定理:コーシーの判定条件の証明[
x
→
x
0
のとき]
x
→
x
0
のとき
f(x)
が
収束
するための必要十分条件は、
任意の(どんな)正の
実数
εに対して(でも)、
「 0<
|
x
−
x
0
|
<δかつ0<
|
x
'−
x
0
|
<δ
ならば
、
|
f(x)
−
f(x')
|
<ε 」
つまり「
x, x'
∈
(
x
0
−δ,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+δ
)
ならば
、
|
f(x)−f(x')
|
<ε 」
を成り立たせる、ある正数δが存在するということ、
すなわち、
∀
ε>0
∃
δ>0
x,y
∈
U
δ
(
a
)
∩
(
D
−
{
a
})
⇒
|
f(x)−f(y)
|
<ε
(
D
:
f
の定義域、
U
δ
(
a
):
a
のδ−
近傍
)
→
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トピック一覧:1変数関数の極限の性質
]
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総目次
証明
【文献】
・[吹田新保『
理工系の微分積分学
』p.20;
・小平『
解析入門I
』78-9.;杉浦『
解析入門
』61-62
・住友『
大学一年生の微積分学
』124
・Fischer,
Intermediate Real Analysi
s,238-239; Lang,
Undergraduate Analysis
, 140-141
【必要性の証明】
仮定:
x
→
x
0
のとき
f
(
x
)
が
収束
。その
極限
を
A
とする。
結論:
「
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε 」
つまり「
x
,
x'
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε 」
を成り立たせる、ある正数δが存在するということ
この仮定からこの結論を導く証明:
(準備
1
:仮定を言い換えると…)
仮定「
f
(
x
)
→
A
(
x
→
x
0
)」とは、
その定義
に従えば、すなわち、
任意の(どんな)
正
の
実数
εに対して(でも)、
「
0
<
|
x
−
x
0
|
<δ
ならば、
|
f
(
x
)
−
A
|
<ε 」
つまり「
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ならば、
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
,A
+ε
)
」
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する。
ということ。
ここで、εは正の実数なら任意であるから、ε
/
2と置いてもよい。
すると、
任意の
正
の
実数
ε
/
2に対して、
「
0
<
|
x
−
x
0
|
<δ
ならば、
|
f
(
x
)
−
A
|
<ε
/
2 」
つまり「
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ならば、
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
/
2
,A
+ε
/
2
)
」
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する。
となる。 …@
(
準備
2)
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
=
|
f
(
x
)
−
A
+
A
−
f
(
x'
)
|
≦
|
f
(
x
)
−
A
|
+
|
A
−
f
(
x'
)
|
∵
絶対値の性質
…A
(
本題
)
@より、
「任意の
正
の
実数
ε
/
2に対して、
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δ
ならば、
|
f
(
x'
)
−
A
|
<ε
/
2
つまり
x'
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ならば、
f
(
x'
)
∈
(
A
−ε
/
2
,A
+ε
/
2
)
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する」
と言っても良い。
すると、これと@をあわせて、以下のようにいえる。
「任意の
正
の
実数
ε
/
2に対して、
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
A
|
,
|
f
(
x'
)
−
A
|
<ε
/
2 …※
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する」
さらに、この※の部分を以下のように、言い換えられる。
「任意の
正
の
実数
ε
/
2に対して、
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
A
|
+
|
f
(
x'
)
−
A
|
=
|
f
(
x
)
−
A
|
+
|
A
−
f
(
x'
)
|
<ε …※
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する」
さらに、この※の部分をAに接続すると、以下のようになる。
「任意の
正
の
実数
ε
/
2に対して、
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
≦
|
f
(
x
)
−
A
|
+
|
A
−
f
(
x'
)
|
<ε …※
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する」
これを簡潔にいうと、
「任意の
正
の
実数
εに対して、
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε …※
を成り立たせる、ある
正
の
実数
δが存在する」
よって、「
x
→
x
0
のとき
f
(
x
)
が
収束
する」という仮定の下で、
任意の正数εに対して、
「
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε 」
つまり「
x
,
x'
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε 」
を成り立たせる、ある正数δが存在するということが示された。
【十分性の証明】
仮定:任意の(どんな)正の
実数
εに対して(でも)、
「0<
|
x
−
x
0
|
<δかつ0<
|
x
'−
x
0
|
<δならば、
|
f(x)
−
f(x')
|
<ε 」
つまり「
x,x'
∈
(
x
0
−δ,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+δ
)
ならば、
|
f(x)−f(x')
|
<ε 」
を成り立たせる、ある正数δが存在するということ、
結論:
x
→
x
0
のとき
f(x)
が
収束
この仮定からこの結論を導く証明:
(方針)
定理
:
「
x
→
x
0
のとき、
f
(
x
)
が
A
に
収束する
ための必要十分条件は
x
0
に
収束する
どんな
数列
{
x
n
}(ただし、
x
n
≠
x
0
)に対しても、
数列
{
f
(
x
n
) }
が
A
に
収束する
こと」
だから、
結論「
x
→
x
0
のとき
f
(
x
)
が
収束
」を、
「
x
0
に
収束する
どんな
数列
{
x
n
}(
x
n
≠
x
0
)に対しても、
数列
{
f
(
x
n
) }
が
収束する
」
と言い換えてよい。
したがって、仮定のもとで、
