論理から集合へ : トピック一覧 


【基本】


 
 命題関数P(x)の真理集合   
 命題関数P(x)の集合表現 

【述語・命題関数を論理演算で組み合わせた述語・命題関数】



 命題関数  ¬P(x)の真理集合  
 命題関数P(x)Q(x)の真理集合 
 命題関数P(x)Q(x)の真理集合 
 命題関数P(x)Q(x)の真理集合
 命題関数P(x)Q(x)の真理集合   
 命題関数  ¬P(x)の集合表現 
 命題関数P(x)Q(x)の集合表現 
 命題関数P(x)Q(x)の集合表現 
 命題関数P(x)Q(x)の集合表現 
 命題関数P(x)Q(x)の集合表現 

【述語・命題関数の量化】


     命題関数の普遍量化 ∀x P(x)の集合表現  
     命題関数の否定と量化
         全否定「∀x∈Ω ¬P(x)」 「¬ (∃x∈Ω P(x) )」の集合表現 
         部分否定の集合表現 
     述語・命題関数の普遍量化 ∀x (P(x)Q(x))の集合表現  
     述語・命題関数の普遍量化 ∀x (P(x)Q(x))の集合表現   

【関連ページ】


 ・集合/述語・命題関数 
 ・集合から論理へ 

集合論目次総目次


一項述語・1変数命題関数の全称量化(全称命題)∀x P(x)の集合表現







[文献]
 ・中谷『論理』 5章命題関数と集合-5.1真理集合(p.103) 


 
 【言葉で】

   全称命題「議論領域Ω内の全ての対象は、性質・条件Pを満たす」は、

   「《性質・条件Pの 真理集合》普遍集合Ωに等しい」 
   
   という主張に言い換えてよい。
   


 【記号で】

  [設定]

   P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x) とする。

  [本論]

    この設定の下で、

     「 xΩ P(x) 」 と 「 { xΩ | P(x) }  Ω 」とは、互いに言い換えてよい。


 ※中谷『論理』5.2(p.116)「全体集合は恒真関数(→同p.24)に対応」




全否定の命題をあらわす集合







[文献]
 ・中谷『論理』 5章命題関数と集合-5.1真理集合(p.104) 


 
 【言葉で】

   「議論領域Ω内の全ての対象は、性質・条件Pを満たさない
   「議論領域Ω内に、性質・条件Pを満たす対象は、一つも存在しない」

   という命題は、

   「《性質・条件Pの 真理集合》空集合である」 
   
   という主張に言い換えてよい。
 

 【記号で】

  [設定]

   P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x) とする。

  [本論]

    この設定の下で、

    「 xΩ ¬P(x) 」 「¬ ( xΩ P(x) ) 」と 「 A φ 」とは、互いに言い換えてよい。   


 ※中谷『論理』5.2(p.116)「全体集合は恒偽関数(→同p.25)に対応」





述語・命題関数の普遍量化 ∀x (P(x)Q(x))の集合表現







[文献]
 ・前原『記号論理入門』 第1章§6.1(p.10)
 ・中谷『論理』 5.4B必要条件と十分条件(pp.129-30) 
 ・本橋『新しい論理序説』3.3(pp.44-56)  


 ・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』は記述なし。
 【言葉で】
 
   「議論領域Ωのどの対象をとってみても、その対象が性質・条件Pを満たすならば、その対象は性質・条件Qも満たす」 aΩ ( P(a) Q(a)
   という命題は、

   「《性質・条件Pの 真理集合》は『《性質・条件Qの真理集合》部分集合』」「《性質・条件Pの 真理集合》《性質・条件Qの真理集合》に含まれる」 { xΩ | P(x) { xΩ | Q(x) } 
   という主張に言い換えてよい。

 【記号で】

  [設定]
    ・P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x)
    ・Q(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数Q(x)
   とする。

  [本論]

   この設定の下で、
   以下の三表現は、互いに言い換えてよい。 
    【表現1】 aΩ ( P(a) Q(a) )  
    【表現2】 aΩ ( a { xΩ | P(x) } a{ xΩ | Q(x) } )  
    【表現3】 { xΩ | P(x) { xΩ | Q(x) }   

  ※なぜ?

    ・a { xΩ | P(x) }  P(a) は互いに言い換えてよい()。同様に、a { xΩ | Q(x) }  Q(a) も互いに言い換えてよい()。
     したがって、【表現1】と【表現2】とは、互いに言い換えてよい。

    ・「AB 」の定義が 「 aΩ ( aA aB ) 」 だから、 【表現2】と 【表現3】とは、互いに言い換えてよい。 




述語・命題関数の普遍量化 ∀x,y ( P(x,y)Q(x,y) )の集合表現






[文献]


 ・前原『数学基礎論入門』§5.2公式5.8(p.77)「変数の個数が3以上の場合にも、公式5.7や公式5.8と同様な公式が成立する」 
   
 【言葉で】

  「《議論領域X》《議論領域Y》から、どの対象を選んでも、
   《議論領域Xから選んだ対象》を変項xへ、《議論領域Yから選んだ対象》を変項yへ代入すると、
       『《x,y関係・条件Pを満たすこと》と《x,y関係・条件Qを満たすこと》とが同値になる』」という主張は、
  「普遍集合X×Yのなかで《関係・条件Pの 真理集合》《関係・条件Qの 真理集合》とが等しい」という主張に
  言い換えてよい。

 【記号で】

  [設定]

   ・P(x,y) は、変項xの議論領域X, 変項yの議論領域Yとする二項述語・2変数命題関数P(x,y)   
   ・Q(x,y) は、変項xの議論領域X, 変項yの議論領域Yとする二項述語・2変数命題関数Q(x,y)
  とする。

  [本論]

    この設定の下で、

    「 x,y  (P(x,y)Q(x,y))」ないし「 xX  yY  (P(x,y)Q(x,y))」

    と

    「 { (x,y)X×Y | P(x,y) }    { (x,y)X×Y | Q(x,y) } 」とは、

    互いに言い換えてよい。   

   ※なぜ?
     →前原『数学基礎論入門』§5.2公式5.8(p.77)