コーシーの判定条件 [x→x0＋0のとき]

以下の命題P,Qは同値である。
命題P: x→x0＋0のときf(x)が収束する
命題Q: 任意の正数εに対して、
　　　　　　　　　「0＜x−x0＜δかつ0＜x'−x0＜δならば、|f(x)−f(x') |＜ε」
　　　　　　つまり「x, x'∈( x0, x0+δ)ならば、| f(x)−f(x') |＜ε」
　　を成り立たせる、ある正数δが存在するということ、
　　すなわち、∀ε>0 ∃δ>0 ∀ x, x' ( x, x'∈( x0, x0+δ)⇒| f(x)−f(x') |＜ε)


※杉浦『解析入門』pp.61→53は、
　片側極限も含む一般的な議論を展開.
※広義積分の収束についてのコーシーの判定条件で使われているが、
　これを明示したテキストが見当たらないので、
　1. x→x0のときの判定条件をベースに、自力でカスタマイズしつつ、
　2. 杉浦『解析入門』pp.61-53の、一般的な議論から特殊具体例を導く
　ことによって、以下を作成した。よって要確認。
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P⇒Qの証明


Pが成立するという仮定の下では、いつでもQが成立することを示す。
（準備1：仮定を言い換えると…）
Pにおいて「x→x0＋0のときのときf(x)が収束」とされたが、その際の収束先(右極限)をAとおく。
すなわち、
P: f(x) →A（x→x0＋0）
これは、右極限の定義に従って、以下のように書き下せる。
　　「任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　「　0＜x−x0＜δならば、　| f(x)−A|＜ε　」
　　　　つまり「　x∈( x0 , x0+δ)ならば、　f(x) ∈( A−ε,A＋ε)　」
　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。」
　　すなわち、(∀ε>0)(∃δ>0) (∀ x) (0＜x−x0＜δ⇒| f(x)−A|＜ε)
ここで、εは正の実数なら任意であるから、ε/２と置いてもよい。
すると、
　　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　　　「　0＜x−x0＜δならば、　| f(x)−A|＜ε/２　」
　　　　　つまり「　x∈( x0 , x0+δ)ならば、f(x)∈( A−ε/２,A＋ε/２)　」
　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。」
　　　すなわち、(∀ε/２>0)(∃δ>0) (∀ x) (0＜x−x0＜δ⇒| f(x)−A|＜ε/２) 　…(1)
となる。
(準備2)
|f(x)−f(x') |＝|f(x)−A＋A−f(x') |≦|f(x)−A|＋|A−f(x') |　∵絶対値の性質　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(2)
 (本題)
Pが成立するという仮定のもとでは、(1)より、
　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　　　　0＜ x'−x0 ＜δならば、　| f(x')−A|＜ε/２　
　　　　　つまり　x'∈( x0 , x0+δ)ならば、f(x') ∈( A−ε/２,A＋ε/２)　
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　　すなわち、(∀ε/２>0)(∃δ>0) (∀ x') (0＜x'−x0＜δ⇒| f(x)−A|＜ε/２)
も成り立つ。
すると、これと、もとの(1)をあわせて、Pが成立するという仮定のもとでは、以下が成立する。
　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　(0＜ x−x0 ＜δかつ0＜ x'−x0 ＜δ)ならば、(| f(x)−A|, ＜ε/２かつ| f(x')−A|＜ε/２) …※
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
ここで、この※の部分を以下のように、言い換えられる。
　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　　　0＜x−x0 ＜δかつ0＜ x'−x0 ＜δならば、
　　　　　　　　| f(x)−A|+ | f(x')−A|=| f(x)−A|+ | A− f (x') |＜ε　…※
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　　すなわち、
　　　(∀ε/２>0)(∃δ>0) (∀ x, x') (0＜x−x0 ＜δかつ0＜x'−x0＜δ⇒| f(x)−A|+ | f(x')−A|＜ε)
さらに、この※の部分を(2)に接続すると、以下のようになる。
　　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　0＜ x−x0 ＜δかつ0＜ x'−x0 ＜δならば、
　　　　　　　|f(x)−f(x') |≦| f(x)−A|+ | A− f (x') |＜ε　…※
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
これを簡潔にいうと、
　　「任意の正の実数ε(ε/２が任意なのだから、εも任意)に対して、
　　　　　　0＜ x−x0 ＜δかつ0＜ x'−x0 ＜δならば、|f(x)−f(x') |＜ε　
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　　すなわち、
　　　(∀ε>0)(∃δ>0) (∀ x, x') ((0＜x−x0 ＜δかつ0＜x'−x0＜δ)⇒|f(x)−f(x') |＜ε)
よって、P: f(x) →A（x→x0＋0）が成立するという仮定の下ではいつでも、結論Qが成立することが示された。