「
x
0
に
収束する
どんな
数列
{
x
n
}(
x
n
≠
x
0
)に対しても、
数列
{
f
(
x
n
) }
が
収束する
」
ことを示せば、証明したことになる。
(
仮定の確認
)
仮定:任意の(どんな)
正
の
実数
εに対して(でも)、
「
0
<
|
x
−
x
0
|
<δかつ
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε 」
つまり「
x
,
x'
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε 」
を成り立たせる、ある正数δが存在する …
(1)
(1)
を満たす正数δをとる。
以下の説明では、δは、
(1)
を満たすδのなかの一つの値を意味するものとする。
(準備)
{
x
n
}を、
x
0
に
収束する
任意の
数列
(ただし、
x
n
≠
x
0
)とする。 …
(2)
数列
の
収束
の厳密な定義にしたがって、
(2)
を書き下すと、
「任意の(どんな小さな)
正
の
実数
ε’に対して(でも)、
n
≧
N
ならば、
0
<
|
x
n
−
x
0
|
<ε’
つまり、
n
≧
N
ならば、
x
n
∈
(
x
0
−ε’
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
ε’
)
を満たす、ある(十分大きな)
自然数
N
が存在する。」 …
(3)
*
0
<
|
x
n
−
x
0
|
は
(2)
の「ただし、
x
n
≠
x
0
」から。
となる。
* * *
ε
'
は任意の正の実数でよいのだから、ε
'
を
(1)
で決まったδとしても、
(3)
は成立する。
すなわち、
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(ただし、
x
n
≠
x
0
)について、
「
(1)
で決まったδに対して、
n
≧
N
ならば、
0
<
|
x
n
−
x
0
|
<δ
つまり、
n
≧
N
ならば、
x
n
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
を満たす、ある(十分大きな)
自然数
N
が存在する」 …
(4)
が成立する。
* * *
ゆえに、
数列
{
x
n
}では、
(4)
で決まった
N
番目以上の任意の
2
項
x
l
,
x
m
(
l,m
≧
N)
に対して、
0
<
|
x
l
−
x
0
|
<δ
,
0
<
|
x
m
−
x
0
|
<δ …
(5)
つまり、
x
l
,
x
m
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
ただし、δは
(1)
で決まったδ。
が成立する。
(
本題
)
(5)
より、
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(ただし
x
n
≠
x
0
)の、
(4)
で決まった
N
番目以上の任意の
2
項
x
l
,
x
m
(
l,m
≧
N)
に対して、
(1)
における
(
)
内の条件が満たされている。
ゆえに、
(1)
より、
|
f
(
x
l
)
−
f
(
x
m
)
|
<ε
(
l,m
≧
N
)
これは、
コーシー列
の定義に他ならない。数列{
f
(
x
n
) }
は
コーシー列
である。
文脈も含めて正確に書けば、
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(ただし
x
n
≠
x
0
)にたいして、
(
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}を関数
f
によって変換することでつくった
)
数列{
f
(
x
n
) }
は
コーシー列
である。 …
(6)
* * *
(6):
「
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(
x
n
≠
x
0
)にたいして、数列{
f
(
x
n
) }
は
コーシー列
である」は
定理
「数列
が収束するための必要十分条件は、
が
コーシー列
であること。」
により、
「
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(
x
n
≠
x
0
)にたいして、数列{
f
(
x
n
) }
は収束する。」…
(7)
と言いかえられる。
* * *
さらに、
(7):
「
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(
x
n
≠
x
0
)にたいして、数列{
f
(
x
n
) }
は収束する。」は
定理
:
「
x
→
x
0
のとき、
f
(
x
)
が
A
に
収束する
ための必要十分条件は
x
0
に
収束する
どんな
数列
{
x
n
}(ただし、
x
n
≠
x
0
)に対しても、
数列
{
f
(
x
n
) }
が
A
に
収束する
ことである」
により、
「
x
→
x
0
のとき
f
(
x
)
が
収束
」と言いかえられる。
以上、
仮定「任意の正数εに対して
0
<
|
x
−
x
0
|
<δ、かつ、
0
<
|
x'
−
x
0
|
<δならば、
|
f
(
x
)
−
f
(
x'
)
|
<ε
を成立させる、正数δが存在する。」
が成り立つならば、
「
x
0
に
収束する
任意の
数列
{
x
n
}(
x
n
≠
x
0
)にたいして、数列{
f
(
x
n
) }
は収束する」
すなわち、
「
x
→
x
0
のとき
f(x)
が
収束
する」
ことを示した。
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トピック一覧:1変数関数の極限の性質
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総目次
(
reference
)
『
岩波数学辞典(第三版)
』.項目166(pp436).
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用 高等学校 微分・積分 新訂版』啓林館、pp.28-33.
小平邦彦『
解析入門I
(軽装版) 』岩波書店、2003年、pp.
78
-9。
吹田・新保『
理工系の微分積分学
』学術図書出版社、1987年、pp.20-23.
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、p.
95
.
和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分
』岩波書店、1988年、pp.27-28.
杉浦光夫『
解析入門
』東京大学出版会、1980年、pp.57-63.
高橋一『
経済学とファイナンスのための数学
』新世社、1999年、pp.32-36;42-44.
住友洸『
大学一年生の微積分学
』現代数学社、1987年、p.124。
Chiang,
Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition
, McGraw Hill,1984. pp.145-147.
Fischer,Emanuel.
Intermediate Real Analysis
(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,pp.
228
-
231
;
238
-
239
.
Lang,Serge.
Undergraduate Analysis
(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,pp.
135
-
143
.
→
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