定義：Rにおける集合の触点・接触点・閉包の点　adherent point , closure point, point of closure


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触点の定義　：　距離表現

・「実数aが『Rの部分集合Eの触点』である」とは、

　　εに設定した距離を変更して、《aからの距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、
　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に、「Eに属す実数」が実在している

　　ということ。

・論理記号で表すと、
　　　　　∀ε>0　∃x∈E 　|x-a|<ε　
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、ある実数x∈E－{a}　が存在して、|x-a|<εを満たす。


　　　∀ε>0　∃ x∈R　　（x∈E かつ |x-a|<ε）　　
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、ある実数x　が存在して、x∈E かつ |x-a|<εを満たす。

　　　∀ε>0　　E ∩ { x∈R | |x-a|<ε } ≠φ (∵互いに素を表す命題)

　　ということ。

【文献】

　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5):R1において。「点xがA閉包の点point of closureであるとは、任意のδ>0にたいし必ず|x-y|<δとなるようなAの点yが存在すること」
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§2(p.39)
　・Lang,『ラング現代微積分学』2章§2(p.46)]


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触点の定義　：　開区間表現

・「実数aが『Rの部分集合Eの触点』である」とは、

　　(a－ε, a＋ε) の幅εをどのように変えたときでも、
　　(a－ε, a＋ε) に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

　　ということ。

・論理記号で表すと、

　「実数aが『Rの部分集合Eの触点』である」とは、

　　∀ε>0 　 (a－ε, a＋ε) ∩E≠φ 
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、(a－ε, a＋ε) とEは、交わる 。

　　　∀ε>0　∃x∈E　　　x∈(a－ε, a＋ε)　
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈E かつ x∈ (a－ε, a＋ε) 　　
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈ (a－ε, a＋ε) ∩ E　

　　ということ。


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触点の定義　：　近傍表現


・「実数aが『点集合Eの触点』である」とは、
　　　　　実数aの任意の近傍に、「集合Eに属す実数」が最低一個以上実在しているということ。

・論理記号で表すと、
　「実数aが『点集合Eの触点』である」とは、
　　　　　∀ε>0 　Uε(a)∩ E≠φ　
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、aのε近傍とEは、交わる 。
【文献】

　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)(p.60);
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題3.3.17コメント(p.109)
　・彌永『集合と位相II』§1.10閉包(p.167)adherent point



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触点の定義　：　外点表現


・「実数aが『点集合Eの触点』である」とは、
　　実数aが「点集合Eの外点」でないこと。

・これは、「実数aが『点集合Eの触点』である」の「近傍を用いた定義」の言い換え。

　　「実数aが『点集合Eの外点』」であるとは、∃ε>0 Uε(a)∩E＝φ　ということだったから、
　　「実数aが『点集合Eの外点』でない」とは、￢（∃ε>0 Uε(a)∩E＝φ） ⇔ ∀ε>0　￢（ Uε(a)∩E＝φ） ⇔ 　∀ε>0　（ Uε(a)∩E≠φ） ということ。
　
　　だから、「実数aが『点集合Eの外点』でない」とは、
　　　　　　「実数aが『点集合Eの触点』である」の「近傍を用いた定義を、外点という概念を使って言い換えただけ
　　　　　ということに。

【文献】

　・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143);
　・松坂『解析入門3』12.1(p.53)

　　　
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触点の定義　：　閉包表現


・「実数aが『点集合Eの触点』である」とは、実数aが「点集合Eの閉包」に属すということ。

【文献】　

・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.1.11(p.104)
・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)：Rnについて。
・松坂『解析入門3』12.1(p.53)内点・境界点から定義
　 　「aが点集合Eの触点である」とは、aが点集合Eの閉包に属すこと、つまり、aが点集合Eの内点または境界点であること。
　　これは、「Eの外点でないこと」「任意のε>0に対して、Uε(a)がけっしてEcに含まれないこと」「∀ε>0 　Uε(a)∩ (E)≠φ」と同等。　

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触点の定義　：　内点・境界点を用いた表現


・「実数aが『点集合Eの触点』である」とは、
　　実数aが「点集合Eの内点」または「点集合Eの境界点」であること。

【文献】　
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)
　・松坂『解析入門3』12.1(p.53)
　 　「aが点集合Eの触点である」とは、aが点集合Eの閉包に属すこと、つまり、aが点集合Eの内点または境界点であること。
　　これは、「Eの外点でないこと」「任意のε>0に対して、Uε(a)がけっしてEcに含まれないこと」「∀ε>0 　Uε(a)∩ (E)≠φ」と同等。　

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触点の定義　：　孤立点・集積点を用いた表現


・「実数aが『点集合Eの触点』である」とは、
　　実数aが『点集合Eの孤立点』または『点集合Eの集積点』であるということ。

【文献】　

・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.1.11(p.104)
・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)
・松坂『解析入門3』12.1(p.53)
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(b)Definition4.10(p.61):距離空間一般について。"limit point"ε近傍をつかって定義。「実数aが集合Eの集積点」とは、∀ε>0 　Uε(a)∩ (E－{a})≠φ,　 "Notice that this is more restrictive than the definition of closure point because now the intersection of E and Uε(a) cannnot be just the point a itself.Points for which this is the case are called isolated points. Hence, closure points are either limit points or isolated points."(p.62)

・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises13(p.132) ：Rのみならず、ノルムベクトル空間全般。
・Lang,『ラング現代微積分学』の6章§5練習問題(p.144)には、第13問は未収録。
Let S be a subset of a normed vector space E.
 An element v of S is called isolated in S if there exists an open ball centered at v such that v is the only element of S in this open ball.
An element x of E is called an accumulation point (or point of accumulation)of S if x belongs to the closure of the set S-{x}.
(a) show that "x is adherent to S" ⇔ "x is either an accumulation point of S or an isolated point of S"


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触点の定義　：　数列を用いた表現



【文献】　
　・彌永『集合と位相II』§1.10閉包(p.167):adherent point
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.4(p.108)：閉包は点列で定義。;問題3.3.14(pp.108-109):ε近傍を用いた定義に一致することを証明。

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