: (−∞, b]　(ただし−∞< b<＋∞)、type 3: (a , ∞)　(ただし−∞< a <＋∞)、
　type 4: (−∞, ∞)、type 5: 空集合φ 　

のいずれかのかたちである限りで任意の区間Iと、区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、
　　type 1: (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^* < b^* <＋∞),[つまり有界区間であって無限区間ではない]
　　type 5: 空集合φ 　　　
のいずれかのかたちをした、ある区間Jが存在し、
　　　　　[J]⊂I　かつ　α<μ(J)　
を満たす。
　すなわち、
　(a, b] (−∞, b] (a , ∞) (−∞, ∞) φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をI、
　(a^*, b^* ] φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、

　　　(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂Iかつα<μ(J) )　　　

[μ( )の性質4の証明]　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]

Iの形状ごとに別々に証明する。
　　・Iがtype 1: (a, b]　(−∞< a< b<＋∞) 　　→case1　　
　　・Iが type 2: (−∞, b]　(−∞< b<＋∞)　　→case2　　
　　・Iがtype 3: (a , ∞)　(−∞< a <＋∞) 　　→case3　　
　　・Iがtype 4: (−∞, ∞)　　　　　　　　　→case4　　
　　・Iがtype 5: 空集合φ　　　　　　　　　→case5　　

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[case1:　区間Iが、type 1: (a, b]　(−∞< a< b<＋∞)というかたちをしている場合]　

case1-step0:証明すべき主張の分析
　この場合、上記の主張は、
　　「任意の区間I=(a, b]　(−∞< a< b<＋∞)　と、このI=(a, b]にたいして任意にとったα<μ(I) =b−aに対して、
　　　　ある有界区間　J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞)、ないし、J=φ 　　　
　　　が存在して　
　　　　　[J]⊂(a, b]　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす。」
となるが、
−∞< a< b<＋∞のもとで、μ((a, b])=b−a>0。ゆえに、任意のα<μ(I)は、正の値もとり得る。
したがって、J=φは、任意のα<0にたいしては、α<μ(J)を満たすが、
　0<α<μ(I)であるような任意のαに対しては、α<μ(J)を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0だから。
上記の命題を証明するには、
　　「任意の区間I=(a, b]　(−∞< a< b<＋∞)　と、このI=(a, b]にたいして任意にとったα<μ(I) =b−aに対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞)
　　　が存在して、
　　　　　[J]=[a^*, b^*]⊂(a, b]　かつ　α<μ(J) = b^*− a^*　
　　　を満たす。」
　　　つまり、
　　「−∞< a< b<＋∞を満たす限りで任意の実数a, bと、任意のα< b-aに対して、　
　　　　ある実数a^*, b^*　(−∞< a^*< b^*<＋∞)　
　　　が存在して、
　　　　a<a^*< b^*≦b　かつ　α< b^*- a^*　
　　　を満たす」
を示せれば十分であるから、
以下では、この点のみを証明する。

case1-step1:　区間Iを分割　　　
　下記3条件を満たす数列{a_k}をとる。
　　1.狭義単調減少列であること　　a₁ > a₂ > a₃ >…　　(1-1-1)
　　2.　任意のkに対して、a < a_k < b　　　　　　(1-1-2)　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a<…< a₃ < a₂< a₁ < b　
　　3.　a_k→a　(k→∞)　　　　　　　　　　　　　(1-1-3)
　　
case1-step2:　区間I_kを定義　　　
　I_k=(a_k , b]　とI_kを定義する　
　　　つまり、I₁= ( a₁ , b] 、I₂= ( a₂ , b] 、I₃= ( a₃ , b] 、… といった具合になる。
　　
case1-step3:　区間I_kの性質　　　
　任意のkに対して、I_kの閉包[ I_k ]⊂Iとなる。　
　　　　実際、任意のkに対して、[ I_k ]=[a_k , b]　であり、(1-1-2)よりa < a_k < bだから、
　　　　　　[ I_k ]=[ a_k , b] ⊂ (a, b]=I　　　…(1-3)　
case1-step4:　μ(I_k)の値　　　
　μ()の定義より、
　μ(I_k)=μ( ( a_k , b] ) = b−a_k　　　　…(1-4)
case1-step5:　数列{ μ(I₁), μ(I₂), μ(I₃) ,…}の極限値を求める　　
　　　　∵(1-4)　
　　　　　　　　∵(1-1-3):a_kの収束より、極限の和の公式を適用　　
　　　　　= b− a　　　　　　　∵(1-1-3)
　　　　　=μ((a, b]) = μ(I)　　　　　　　　∵μ( )の定義　
つまり、
　μ(I_k)→μ(I)　(k→∞)　　
これを、数列の極限の定義にしたがって書き下すと、
(∀ε>0) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(I)−ε < μ(I_k) < μ(I)＋ε　)　…(1-5)
case1-step6:　区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、kを十分大きくとれば、　α<μ(I_k)　　　　
α=μ(I)−εとおくと、（1-5）は、
(∀ε>0) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< μ(I_k) < α＋2ε　)　…(1-6-1)
である。
(1-6-1)のうち、ここで興味のあるところだけにスポットライトをあてると、
(∀ε>0) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< μ(I_k)　)　、ただし、α=μ(I)−ε　　…(1-6-2)
ところで、εは、任意の正数で、α=μ(I)−ε　だから、αは、α<μ(I)を満たす限りで任意のαである。
すると、(1-6-2)を次のように書き換えても同じことである。
(∀α<μ(I)) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< μ(I_k)　)　…(1-6-3)

