1変数連続関数の具体例　[数学についてのwebノート]

1変数連続関数の具体例　―　トピック一覧　　[数学についてのwebノート]
	・定数・ f(x)＝ x　・f(x)＝ xⁿ ・xの多項式で定義される関数・有理関数
	※連続性定義関連ページ：1変数関数の連続性/2変数関数の連続性/n変数関数の連続性/ベクトル値関数の連続性　 ※関連ページ：2変数連続関数の具体例/n変数連続関数の具体例　　　　 →総目次

1変数関数 f(x)＝c　は、R上の連続関数。
定理	1変数関数 f(x)＝ c　(cは定数)は、R上で連続。
証明	（証明略）

1変数関数 f(x)＝ x　は、R上の連続関数。
定理	1変数関数 f(x)＝ x　は、R上で連続。	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81)
証明	（証明略）	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81)

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1変数関数 f(x)＝ x², f(x)＝ x³,…, xⁿ (nは自然数)は、R上の連続関数。
定理	任意の自然数nについて、　1変数関数 f(x)＝ xⁿ　は、R上で連続。	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81) ・和達『微分積分』2-5[例3](p.35)
証明	(1) 1変数関数 f₁(x)＝xはR上連続（∵）であって、連続関数の積も連続であるから、　　　1変数関数 f₂(x)＝xx＝x² は　R上連続　となる。 (2) 1変数関数 f₂(x)＝x² はR上連続 (∵前項)であって、連続関数の積も連続であるから、　　　1変数関数 f₃(x)＝x²x＝x³ は　R上連続　となる。 (3) 1変数関数 f₃(x)＝x³ はR上連続 (∵前項)であって、連続関数の積も連続であるから、　　　1変数関数 f₄(x)＝x³x＝x⁴ は　R上連続　となる。：： (n) 1変数関数 f_n(x)＝xⁿ はR上連続 (∵前項)であって、連続関数の積も連続であるから、　　　1変数関数 f_n₊₁(x)＝xⁿx＝xⁿ⁺¹は　R上連続　となる。：：	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81) ・和達『微分積分』2-5[例3](p.35)

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多項式で定義される1変数関数 f(x)＝c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ　(nは自然数)は、R上の連続関数。

定理	任意の自然数nと、任意の実数c₀,c₁,c₂,…,c_nについて、　1変数関数 f(x)＝c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ　は、R上で連続。	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81) ・和達『微分積分』2-6(1)(p.37)
証明	・任意の自然数nについて、1変数関数 f(x)＝ xⁿ　は、R上で連続。（∵）・連続関数の定数倍も連続であるから、前項より、　　　　c₁x¹,c₂x²,…,c_nxⁿ　もR上で連続。　・連続関数の和も連続であるから、前項より、　1変数関数 f(x)＝c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ　は、R上で連続。・定数もR上で連続（∵）であって、連続関数の和は連続であるから、前項より、　1変数関数 f(x)＝c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ　は、R上で連続。	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81) ・和達『微分積分』2-6(1)(p.37)

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1変数有理関数は、分母が０となる点を除くR上で連続。

定理	任意の自然数n,mと、任意の実数c₀,c₁,c₂,…,c_n,d₀,d₁,d₂,…,d_mについて、　1変数関数 f(x)＝{c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ}/{d₀＋d₁x¹＋d₂x²＋…＋d_mx^m}　は、d₀＋d₁x¹＋d₂x²＋…＋d_mx^m＝0を満たす点xを除くR上で連続。	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81) ・和達『微分積分』2-6(1)(p.37)
証明	・多項式で定義された関数はR上で連続であるから、　　c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ　と、d₀＋d₁x¹＋d₂x²＋…＋d_mx^m　は、　それぞれ、R上で連続。・連続関数の商は、分母が0となる点を除き、連続であるから、前項より、　d₀＋d₁x¹＋d₂x²＋…＋d_mx^m＝0を満たす点xを除くR上で　　　　　　 1変数関数 f(x)＝{c₀＋c₁x¹＋c₂x²＋…＋c_nxⁿ}/{d₀＋d₁x¹＋d₂x²＋…＋d_mx^m}　　は、連続となる。	[文献] ・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81) ・和達『微分積分』2-6(1)(p.37)

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