コーシーの判定条件 [xx0−0のとき] の証明

以下のP,Q同値
 P: xx0−0のときf(x)収束する
 Q: 任意の正数εに対して、
         「−δ<xx0<0かつ−δ<x'x0<0ならば| f(x)−f(x') |<ε」
      つまり「 x, x'( x0−δ, x0 )ならば| f(x)−f(x') |<ε」
  を成り立たせる、ある正数δが存在するということ、
  すなわち、 ε>0 δ>0   x, x'x, x'( x0−δ, x0 )| f(x)−f(x') |<ε)
   [杉浦『解析入門pp. 61→53は、片側極限も含む一般的な議論を展開]

 ※広義積分の収束についてのコーシーの判定条件で使われているが、
  これを明示したテキストが見当たらないので、
   1.xx0のときの判定条件をベースに、自力でカスタマイズしつつ、
   2. 杉浦『解析入門pp.61→53の、より一般的な議論から特殊具体的を導く
  ことによって、以下を作成した。よって要確認。


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[PQの証明] Pが成立するという仮定の下では、いつでもQが成立することを示す。

(準備1:仮定を言い換えると…)
Pにおいて「xx00のときのときf(x)収束」とされたが、その際の収束先(左極限)Aとおく。
すなわち、
P: f(x) Axx00
これは、
左極限の定義に従って、以下のように書き下せる。
  「
任意の(どんな)実数εに対して(でも)、
       「 −δ<
xx00 ならば、 | f(x)A|<ε 」
    つまり「 
x( x0−δ, x0 )ならば、 f(x) ( A−ε,A+ε) 」
  を成り立たせる、ある
実数δが存在する。」
  すなわち、
(ε>0)(δ>0) ( x) (0xx0<δ| f(x)A|<ε)
ここで、εは正の実数なら任意であるから、ε/2と置いてもよい。
すると、
   「
任意の実数ε/2に対して、
        「 −δ<
xx00ならば、 | f(x)A|<ε/2 」
     つまり「 
x( x0−δ, x0 )ならばf(x)( A−ε/,A+ε/) 」
    を成り立たせる、ある
実数δが存在する。」
   すなわち、
(ε/>0)(δ>0) ( x) (−δ<xx00| f(x)A|<ε/)  …(1)
となる。
(準備2)
|f(x)f(x') ||f(x)AAf(x') ||f(x)A||Af(x') | ∵絶対値の性質 
                           …
(2)
P
が成立するという仮定のもとでは、(1)より、
  「
任意実数ε/2に対して、
         −δ<
x'x0 0 ならば、 | f(x')A|<ε/2 
     つまり 
x'( x0−δ, x0 )ならばf(x') ( A−ε/,A+ε/) 
   を成り立たせる、ある
実数δが存在する」
   すなわち、
(ε/>0)(δ>0) ( x') (−δ< x'x0 0 | f(x)A|<ε/)
も成り立つ。
すると、これと、もとの
(1)をあわせて、Pが成立するという仮定のもとでは、以下が成立する。
  「
任意実数ε/2に対して、
    
(−δ<xx00かつδ< x'x0 0)ならば(| f(x)A|, <ε/かつ| f(x')A|<ε/) …※
   を成り立たせる、ある
実数δが存在する」
ここで、この※の部分を以下のように、言い換えられる。
  「
任意実数ε/2に対して、
        −δ<
xx00かつ−δ< x'x0 0ならば
        
| f(x)A|+ | f(x')A|=| f(x)A|+ | A f (x') |<ε …※
   を成り立たせる、ある
実数δが存在する」
   すなわち、
   
(ε/>0)(δ>0) ( x, x') (−δ<xx00かつ−δ< x'x0 0| f(x)A|+ | f(x')A|<ε)
さらに、この※の部分を(2)に接続すると、以下のようになる。
   「
任意実数ε/2に対して、
      −δ<
xx00かつ−δ< x'x0 0ならば
       
|f(x)f(x') || f(x)A|+ | A f (x') |<ε …※
   を成り立たせる、ある
実数δが存在する」
これを簡潔にいうと、
  「
任意実数ε(ε/2が任意なのだから、εも任意)に対して、
      −δ<
xx00かつ−δ< x'x0 0ならば|f(x)f(x') |<ε 
   を成り立たせる、ある
実数δが存在する」
   すなわち、
   
(ε>0)(δ>0) ( x, x') ((−δ<xx00かつ−δ< x'x0 0)|f(x)f(x') |<ε)

よって、P: f(x) Axx00)が成立するという仮定の下ではいつでも、結論Qが成立することが示された。


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[Q Pの証明]