(1-6-3)より、任意のα<μ(I)に対して、kを十分大きくとれば、α< μ(I_k)をみたすI^*_k=(a^*_k , b]が存在するが、
このようなI^*_kは、(1-3)より、　[ I^*_k ] ⊂ Iも満たす。　　
したがって、
任意の区間I=(a, b]　(−∞< a< b<＋∞)　と、
このI=(a, b]にたいして任意にとったα<μ(I)=μ((a, b])=b−aに対して、　
I^*_k=(a^*_k , b]という、ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞)が存在して、
　　　　　[J]⊂(a, b]=I　かつ　α<μ(J)　
を満たすことが確認できた。

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[case2:　区間Iが、type 2: (−∞, b]　(−∞< b<＋∞)というかたちをしている場合]　

case2-step0:証明すべき主張の分析
　この場合、上記の主張は、
　　「任意の区間I=(−∞, b]　(−∞< b<＋∞)　と、このI=(−∞, b]にたいして任意にとったα<μ(I)に対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)、ないし、J=φ が存在して、
　　　　　[J]⊂(−∞, b]　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」
　　となるが、
　　I=(−∞, b]ならば、μ(I)=Ψ(I) =＋∞ 　(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)であるから　
　　I=(−∞, b]にたいして任意にとったα<μ(I) =＋∞とは、任意の実数あるいは−∞である。
　　したがって、J=φは、任意のα<0にたいしては、α<μ(J)を満たすが、
　　0<α<μ(I)=＋∞であるような任意のαに対しては、α<μ(J)を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0だから。
　　以上から、上記の主張を証明するには、
　　「任意の区間(−∞, b]　(−∞< b<＋∞)　と、任意の実数αに対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)が存在して、
　　　　　[J]=[a^*, b^*]⊂(−∞, b]　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」
　　を示せれば十分であるから、
　　以下では、この点のみを証明する。
　　なお、Jは有界区間だから、μ(J)=Ψ(J) <＋∞であることに注意(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)。

Case2-step1:　区間Iを分割　　　
　下記3条件を満たす数列{a_k}をとる。　
　　1.　狭義単調減少列であること　　a₁ > a₂ > a₃ >…　　(2-1-1)
　　2.　任意のkに対して、a_k < b　　　　　　(2-1-2)　
　　　　　※1. 2. を合せると、…< a₃ < a₂< a₁ < b　
　　3.　a_k→−∞　(k→∞)　　　−∞に発散　　　
　　　　定義にしたがって正確に書き下すと、
　　　　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ a_k <M)　　　　　(2-1-3)
　　
case2-step2:　区間I_kを定義　　　
　I_k=( a_k , b]　とI_kを定義する　
　　　つまり、I₁= ( a₁ , b] 、I₂= ( a₂ , b] 、I₃= ( a₃ , b] 、… といった具合になる。
　　
case2-step3:　区間I_kの性質　　　
　任意のkに対して、I_kの閉包[ I_k ]⊂Iとなる。　
　　　　実際、　[ I_k ]=[ a_k , b] ⊂ (−∞, b]=I　　　…(2-3)　　
case2-step4:　μ(I_k)の値　　　
　μ()の定義より、
　μ(I_k)=μ( ( a_k , b] ) = b−a_k　　　　…(2-4)
case2-step5:　任意の実数αにたいして、kを十分大きくとれば、　α<μ(I_k)　　　
(2-1-3) 　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ a_k <M)　より、
　　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ −a_k >−M)　
すると、
　　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ b−a_k > b−M)　
(2-4)を用いて書きかえると、
　　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(I_k)> b−M)　
ここで、α= b−Mおくと、
　　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(I_k)>α)　
である。
ところで、bはI=(−∞, b]の右端点だが、Mは任意の実数であったから、
α= b−Mも、Mを動かせばどうにでも変わる任意の実数である。
すると、次のように書き換えても同じことである。
　　　(∀α∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(I_k)>α)　…(2-5)

