1. !!! 閉区間[a,b]で関数f(x)が有界、閉区間[a,b]で関数t(x)が単調増加である場合に限って考える。!!!
f(x)のt(x)に関する不足和・過剰和は、f(x)のt(x)に関するリーマン・スチルチェス和との間に以下の関係が成り立つ。
任意の(どんな)「小区間の代表点{ζk}のとりかた」にたいして(でも、)
s[]≦S [ f ; t ;;{ζk}] ≦S[]
[杉浦『解析入門I』354.;]
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(2) (命題B1:上積分S=下積分s) ⇔ (命題B2) [ルディン『現代解析学』6-6. ]
(仮定1) 関数f(x)が閉区間[a,b]上で有界、
かつ、
(仮定2) 関数t(x)が閉区間[a,b]上で単調増加
ならば、
下記(命題B1:上積分S=下積分s) (命題B2)は互いに同値である。
→証明: B1⇒B2、B2⇒B1
(3) (命題A1:スチルチェス可積分) (命題A2) (命題A3) ⇒(命題B1:上積分S=下積分s) (命題B2)
[杉浦『解析入門I』355-6:例を示す; ルディン『現代解析学』項目6-14.(a); .]
(仮定1) 関数f(x)が閉区間[a,b]上で有界、
かつ、
(仮定2) 関数t(x)が閉区間[a,b]上で単調増加
のもとで、
下記(命題A1:スチルチェス可積分) (命題A2) (命題A3)が成り立つならば、
下記(命題B1: 上積分S=下積分s) (命題B2)も成り立ち、
fのtに関する[a,b]上のスチルチェス積分=fのtに関する上積分S=下積分s
となるが、
下記(命題B1: 上積分S=下積分s) (命題B2)も成り立っていたとしても、
下記(命題A1:スチルチェス可積分) (命題A2) (命題A3)が成りたつとは限らない。
→証明: A2⇒B1 、
(1)の証明:
・(命題A2) ⇔(命題A3) [杉浦『解析入門I』356;217.. .]
振幅ωk 、過剰和S[] 、不足和s[])の定義から、
が成立する故に。
すなわち、小区間Ikでのfの下限をmk、上限をMk、とすると、以下のようになる
=(M1t1+M2t2+…+Mntn)−(m1t1+m2t2+…+mntn)
=(M1t1−m1t1)+(M2t2−m2t2)+…+(Mntn−mntn)
=(M1−m1) t1+(M2−m2) t2+…+(Mn−mn) tn
=ω1 t1+ω2 t2+…+ωn tn
=右辺
・(命題A1:スチルチェス可積分) ⇒(命題A2)の証明
リーマン積分の可積分条件における「命題1⇒命題2の証明」と同じ。 [杉浦『解析入門I』356.; .]
・(命題A2)⇒ (命題A1:スチルチェス可積分)の証明 [杉浦『解析入門I』356.; .]
命題A2:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、 S[]−s[]<ε 」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
不足和・過剰和・上積分・スチルチェス和の関係式:
任意の(どんな)「小区間の代表点{ζk}のとりかた」に対して(でも)、
|S−S [ f ; t ;;{ζk}]|≦S[]−s[]
を命題A2の赤字部分の不等式に書き加えると、
命題A2a:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の「(分点の取りかたで作れる)分割」・「小区間の代表点{ζk}のとりかた」に対して、
|S−S [ f ; t ;;{ζk}]|≦S[]−s[]<ε 」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
命題A2aの赤字部分を省略してみると、
命題A2b:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の「(分点の取りかたで作れる)分割」・「小区間の代表点{ζk}のとりかた」に対して、
|S−S [ f ; t ;;{ζk}]|<ε 」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
命題A2bは、
「関数f (x)は閉区間[a,b]上で関数t(x) に関しスチルチェス積分可能」であることの定義にほかならない。
(命題A2bのSをJとしてみよ。)
(2)の証明:
命題B1⇒命題B2 [ルディン『現代解析学』6-6:;]
・命題B1「 fのtに関する上積分S= fのtに関する下積分s」を仮定し、この上積分S=下積分sをAとおく。
・任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
S[2]−A<ε/2 、 A−s[1] <ε/2 …@
を成り立たせる、ある分割1、2が存在するので、この分割を採る。
このとき、 S[2]<A+ε/2 、 A < s[1]+ε/2 だから
(「A < s[1]+ε/2」の両辺にε/2を加えて)
S[2]<A+ε/2 < s[1]+ε …A
・分割1の細分であり、なおかつ、分割2の細分でもあるような、分割凾とる。…B
すなわち、1≦、2≦。
(つまり、1の分点も2の分点も、分点として継承し、さらにそれ以外にも分点を加えたのが、凵j