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Q ⇒ Pの証明


Q「(∀ε>0)(∃δ>0)(x, x'∈( x0 , x0+δ)⇒|f(x)−f(x') |＜ε) 」が成立するという仮定の下では、
いつでもP「f(x) →A（x→x0＋0）」が成立することを示す。
（方針）
「f(x) →A（x→x0＋0）」と「1.全ての項がx0より大、かつ、2.x0 に収束するの2点を満たす限りで任意の数列 { xn }をとると、そのfによる像の数列{ f ( xn ) }→A(n→∞)」が同値であるとの定理より、
P「f(x) →A（x→x0＋0）」は、
P'「1.全ての自然数n≧1についてx0＜xn かつ、2.x0 に収束するの2点を満たす限りで任意の数列 { xn }に対して、{ f ( xn ) }→A(n→∞)」と言い換え可能。
したがって、Qが成立するという仮定のもとで、いつでもP'が成立することを示せば、
Qが成立するという仮定のもとで、いつでもPが成立することを示したことになる。　
(仮定の確認)
Qが成立するという仮定のもとでは、
　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　　「　0＜x−x0＜δかつ0＜x'−x0＜δならば、|f(x)−f(x') |＜ε　」
　　　　　つまり「　x, x'∈( x0 , x0+δ)ならば、|f(x)−f(x') |＜ε　」…※
　　を成り立たせる、ある正数δが存在する
　　すなわち、(∀ε>0)(∃δ>0)(x, x'∈( x0 , x0+δ)⇒|f(x)−f(x') |＜ε) 　　　…(1)
（準備）
{ xn }を、
「全ての自然数n≧1についてx0＜xn」かつ「x0 に収束する」の2点を満たす限りで任意の数列とする。…(2)
数列の収束の厳密な定義にしたがって、(2)を書き下すと、
　　任意の（どんな小さな）正の実数ε’に対して（でも）、
　　　　　「n≧Nならば、　0＜| xn −x0|= xn −x0＜ε’」(∵0＜| xn −x0|= xn −x0は(2)のx0＜xnから)
　　　　　つまり「n≧Nならば、xn∈ ( x0 , x0+ε' ) 」
　　を満たす、ある（十分大きな）自然数Nが存在する。」
　　すなわち(∀ε’>0)(∃N∈N)(∀n∈N)( n≧N⇒ ( x0 , x0+ε' ) ) 　　　　…(3)
となる。
　　　＊　＊　＊
(3)は、「ε'は任意の正の実数に対しても…を満たすNが存在する」というのだから、
ε'を「Qが成立するという仮定のもとで(1)によって存在が保証された、※を成立させるδ」に代えても、「…を満たすNが存在する」ことにかわりない。
よって、
「全ての自然数n≧1についてx0＜xn」かつ「x0 に収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }について、
　　　　「n≧Nならば、　0＜xn −x0＜δ つまりxn∈ ( x0 , x0+δ)　」
　　　　を満たす、ある（十分大きな）自然数Nが存在する
　　　すなわち (∃N∈N)(∀n∈N)( n≧N⇒ xn∈ ( x0 , x0+δ)) 　　　　…(4)　
が成立する。
　　　＊　＊　＊
ゆえに、数列 { xn }では、(4)で決まったN番目以上の任意の2項xl ,xm( l,m≧N)に対して、
　　0＜xl −x0＜δ　かつ　0＜xm −x0＜δ　つまり、xl ,xm∈( x0 , x0+δ)
　　　すなわち (∃N∈N) (∀l,m ∈N)( l,m≧N⇒ xl ,xm∈( x0 , x0+δ') )　…(5)
が成立する。
ただし、ここでのδは「Qが成立するという仮定のもとで(1)によって存在が保証された、※を成立させるδ」であることに注意。
(本題)
「全ての自然数n≧1についてx0＜xn」かつ「x0 に収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }の、
(4)で決まったN番目以上の任意の2項xl ,xmは、(5)より、
(1)における「0＜x−x0＜δかつ0＜x'−x0＜δならば」つまり「x, x'∈( x0 , x0+δ)ならば」を満たすx, x'である。
ゆえに、Qが成立するという仮定のもとでは、(1)より、
　　　　|f( xl )−f( xm ) |＜ε　　(　l,m≧N　)　
がいつでも成り立つことになる。
これは、コーシー列の定義に他ならない。数列{ f(xn ) }はコーシー列である。
つまり、
Qが成立するという仮定のもとでは、つねに、
　　「全ての自然数n≧1についてx0＜xn」かつ「x0 に収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }
　　にたいして、そのfによる像の数列{ f(xn ) }はコーシー列となる　　　　…(6)
のだ。
　　　＊　＊　＊
(6)は定理「数列が収束するための必要十分条件は、がコーシー列であること。」により、
　　Qが成立するという仮定のもとでは、つねに、
　　「全ての自然数n≧1についてx0＜xn」かつ「x0 に収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }
　　にたいして、そのfによる像の数列{ f(xn ) }は収束する。…(7)
と言いかえられる。
　　　＊　＊　＊
さらに、
(7)は
　　　「f(x) →A（x→x0＋0）」と
　　　「1.全ての項がx0より大、かつ、2.x0 に収束するの2点を満たす限りで任意の数列 { xn }をとると、
　　　　　そのfによる像の数列{ f ( xn ) }→A (n→∞) 」
　　　が同値である
との定理により、
　　Qが成立するという仮定のもとでは、つねに、x→x0＋0のときf(x)が収束する
と言いかえられる。
以上、
Q:「任意の正数εに対して
　　　　　　0＜x−x0＜δ、かつ、0＜x'−x0＜δならば、　|f(x)−f(x') |＜ε
　　　を成立させる、正数δが存在する。」
が成り立つという仮定のもとでは、
つねに、
「全ての自然数n≧1についてx0＜xn」かつ「x0 に収束する」の2点を満たす限りで任意の数列{ xn }にたいして、数列{ f(xn ) }は収束する
 すなわち、x→x0＋0のときf(x)が収束することを示した。

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（reference）

『岩波数学辞典（第三版）』.項目166(pp436).
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.28-33.
小平邦彦『解析入門I (軽装版) 』岩波書店、2003年、pp.78-9。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.20-23.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p.95.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.27-28.
杉浦光夫『解析入門』東京大学出版会、1980年、pp.57-63.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.32-36;42-44.
住友洸『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年、p.124。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984. pp.145-147.
Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,pp. 228-231; 238-239.
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,pp.135-143. →戻る