(2-5)より、任意の実数αに対して、kを十分大きくとれば、α< μ(I_k)をみたすI^*_k=(a^*_k , b]が存在するが、
このようなI^*_kは、(2-3)より、　[ I^*_k ] ⊂ Iも満たす。　　
したがって、
任意の区間I=(−∞, b]　(−∞< b<＋∞)　と、
任意の実数αに対して、　
I^*_k=(a^*_k , b]という、ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)が存在して、
　　　　　[J]⊂(−∞, b]=I　かつ　α<μ(J)　
を満たすことが確認できた。

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[case3:　区間Iが、type 3: (a , ∞)　(−∞< a<＋∞) というかたちをしている場合]　

case3-step0:証明すべき主張の分析
　　この場合、上記主張は、
　　「任意の区間(a , ∞)　(−∞< a<＋∞)　と、(a , ∞)にたいして任意にとったα<μ((a , ∞))に対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞)、ないし、J=φ 　がが存在して、　　
　　　　　　　　　[J]⊂(a , ∞)　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす。」　
　　となるが、
　　I=(a , ∞)ならば、μ(I)=Ψ(I) =＋∞ 　(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)であるから、　
　　I=(a , ∞)にたいして任意にとったα<μ(I) =＋∞とは、任意の実数あるいは−∞である。
　　したがって、J=φは、任意のα<0にたいしては、α<μ(J)を満たすが、
　　0<α<μ(I)=＋∞であるような任意のαに対しては、α<μ(J)を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0だから。
　　以上から、上記の主張を証明するには、
　　「任意の区間(a , ∞)　(−∞< a<＋∞)　と、任意の実数αに対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)が存在して、
　　　　　[J]=[a^*, b^*]⊂(a , ∞)　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」
　　を示せれば十分であるから、
　　以下では、この点のみを証明する。
　　なお、Jは有界区間だから、μ(J)=Ψ(J) <＋∞であることに注意(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)。