細分と過剰和・不足和の関係式より、S[]≦S[2]、s[1] ≦s []。…C
・AとCをあわせると、S[]≦S[2] <A+ε/2 < s[1]+ε≦s [] +ε
両端だけに着目すると、S[]<s [] +ε
つまり、S[]−s []<ε
以上から、命題B1の仮定下で、@とAを満たすような採り方をした分割凾ネらば、
任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、0≦S[]−s[]<εを成り立たせる、
(しかし、任意の分割が、これを成り立たせる保証はない)
すなわち、命題B2が成立する、ことが示された。
命題B2⇒命題B1 [ルディン『現代解析学』6-6:;]
命題B2:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
S[]−s[]<ε を成り立たせる、ある分割が存在する
過剰和S[]・不足和s[]・下積分s・上積分Sには大小関係: 0≦S−s≦S[]−s[] が
が常に成り立っているので、
これを利用して、命題B2に下積分sと上積分Sとの関係も書き加えると、
命題B2a:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
0≦S−s≦S[]−s[]<ε を成り立たせる、ある分割が存在する
上積分Sと下積分sに注目するために、命題B2aの赤字部分を省略すると、
命題B2b:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
0≦S−s<ε を成り立たせる、ある分割が存在する
上積分Sと下積分sはそれに固有の分割'のもとで決まっているので、
上積分Sと下積分sの関係を分割の条件は拘束しない。
よって、
命題B2b':任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、 0≦S−s<ε
定理「 任意の(どんな)正数ε>0に対し(てでも)、ε>a≧0ならば、a=0」を用いると、
命題B2c: S−s=0 すなわち、 S=s
よって、命題B2⇒命題B1が示された。
(3)の証明:
・命題A2⇒命題B1の証明 [杉浦『解析入門I』356.; ルディン『現代解析学』項目6-14.(a);]
命題A2:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、0≦S[]−s[]<ε 」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
過剰和S[]・不足和s[]・下積分s・上積分Sには大小関係: 0≦S−s≦S[]−s[] が
が常に成り立っているので、
これを利用して、命題A2に下積分sと上積分Sとの関係も書き加えると、
命題A2a:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、0≦S−s≦S[]−s[]<ε」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
上積分Sと下積分sに注目するために、命題A2aの赤字部分を省略すると、
命題A2b:任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、0≦S−s<ε 」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
上積分Sと下積分sはそれ固有の分割'、||' のもとで決まっているので、
上積分Sと下積分sの関係を分割、||の条件は拘束しない。
よって、
命題A2b':任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、 0≦S−s<ε
定理「 任意の(どんな)正数ε>0に対し(てでも)、ε>a≧0ならば、a=0」を用いると、
命題A2c: S−s=0 すなわち、 S=s
よって、命題A2⇒命題B1が示された。
(4)の証明: [ルディン『現代解析学』項目6-14.(b);.]
・仮定1-3のもとで、(命題A1:スチルチェス可積分) ⇔ (命題A2) ⇔ (命題A3)となるのは、 (1)による。
・仮定1-3のもとで、(命題B1:上積分S=下積分s) ⇔ (命題B2)となるのは、 (2)による。
・仮定1-3のもとで、(命題A1) (命題A2) (命題A3) ⇒(命題B1) (命題B2)となるのは、(3)による。
・仮定1-3のもとで、(命題B1: 上積分S=下積分s)⇒(命題A1:スチルチェス可積分)を示す。
(仮定1) 関数f(x)が閉区間[a,b]上で有界、(仮定2) 関数t(x)が閉区間[a,b]上で単調増加
(仮定3) 関数t(x)が閉区間[a,b]上で連続
(仮定4=命題B1) fのtに関する上積分S= fのtに関する下積分s。ここでS= s をAとおく。
step1:任意の正数εに対して、 S[* ]<A+ε/4 を満たすように,分割* をとる。
step2:仮定1より、閉区間[a,b]上では、sup | f (x) | が存在する。
そこで、M= sup | f (x) | ( a≦x≦b ) とおく。
step3:(仮定3) 関数t(x)が閉区間[a,b]上で連続 は、
定理より、関数t(x)が閉区間[a,b]上で一様連続であることを意味する。
