・定義: 一次写像・線形写像/像Image/核Kernel/階数rank/退化次数nullity一次変換・線形変換・一次作用素・線形作用素/零写像 ・定理:零写像は一次写像 |
※ 関連ページ・一次写像:ベクトル演算の一次写像/一次写像の代数系/一次写像と一次独立/一次写像―全射・単射/階数 同型写像/同型写像と線形独立/一次変換の固有値と固有ベクトル ・一次写像と行列の関係:一次写像の行列表示/基底の変換と一次写像と行列 ※線形代数目次・総目次・文献一覧 |
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定義:一次写像・線形写像linear mapping |
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実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への写像f:V→V' が、 次の二要件を満たすことをいう。 要件1: 写像f:V→V' がベクトル和を保存すること。 つまり、Vの任意のベクトルの(Vで定義された)和の「写像fがV'に写した像」と、 それらのベクトルの「写像fがV'に写した像」どおしの(V'で定義された)和とが、 一致すること。 (∀u,v∈V) ( f ( u+v )=f ( u )+f ( v ) ) 要件2: 写像f:V→V' がスカラー倍を保存すること。 つまり、 「Vの任意のベクトル」の任意の実数(Rの元)による(Vで定義された)スカラー倍を、 「写像fによってV'に写した像」と、 そのベクトルの「写像fがV'に写した像」の 任意の実数(Rの元)による(V'で定義された)スカラー倍とが、 一致すること。 (∀v∈V) (∀a∈R) ( f (a v )=a f ( v ) ) ※これを、一次変換・線形変換とよぶこともある。[ホフマン『線形代数学I』3.1一次変換(pp.69-76);] |
・『岩波数学辞典』210線形空間:B線形写像(p.570); ・砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.19); ・志賀『線形代数30講』16講(p.100); ・ホフマン『線形代数学I』3.1一次変換(pp.69-76); ・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1(p.163); ・藤原『線形代数』4.1(p.93);] ・松坂『解析入門4』15.1-D (p.7) ※ 一次写像の諸属性:Image,核Kernel,階数rank,退化次数nullity※具体例:一次変換/射影 ※ 実ベクトル空間から実ベクトル空間への線形写像は、実行列によって表される。(→一次写像の行列表示) だから、線形写像の分類・操作などが論じられる際には、 それに対応する実行列の分類・操作に思いをめぐらせるのが、 肝要。
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) +:実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法 +:実ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法 および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法 |
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→ [トピック一覧:一次写像‐定義]→線形代数目次・総目次 |
定義:一次写像の像 Image |
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) f:V→V':実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像 |
・砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157); ・『岩波数学辞典』項目210-F(p.571); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.6 (p.36); ・志賀『線形代数30講』21講(p.133); ・佐武『線形代数学』V§4(p.103) ※
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{ f (v ) | v∈V } のこと。 つまり、Vに属すあらゆるベクトルのfによる像をあつめた集合を、fの像と呼ぶ。 |
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定義域V全体のfによる像が、終集合V'と必ずしも一致しなくてもよいものとして 定義されていた。(両者が一致する写像は、特に、全射と呼ばれる) 一次写像f:V→V'の定義は、 写像f:V→V' の概念に、ベクトル和保存・スカラー倍保存の演算則を付け加えただけのものだから、 一次写像f:V→V'の定義も、定義域V全体のfによる像が、終集合V'と一致することを要求していない。 つまり、一次写像f:V→V'には、定義域V全体のfによる像と終集合V'とが一致しないものが多く含まれている。 すると、終集合V'とは別に、定義域V全体のfによる像を検討すべき機会が多々でてくる。 そこで「定義域V全体のfによる像」の略称・記号として、「fの像」「Im f 」が用意されることになる。 |
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Image f は、V'の部分ベクトル空間となる。 ※なぜ?→証明 ※dim(Image f) を階数と呼ぶ。→詳細 |
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図解 |
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→ [トピック一覧:一次写像‐定義]→線形代数目次・総目次 |
定義:一次写像の核・核空間 Kernel |
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) f:V→V':実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像 |
・砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157); ・ホフマン『線形代数学I』3.1一次変換(p.73); ・『岩波数学辞典』項目210-F(pp.571-2); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.6 (pp.35-6); ・志賀『線形代数30講』21講(p.133); ・佐武『線形代数学』V§4(p.103) ※
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つまり、V'上の零ベクトルのfによる逆像 f−1 (0)={ v∈V | f (v )=0 } のこと。 |
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Ker f は、Vの部分ベクトル空間である。 ※なぜ?→証明 ※dim(Ker f) を退化次数と呼ぶ。→詳細 ※活用例:一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件、 |