Case3-step1:　区間Iを分割　　　
・下記3条件を満たす数列{a_k}をとる。　
　　1.狭義単調減少列であること　　a₁ > a₂ > a₃ >…　　(3-1-1)
　　2.　任意のkに対して、a < a_k　　　　　　(3-1-2)　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a<…< a₃ < a₂< a₁　
　　3.　a_k→a　(k→∞)　　　　　
　　　　これをそのまま定義にしたがって書き下すと、
　　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀k∈N) ( k≧N⇒ a−ε < a_k < a＋ε　)　
　　　　であるが、(3-1-2)の制約があるので、
　　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀k∈N) ( k≧N⇒ a< a_k < a＋ε　)… (3-1-3)
・下記3条件を満たす数列{b_k}をとる。　
　　1.狭義単調増加列であること　　b₁ < b₂ < b₃ <…　　(3-1-4)
　　2.　任意のkに対して、a₁ < b_k　　　　　　(3-1-5)　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a₁< b₁ < b₂ < b₃ <…　
　　3.　b_k→＋∞　(k→∞)　　　　　　　　
　　　　定義にしたがって正確に書き下すと、
　　　　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ b_k >M)　　(3-1-6)
　　
case3-step2:　区間I_kを定義　　　
　I_k=( a_k , b_k ]　とI_kを定義する　
　　　つまり、I₁= ( a₁ , b₁ ] 、I₂= ( a₂ , b₂ ] 、I₃= ( a₃ , b₃ ] 、… といった具合になる。
　　
case3-step3:　区間I_kの性質　　　
　任意のkに対して、I_kの閉包[ I_k ]⊂Iとなる。　
　　　　実際、　[ I_k ]=[ a_k , b_k ] ⊂ (a,∞]=I　　　…(3-3)　
cas3-step4:　μ(I_k)の値　　　
　μ()の定義より、
　μ(I_k)=μ( ( a_k , b_k ] ) = b_k−a_k　　　　…(3-4)
case3-step5:　任意の実数αにたいして、kを十分大きくとれば、　α<μ(I_k)　　　
(3-1-3)　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀k∈N) ( k≧N⇒ a< a_k < a＋ε　)　より、
　　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀k∈N) ( k≧N⇒ −a−ε < −a_k <− a　)　
(3-1-6)　　(∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ M < b_k)　
よって、実数Mとε>0に対して、
　　　　　　　　　(∀k∈N) ( k≧N⇒ −a−ε < −a_k <− a　)をなりたたせるNと　
　　　　　　　　　(∀k∈N) ( k≧K⇒ M < b_k)　　をなりたたせるKを比べて、
　　　　大きいほうをK'とおけば、　　
　　　(∀M∈R) (∀ε>0) (∃ K'∈N) (∀k∈N) ( k≧K' ⇒ M < b_k かつ −a−ε < −a_k <− a )　
　　　よって、
　　　(∀M∈R) (∀ε>0) (∃ K'∈N) (∀k∈N) ( k≧K' ⇒ M−a−ε < b_k−a_k)　
(3-4)を用いて、　　　
　　　(∀M∈R) (∀ε>0) (∃ K'∈N) (∀k∈N) ( k≧K' ⇒ M−a−ε < b_k−a_k=μ(I_k))　
ここで、α= M−a−εおくと、
　　　(∀M∈R) (∀ε>0) (∃ K'∈N) (∀k∈N) ( k≧K'⇒ α< b_k−a_k =μ(I_k))　
である。
ところで、aはI=(a, ∞]の左端点だが、Mは任意の実数、εは任意の正数であったから、
α= M−a−εも、M、εを動かせばどうにでも変わる任意の実数である。
すると、次のように書き換えても同じことである。
　　　(∀α∈R) (∃ K'∈N) (∀k∈N) ( k≧K'⇒ α< b_k−a_k =μ(I_k))　　…(3-5)

(3-5)より、任意の実数αに対して、kを十分大きくとれば、α< μ(I_k)をみたすI^*_k=( a^*_k , b^*_k ]が存在するが、
このようなI^*_kは、(3-3)より、　[ I^*_k ] ⊂ Iも満たす。　　
したがって、
任意の区間I=(a,∞] 　(−∞< a<＋∞)　と、
任意の実数αに対して、　
I^*_k=(a^*_k , b^*_k]という、ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)が存在して、
　　　　　[J]⊂(a,∞]=I　かつ　α<μ(J)　
を満たすことが確認できた。

　　→証明の先頭へ戻る　
　　→μ()の性質へ戻る　

[case 4:　区間Iが、type 4: (−∞, ∞)　(−∞< a<＋∞) というかたちをしている場合]　　　

case4-step0:証明すべき主張の分析
　　この場合、上記主張は、
　　「区間I=(−∞, ∞)=実数全体の集合R　と、I=(−∞, ∞)にたいして任意にとったα<μ(I)=μ((−∞, ∞))に対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)、ないし、J=φ が存在して、　　　
　　　　　[J]⊂I=(−∞, ∞)　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」　
　　となるが、
　　I=(−∞, ∞)ならば、μ(I)=Ψ(I) =＋∞ 　(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)であるから、　
　　(−∞, ∞)にたいして任意にとったα<μ(I)とは、任意の実数あるいは−∞である。
　　したがって、J=φは、任意のα<0にたいしては、α<μ(J)を満たすが、
　　0<α<μ(I)=＋∞であるような任意のαに対しては、α<μ(J)を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0だから。
　　以上から、上記の主張を証明するには、
　　「任意の実数αに対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞) が存在して、
　　　　　[J]=[a^*, b^*]⊂(−∞, ∞)　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」
　　を示せれば十分であるから、
　　以下では、この点のみを証明する。
　　なお、Jは有界区間だから、μ(J)=Ψ(J) <＋∞であることに注意(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)。