すなわち、任意の正数ηに対して、
| x−x0| < δ (∀ x,x0∈[a,b] ) ⇒ | t(x)−t(x0)|<η
を成り立たせる、ある正数δが存在する。…@
step4:任意の正数ε、M,nから決めたε/4Mnは正値であるので、@のηのとりうる値の一つと考えてよい。
よって、任意の正数εからA式で決めたη' に対して、
| x−x0| < δ' (∀ x,x0∈I ) ⇒ |t (x)−t (x0)|<ε/4Mn
を成り立たせる、ある正数δ' が存在する。…A
step5:
0<||<δ’ならば、任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、
分割によって生じたすべての小閉区間Ik( k=1,2, …,n ) において、
t(x)のIk両端値の差tk =t(xk)−t(xk−1) について、
tk<ε/4Mn ( k=1,2, …,n )
が成り立つ。
なぜなら、0<||<δ’としたによって生じた小区間Ik ( k=1,2, …,n )の幅は、どれも、δ’より小さい、
ゆえに、Aより、各小区間Ik ( k=1,2, …,n )におけるtの値の差は、大きくてもせいぜいε/4Mn にとどまる。
(この先、ぼくには、理解できない。)
(5)の証明: [高木『解析概論』p.132 ;ルディン『現代解析学』項目6-8;6-14.; 杉浦『解析入門I』定理17.8(p.356.);]
・仮定1-3のもとで、(命題A1:スチルチェス可積分) ⇔ (命題A2) ⇔ (命題A3)となるのは、 (1)による。
・仮定1-3のもとで、(命題B1:上積分S=下積分s) ⇔ (命題B2)となるのは、 (2)による。
・仮定1-3のもとで、(命題A1) (命題A2) (命題A3) ⇒(命題B1) (命題B2)となるのは、(3)による。
・(仮定1) (仮定2) (仮定3) ⇒命題A3 を示す。
[前半]
step1: (仮定3) 関数f(x)が閉区間[a,b]上で連続
は、定理より、関数f(x)が閉区間[a,b]上で一様連続であることを意味する。
すなわち、任意の正数ηに対して、
| x−x0| < δ (∀ x,x0∈[a,b] ) ⇒ | f(x)−f(x0)|<η
を成り立たせる、ある正数δが存在する。…@
step2: 任意の正数εに対して、η' を以下のように決める。
η' < ε/{ t (b) − t (a) } …A
なお、(仮定2) 関数t(x)が閉区間[a,b]上で単調増加より、
t (b) − t (a)>0 。
そして、εも正数だから、
η'は正数。 …B
step3: 任意の正数εからA式で決めたη'はBより、@のηのとりうる値の一つと考えてよい。
よって、任意の正数εからA式で決めたη' に対して、
| x−x0| < δ' (∀ x,x0∈I ) ⇒ | f(x)−f(x0)|<η'
を成り立たせる、ある正数δ' が存在する。…C
[後半] 命題A3 :任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ ならば、
任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、
」
を成り立たせる、ある正の実数δが存在する
を示すには、これを満たすδの一つをあげればよいわけだが、
これを満たすδの一つが、Cで存在することが確認されたδ’ である。
以下、Cで存在することが確認されたδ’が、任意の(どんな)正の実数εに対して(でも)、
「 0<||<δ’ならば、任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、
」
を成り立たせる、ことを示す。
Step1: 0<||<δ’ならば、任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、
分割によって生じたn個の小閉区間Ik( k=1,2, …,n ) におけるfの上限Mk・下限mk( k=1,2, …,n )の間に、
Mk − mk ≦ η' ( k=1,2, …,n ) …D
が成り立つ。
なぜなら、0<||<δ’としたによって生じた小区間Ik ( k=1,2, …,n )の幅は、どれも、δ'より小さい、
ゆえに、Cより、各小区間Ik ( k=1,2, …,n )におけるfの値の差は、大きくてもせいぜいη' にとどまる。
Step2:各小閉区間 Ikの振幅ωk= Mk− mk ( k=1,2, …,n )を用いて、Dを書きかえると、
0<||<δ’ならば、任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、
分割によって生じたn個の小閉区間Ik( k=1,2, …,n ) におけるfの振幅ωk ( k=1,2, …,n )について、
ωk≦ η' ( k=1,2, …,n ) …E
が成り立つ
となる。
Step3: 0<||<δ’ならば、任意の(分点の取りかたで作れる)分割に対して、
(∵E)
= η'{ t (b)−t (a) } (∵ 仮定2:関数t(x)が閉区間[a,b]上で単調増加)
<ε (∵A)
が成り立つ。
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