定理：コーシーの判定条件の証明[x→ x0のとき]


  x→x0のときf(x)が収束するための必要十分条件は、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　「　0＜|x－x0|＜δかつ0＜|x'－x0|＜δならば、　　|f(x)－f(x') |＜ε　」
　つまり「　x, x'∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、　　|f(x)－f(x') |＜ε　」
を成り立たせる、ある正数δが存在するということ、
すなわち、
　∀ε>0∃δ>0　x,y∈Uδ(a)∩(D－{a})⇒|f(x)－f(y)|<ε
　　　　　　　　　(D: fの定義域、Uδ(a):aのδ－近傍)　

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証明

【文献】
　・[吹田新保『理工系の微分積分学』p.20;
　・小平『解析入門I』78-9.;杉浦『解析入門』61-62
　・住友『大学一年生の微積分学』124
　・Fischer,Intermediate Real Analysis,238-239; Lang, Undergraduate Analysis, 140-141
　
【必要性の証明】
　仮定：x→x0のときf(x)が収束。その極限をAとする。　　
　結論：
　　　　　　「　0＜|x－x0|＜δかつ0＜|x'－x0|＜δならば、|f(x)－f(x') |＜ε　」
　　　つまり「　x, x'∈( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、　　|f(x)－f(x') |＜ε　」
　　を成り立たせる、ある正数δが存在するということ
　この仮定からこの結論を導く証明：
　（準備1：仮定を言い換えると…）
　　仮定「f(x)→A（x→x0）」とは、その定義に従えば、すなわち、　　
　　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　「　0＜| x－x0 |＜δ ならば、　| f(x)－A|＜ε　」
　　　　つまり「　x∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、　f(x) ∈(A－ε,A＋ε)　」
　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。
　　ということ。
　　ここで、εは正の実数なら任意であるから、ε/２と置いてもよい。
　　すると、
　　　　任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　　　「　0＜| x－x0 |＜δ ならば、　| f(x)－A|＜ε/２　」
　　　　　つまり「　x∈( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、f(x)∈( A－ε/２,A＋ε/２)　」
　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。
　　　となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…①
　 (準備2)
　　|f(x)－f(x') |＝|f(x)－A＋A－f(x') |　
　　　　　　　　≦|f(x)－A|＋|A－f(x') |　∵絶対値の性質　
　　 　　　　　　…②
　 (本題)
　　①より、
　　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　　　　0＜| x'－x0 |＜δ ならば、　| f(x')－A|＜ε/２　
　　　　　つまり　x'∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、f(x') ∈ ( A－ε/２,A＋ε/２)　
　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　と言っても良い。
　　すると、これと①をあわせて、以下のようにいえる。
　　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　0＜| x－x0 |＜δかつ0＜| x'－x0 |＜δならば、
　　　　　　　　　　| f(x)－A|, | f(x')－A|＜ε/２　　　　　…※
　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　さらに、この※の部分を以下のように、言い換えられる。
　　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　0＜| x－x0 |＜δかつ0＜| x'－x0 |＜δならば、
　　　　　　　| f(x)－A|+ | f(x')－A|=| f(x)－A|+ | A－ f (x') |＜ε　…※
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　さらに、この※の部分を②に接続すると、以下のようになる。
　　　「任意の正の実数ε/２に対して、
　　　　　　0＜| x－x0 |＜δかつ0＜| x'－x0 |＜δならば、
　　　　　　　|f(x)－f(x') |≦| f(x)－A|+ | A－ f (x') |＜ε　…※
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　これを簡潔にいうと、
　　　「任意の正の実数εに対して、
　　　　　　0＜| x－x0 |＜δかつ0＜| x'－x0 |＜δならば、
　　　　　　　|f(x)－f(x') |＜ε　…※
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　よって、「x→x0のときf(x)が収束する」という仮定の下で、
　　　　　任意の正数εに対して、
　　　　「　0＜|x－x0|＜δかつ0＜|x'－x0|＜δならば、　　|f(x)－f(x') |＜ε　」
　　　つまり「　x, x'∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、　　|f(x)－f(x') |＜ε　」
を成り立たせる、ある正数δが存在するということが示された。
【十分性の証明】


　仮定：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、

　　　　　　　　　「0＜|x－x0|＜δかつ0＜|x'－x0|＜δならば、　| f(x)－f(x') |＜ε　」
　　　　　　つまり「 x,x'∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、　　　| f(x)－f(x') |＜ε　」