Case4-step1:　区間Iを分割　　　
・下記3条件を満たす数列{a_k}をR上にとる。　
　　1.狭義単調減少列であること　　a₁ > a₂ > a₃ >…　　(4-1-1)
　　2.　a_k→−∞　(k→∞)　　　−∞に発散　　　
　　　　定義にしたがって正確に書き下すと、
　　　　　(∀L∈R) (∃K₁∈N) (∀k∈N) ( k≧K₁⇒ a_k <L)　　　　　(4-1-2)
・下記3条件を満たす数列{b_k}をとる。　
　　1.狭義単調増加列であること　　b₁ < b₂ < b₃ <…　　(4-1-3)
　　2.　任意のkに対して、a₁ < b_k　　　　　　(4-1-4)　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a₁< b₁ < b₂ < b₃ <…　
　　3.　b_k→＋∞　(k→∞)　　　　　　　　
　　　　定義にしたがって正確に書き下すと、
　　　　　(∀M∈R) (∃K₂∈N) (∀k∈N) ( k≧K₂⇒ b_k >M)　　(4-1-5)
　　
case4-step2:　区間I_kを定義　　　
　I_k=( a_k , b_k]　とI_kを定義する　
　　　つまり、I₁= ( a₁ , b₁] 、I₂= ( a₂ , b₂] 、I₃= ( a₃ , b₃] 、… といった具合になる。
　
case4-step3:　区間I_kの性質　　　
　任意のkに対して、I_kの閉包[ I_k ]⊂Iとなる。　
　　　　実際、　[ I_k ]=[ a_k , b_k ] ⊂(−∞, ∞)=I　　　…(4-3)　
cas4-step4:　μ(I_k)の値　　　
　μ()の定義より、
　μ(I_k)=μ( ( a_k , b_k ] ) = b_k−a_k　　　　…(4-4)
case4-step5:　任意の実数αにたいして、kを十分大きくとれば、　α<μ(I_k)　　　
(4-1-2):　(∀L∈R) (∃K₁∈N) (∀k∈N) ( k≧K₁⇒ a_k <L)　　　　　
(4-1-5):　(∀M∈R) (∃K₂∈N) (∀k∈N) ( k≧K₂⇒ M < b_k)　　
よって、実数M,Lに対して、
　　　　　　　(∀k∈N) ( k≧K₁⇒ a_k <L)　を成り立たせるK₁と　
　　　　　　　(∀k∈N) ( k≧K₂⇒ b_k >M)　を成り立たせるK₂とを比べて、
　　　　大きいほうをKとおけば、
　　(∀L∈R) (∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ a_k <Lかつ M < b_k)　　　
よって、
　　(∀L∈R) (∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ −L<−a_kかつ M < b_k)　　　
ゆえに、
　　(∀L∈R) (∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ M−L< b_k−a_k)　　　
(4-4)を用いて、
　　(∀L∈R) (∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ M−L< b_k−a_k=μ(I_k))　
ここで、α=M−Lとおくと、
　　(∀L∈R) (∀M∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< b_k−a_k=μ(I_k))
である。
ところで、M,Lは、任意の実数であるから、
α=M−Lも、M,Lを動かせばどうにでも変わる任意の実数である。
すると、次のように書き換えても同じことである。
　　　(∀α∈R)　(∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< b_k−a_k=μ(I_k))　　　　…(4-5)

(4-5)より、任意の実数αに対して、kを十分大きくとれば、α< μ(I_k)をみたすI^*_k=( a^*_k , b^*_k ]が存在するが、
このようなI^*_kは、(4-3)より、　[ I^*_k ] ⊂ Iも満たす。　　
したがって、
任意の実数αに対して、　
I^*_k=(a^*_k , b^*_k]という、ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞)が存在して、
　　　　　[J]⊂(−∞, ∞) =I　かつ　α<μ(J)　
を満たすことが確認できた。

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[case 5:　区間Iが、type 5: φ　である場合]　　
case5-step0:証明すべき主張の分析
　　この場合、上記主張は、
　　「区間I=φ　と、区間I=φにたいして任意にとったα<μ(I)=μ(φ)に対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞)、ないし、J=φ 　が存在して、　　
　　　　　　　　[J]⊂ I=φ　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす」　
　　となるが、
　　　　[J]⊂ I=φ　を満たすJは、φしかない。　　　　
　　また、I=φにたいして任意にとったα<μ(I)とは、任意の負の実数α< 0。∵μ(I)=μ(φ)=0
　　ゆえに、I=φのケースにおいて上記主張は、つまるところ、
　　「任意の負の実数α< 0に対して、　
　　　　J=φは、
　　　　α<μ(J)　　
　　　を満たす　」
　　を主張しているに過ぎない。

　　　　μ(J)=μ(φ)=0だから、α<0と規定されたαより大きいことは自明。　
　
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