Q(ε>0)(δ>0)(x, x'( x0−δ, x0 )|f(x)f(x') |<ε)」が成立するという仮定の下では、
いつでも
Pxx00のときf(x)収束」が成立することを示す。
(方針)
f(x) Axx00)」と「1.全ての項がx0より小、かつ、2.x0 収束する2点を満たす限りで任意の数列 { xn }をとると、そのfによる像の数列{ f ( xn ) }A(n→∞)」が同値であるとの定理より、
Pf(x) Axx00)」は、
P'1.全ての自然数n1についてxnx0かつ、2.x0 収束する2点を満たす限りで任意の数列 { xn }に対して、{ f ( xn ) }A(n→∞)」と言い換え可能。
したがって、
Qが成立するという仮定のもとで、いつでもP'が成立することを示せば、
Qが成立するという仮定のもとで、いつでもPが成立することを示したことになる。 
(仮定の確認)
Qが成立するという仮定のもとでは、
  任意の(どんな)
実数εに対して(でも)、
        「 −δ<
xx00かつ−δ<x'x00ならば|f(x)f(x') |<ε 」
     つまり「 
x, x'( x0−δ, x0 )ならば|f(x)f(x') |<ε 」…※
  を成り立たせる、ある正数δが存在する
  すなわち、
(ε>0)(δ>0)(x, x'( x0−δ, x0 )|f(x)f(x') |<ε)    …(1)
(準備)
{
xn }を、
「全ての自然数
n1についてxnx0」かつ「x0 収束する」の2点を満たす限りで任意の数列とする。…(2)
数列収束の厳密な定義にしたがって、(2)を書き下すと、
  
任意の(どんな小さな)実数ε’に対して(でも)、
     「
nNならば、 0| xn x0|= x0xn<ε’」(0| xn x0|= x0xn(2)xnx0から)
     簡単にして「nNならば、 −ε'xn x00
     つまり「
nNならばxn( x0−ε' , x0)
  を満たす、ある(十分大きな)
自然数Nが存在する。」
  すなわち
(ε’>0)(NN)(nN)( nN ( x0−ε' , x0))     …(3)
となる。
   * * *
(3)は、「ε'任意の正の実数に対しても…を満たすNが存在する」というのだから、
ε
'を「Qが成立するという仮定のもとで(1)によって存在が保証された、※を成立させるδ」に代えても、「…を満たすNが存在する」ことにかわりない。
よって、
「全ての自然数
n1についてx0xn」かつ「x0 収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }について、
    「
nNならば、 −δ<xn x00つまりxn( x0−δ, x0) 」
    を満たす、ある(十分大きな)
自然数Nが存在する
   すなわち
(NN)(nN)(  nN xn( x0−δ, x0) )     …(4) 
が成立する。
   * * *
ゆえに、
数列 { xn }では、(4)で決まったN番目以上の任意の2xl ,xm( l,mN)に対して、
  −δ<
xl x00 かつ −δ<xm x00 つまり、xl ,xm( x0−δ, x0)
   すなわち
(NN) (l,m N)( l,mN xl ,xm( x0−δ, x0) ) …(5)
が成立する。
ただし、ここでのδは「
Qが成立するという仮定のもとで(1)によって存在が保証された、※を成立させるδ」であることに注意。
(本題)
「全ての自然数n1についてxnx0」かつ「x0 収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }の、
(4)で決まったN番目以上の任意の2xl ,xmは、(5)より、
(1)における「−δ<xx00かつ−δ<x'x00ならば」つまり「x, x'( x0−δ, x0) ならば」を満たすx, x'である。
ゆえに、
Qが成立するという仮定のもとでは、(1)より、
    
|f( xl )f( xm ) |<ε  ( l,mN ) 
がいつでも成り立つことになる。
これは、
コーシー列の定義に他ならない。数列{ f(xn ) }コーシー列である。
つまり、
Qが成立するという仮定のもとでは、つねに、
  「全ての自然数
n1についてxnx0」かつ「x0 収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }
  にたいして、その
fによる像の数列{ f(xn ) }コーシー列となる    …(6)
のだ。
   * * *
(6)定理「数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であること。」により、
  
Qが成立するという仮定のもとでは、つねに、
  「全ての自然数
n1についてxnx0」かつ「x0 収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }
  にたいして、その
fによる像の数列{ f(xn ) }は収束する。…(7)
と言いかえられる。
   
* * *
さらに、
(7)
   「f(x) Axx00)」と
   「
1.全ての項がx0より小、かつ、2.x0 収束する2点を満たす限りで任意の数列 { xn }をとると、
   その
fによる像の数列{ f ( xn ) }A(n→∞)
   が
同値である
との
定理により、
  
Qが成立するという仮定のもとでは、つねに、xx00のときf(x)収束する
と言いかえられる。
以上、
Q:「任意の正数εに対して
      −δ<
xx00かつ−δ<x'x00ならば、 |f(x)f(x') |<ε
   を成立させる、正数δが存在する。」
が成り立つという仮定のもとでは、
つねに、
「全ての自然数
n1についてxnx0」かつ「x0 収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }にたいして、数列{ f(xn ) }は収束する
すなわち、
xx00のときf(x)収束することを示した。

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reference

 『岩波数学辞典(第三版)』.項目166(pp436).
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用 高等学校 微分・積分 新訂版』啓林館、pp.28-33.
小平邦彦『解析入門I (軽装版) 』岩波書店、2003年、pp.78-9。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.20-23.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p.95.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.27-28.
杉浦光夫『解析入門』東京大学出版会、1980年、pp.57-63.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.32-36;42-44.
住友洸『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年、p.124。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984. pp.145-147.
Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,pp. 228-231; 238-239.
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,pp.135-143.