　　　　を成り立たせる、ある正数δが存在するということ、

　結論：x→x0のときf(x)が収束　

　この仮定からこの結論を導く証明：
（方針）
　定理:「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、数列 { f ( xn ) }がAに収束すること」
　だから、
　結論「x→x0のときf(x)が収束」を、
　「x0 に収束するどんな数列 { xn }（xn ≠ x0 ）に対しても、数列 { f ( xn ) }が収束する」
　と言い換えてよい。　
　したがって、仮定のもとで、
　「x0 に収束するどんな数列 { xn }（xn ≠ x0 ）に対しても、数列 { f ( xn ) }が収束する」
　ことを示せば、証明したことになる。　
(仮定の確認)
　仮定：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　　　「0＜|x－x0|＜δかつ0＜|x'－x0|＜δならば、　|f(x)－f(x') |＜ε　」
　　　　　　つまり「x, x'∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば、　　　|f(x)－f(x') |＜ε　」
　　　　を成り立たせる、ある正数δが存在する　　　…(1)
　 (1) を満たす正数δをとる。
　以下の説明では、δは、(1)を満たすδのなかの一つの値を意味するものとする。
（準備）
　{ xn }を、 x0 に収束する任意の数列（ただし、xn ≠ x0 ）とする。　　　…(2)　
　数列の収束の厳密な定義にしたがって、(2)を書き下すと、
　「任意の（どんな小さな）正の実数ε’に対して（でも）、
　　　　　　　　　n≧Nならば、　0＜| xn －x0|＜ε’　
　　　　　つまり、n≧Nならば、xn∈ ( x0－ε’, x0)∪( x0 , x0+ε’ )　
　　を満たす、ある（十分大きな）自然数Nが存在する。」　　　…(3)　
　　　　　　　　　　　　　　　　＊　0＜| xn －x0|は(2)の「ただし、xn ≠ x0」から。
　となる。
　　　＊　＊　＊
　ε'は任意の正の実数でよいのだから、ε'を(1)で決まったδとしても、(3)は成立する。
　すなわち、x0 に収束する任意の数列{ xn }（ただし、xn ≠ x0 ）について、
　「(1)で決まったδに対して、
　　　　　　　　n≧Nならば、　0＜| xn －x0|＜δ
　　　　つまり、n≧Nならば、xn∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)　　　　
　　を満たす、ある（十分大きな）自然数Nが存在する」　　　…(4)　
　が成立する。
　　　＊　＊　＊
　ゆえに、数列 { xn }では、(4)で決まったN番目以上の任意の2項xl ,xm( l,m≧N)に対して、　
　　　　　　　0＜| xl －x0|＜δ,　0＜| xm －x0|＜δ　　　　　　　　…(5)
　　　　つまり、xl ,xm∈ ( x0－δ, x0)∪( x0 , x0+δ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、δは(1)で決まったδ。
　が成立する。
(本題)
　(5)より、x0 に収束する任意の数列{ xn }（ただしxn ≠ x0 ）の、
　(4)で決まったN番目以上の任意の2項xl ,xm( l,m≧N)に対して、
　(1)における(　)内の条件が満たされている。
　ゆえに、(1)より、
　　　　|f( xl )－f( xm ) |＜ε　　(　l,m≧N　)　
　これは、コーシー列の定義に他ならない。数列{ f(xn ) }はコーシー列である。
　文脈も含めて正確に書けば、
　　　　x0 に収束する任意の数列{ xn }（ただしxn ≠ x0 ）にたいして、
　　　　(x0 に収束する任意の数列{ xn }を関数fによって変換することでつくった)
　　　　数列{ f(xn ) }はコーシー列である。　　　　…(6)
　　　＊　＊　＊
　(6):「x0 に収束する任意の数列{ xn }（xn ≠ x0 ）にたいして、数列{ f(xn ) }はコーシー列である」は
　　定理「数列が収束するための必要十分条件は、がコーシー列であること。」
　　により、
　「x0 に収束する任意の数列{ xn }（xn ≠ x0 ）にたいして、数列{ f(xn ) }は収束する。」…(7)
　と言いかえられる。
　　　＊　＊　＊
　さらに、
　(7):「x0 に収束する任意の数列{ xn }（xn ≠ x0 ）にたいして、数列{ f(xn ) }は収束する。」は
　　　　定理:「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　　　　により、
　「x→x0のときf(x)が収束」と言いかえられる。
以上、
仮定「任意の正数εに対して
　　　　　　0＜|x－x0|＜δ、かつ、0＜|x'－x0|＜δならば、　|f(x)－f(x') |＜ε
　　　を成立させる、正数δが存在する。」
が成り立つならば、
「x0 に収束する任意の数列{ xn }（xn ≠ x0 ）にたいして、数列{ f(xn ) }は収束する」
すなわち、
「x→x0のときf(x)が収束する」
ことを示した。

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（reference）

『岩波数学辞典（第三版）』.項目166(pp436).
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.28-33.
小平邦彦『解析入門I (軽装版) 』岩波書店、2003年、pp.78-9。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.20-23.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p.95.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.27-28.
杉浦光夫『解析入門』東京大学出版会、1980年、pp.57-63.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.32-36;42-44.
住友洸『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年、p.124。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984. pp.145-147.
Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,pp. 228-231; 238-239.
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,pp.135-143. 　

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