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図解 |
だから、どんな一次写像f:V→V'にたいしても、Ker fには必ず、V上の零ベクトルが属す。 もし、一次写像fが、それ以外のV上のベクトルを、V'上の零ベクトルに写すなら、 それらのV上のベクトルもすべて、Ker fに属すことになる。 |
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→ [トピック一覧:一次写像‐定義]→線形代数目次・総目次 |
定義:一次写像の階数 rank |
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) f:V→V':実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像 |
・『岩波数学辞典』項目210-F(p.572); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.6 (p.37); ・ホフマン『線形代数学I』3.1一次変換(p.73); ・斎藤『線形代数入門』4章§5(p.116); ・佐武『線形代数学』V§4(p.105); ・砂田『行列と行列式』§5.5-d定義5.80(p.194). ※
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すなわち、rank f = dim(Image f) と定義される。 |
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これは、 Ker f が「Vの部分ベクトル空間」であること(∵)と、 「Vの部分ベクトル空間」の次元は、Vの次元より大きくならないということによる。 ※一次写像の階数の性質、行列の階数 |
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定義:一次写像の退化次数 nullity |
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V:実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) V' :実ベクトル空間 (実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) f:V→V':実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像 |
・岩波数学辞典』項目210-F(p.572); ・藤原『線形代数』4.2(p.99); ・志賀『線形代数30講』21講(p.133); ・佐武『線形代数学』V§4(p.105:脚注) ※
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fの核[Ker f ]の次元、すなわち、dim ( Ker f ) のこと。 |
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これは、 Ker f が「Vの部分ベクトル空間」であること(∵)と、 「Vの部分ベクトル空間」の次元は、Vの次元より大きくならないということによる。 |
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→ [トピック一覧:一次写像‐定義]→線形代数目次・総目次 |
定義:一次変換・線形変換 linear transformation 一次作用素・線形作用素 |
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実ベクトル空間VからV自身への一次写像f:V→V のことをいう。 |
・『岩波数学辞典』210線形空間:B線形写像(p.570); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.20); ・ホフマン『線形代数学I』3.2一次変換の代数系(p.78); ・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.3(p.189); ※ 関連事項:一次変換の行列表示/一次変換の固有値と固有ベクトル
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V :実ベクトル空間(実数体R上の線形空間・ベクトル空間」) +:実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法 |
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定義:零写像 |
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Vの任意のベクトルの「写像fがV'に写した像」がすべて、V'の零ベクトルとなることをいう。 (∀x∈V) (∀a∈R) ( f (x )=〇 ) |
・砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157); ・松坂『解析入門4』15.1-D (p.7) ※
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V :実ベクトル空間(実数体R上の線形空間・ベクトル空間」)。 V' :実ベクトル空間(実数体R上の線形空間・ベクトル空間」)。 +:ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法 +:ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法 および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法 |
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定理:零写像は一次写像 |
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・砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157); ・松坂『解析入門4』15.1-D (p.7) ※
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V :実ベクトル空間(実数体R上の線形空間・ベクトル空間」)。 V' :実ベクトル空間(実数体R上の線形空間・ベクトル空間」)。 +:実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法 +:ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法 および、ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法 |
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(reference)
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