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証明：一次写像f：V→V'にたいして、Image f は、V'の部分ベクトル空間。

(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　　
(命題)　　
一次写像f：V→V'にたいして、Image f は、V'の部分ベクトル空間となる。
(証明)　[志賀『線形代数30講』21講(p.133)]　　　
Image f がV'の部分ベクトル空間であることを示すには、
次の三点を示せば十分。∵部分ベクトル空間になるための必要十分条件　
　1. Image fは、V'の空でない部分集合。
　2. 任意のベクトル v'₁, v'₂ ∈Image fに対して、v'₁ +v'₂ ∈Image f　
　　　[Image fは「V'に定められているベクトルの加法」について閉じている]
　3. 任意のベクトルv'∈Image fとスカラーc∈Kに対して、cv'∈Image f　
　　　[Image fは「V'に定められているスカラー乗法」について閉じている]　
step1:　Image fは、V'の空でない部分集合　　
　・実ベクトル空間の定義―条件I-2-2により、
　　あらゆる実ベクトル空間は、零ベクトルを備えたものとして定義されている。
　　したがって、V にもV'にも、零ベクトルは備わっている。…(1-1)　
　・一次写像f：V→V'は、f ( 〇 ) =〇　を満たす。（∵）…(1-2)　
　・(1-1) (1-2)より、fは、〇∈Vを〇∈V'　に写すことがわかる。
　　したがって、〇∈Image f　
　　Image fには、少なくとも、〇∈V'が含まれているから、V'の空でない部分集合である。　　
step2:　Image fは「V'に定められているベクトルの加法」について閉じている　　
・任意のベクトル v'₁, v'₂ ∈Image f 　
　にたいして、Image f の定義より、　
　　　f ( v₁ ) = v'₁　を満たす v₁∈V　　
　　　f ( v₂ ) = v'₂　を満たす v₂∈V　　
　が存在する。…(2-1)　
　(注意)　f が単射（一対一対応）ではない場合、
　　　　　v'₁, v'₂にたいして、v₁, v₂は一意的にきまるとは限らない。
　　　　　しかし、v'₁, v'₂にたいして、v₁, v₂が複数存在したとしても
　　　　　　下記の主張に何ら問題は生じない。　　　　
・任意のベクトル v'₁, v'₂ ∈Image f にたいして、
　v'₁ +v'₂　　
　=f ( v₁ ) + f ( v₂ ) 　　∵(2-1)　
　=f ( v₁ +v₂ )　∵一次写像fの定義―要件1：ベクトル和の保存　　　　
がなりたつ。　…(2-2)　　
・(2-1)で定めたv₁,v₂ ∈V　にたいして、 v₁ +v₂ ∈V　…(2-3)　
　　　∵ Vは実ベクトル空間だから、実ベクトル空間の定義−条件I-1によって。　
・(2-2)が意味しているのは、
　「任意のv'₁, v'₂ ∈Image f に対して、
　　　v'₁ +v'₂は、一次写像fがv₁ +v₂∈V[∵(2-3) ]をV'に写した像である」
　ということ。
　一次写像f：V→V'のImage f は、{ f ( v ) | v∈V }と定義されるので、　
　v'₁ +v'₂∈Image f　である。　　　　　　　
step3:　Image fは「V'に定められているスカラー乗法」について閉じている　　
・任意のベクトル v'∈Image f にたいして、Image f の定義より、　
　　　f ( v ) = v'　を満たす v∈V　　
　が存在する。…(3-1)　　
　(注意)　f が単射（一対一対応）ではない場合、
　　　　　v'₁, v'₂にたいして、v₁, v₂は一意的にきまるとは限らない。
　　　　　しかし、v'₁, v'₂にたいして、v₁, v₂が複数存在したとしても
　　　　　　下記の主張に何ら問題は生じない。　　　　
・任意のベクトル v'∈Image f と、任意のスカラーc∈Rにたいして　
　cv'　　
　=c f ( v )　　∵(3-1)　
　=f ( cv )　∵一次写像fの定義―要件2：スカラー倍の保存　　　　
がなりたつ。　…(3-2)　　
・(3-1)で定めたv∈Vと、任意のスカラーc∈Rにたいして、 cv∈V　…(3-3)　
　　　∵ Vは実ベクトル空間だから、実ベクトル空間の定義−条件�U-1によって。　
・(3-2)が意味しているのは、
　「任意のv'∈Image f と、任意のc∈Rに対して、
　　　cv'は、一次写像fがcv∈V　[∵(3-3) ]をV'に写した像である」
　ということ。
　一次写像f：V→V'のImage f の定義により、
　　一次写像fが、Vの元をV'に写した像は、すべて、Image f の元と呼んでよいので、　
　cv∈Image f　である。　　　　　　　

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