定義：有界数列の上極限 limes superior, limit superior,superior limit
→関数の上極限・下極限、上極限集合・下極限集合
・有界数列{an}の上極限
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lim sup
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an ないし
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lim
| an |
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n→∞
| n→∞
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とは、
のこと。
【噛み砕いた説明】
[小平『解析入門I』§1.5.c(pp.38-40) ; 杉浦『解析演習』p.5;]
1.有界な数列{ ak }={ a1, a2 , a3, a4 ,…}から第n項以降を取り出して、
数列{ ak | k≧n}={ an , an+1, an+2,… }をつくる。
2. 数列{ ak }は有界だから、数列{ ak | k≧n}も有界で、上限(最小上界)が常に存在する。
そこで、数列{ ak | k≧n}={ an , an+1, an+2,… }の上限(最小上界)
un=sup{ ak | k≧n}=sup{ an , an+1, an+2,… } をとる。
（上限(最小上界)supという用語を使わないで同じことを述べると、
「数列{ ak | k≧n}={ an , an+1, an+2,… }の各項がUn以下となる」と言えるような
いろいろなUnのなかで最小の値を選んで、unと名づける、
となる。）
3. unの数列={ u1, u2, u3,…, un,…,}
={sup{ ak | k≧1}, sup{ ak | k≧2}, sup{ ak | k≧3},…, sup{ ak | k≧n},…｝
={sup{ a1, a2 , a3,…}, sup{ a2 , a3, a4 ,…}, sup{ a3, a4 , a5 ,…}, sup{ a4 , a5 , a6 ,…},…, sup{ an , an+1, an+2,… },…}
をつくる。
このunの数列は、単調非減少となる。
（なぜなら、un は、n=1のときは、{ ak }全体からsupをとるが、
nが大きくなるにつれて、{ ak }の狭い範囲からsupをとることになるから。）
また、このunの数列は、有界となる。
4. n→∞としたときのunの極限、
すなわち、
n→∞としたときの数列{sup{ ak | k≧1}, sup{ ak | k≧2}, sup{ ak | k≧3},…, sup{ ak | k≧n},…｝の極限
すなわち、
n→∞としたときの、数列
{sup{ a1, a2 , a3,…}, sup{ a2 , a3, a4 ,…}, sup{ a3, a4 , a5 ,…}, sup{ a4 , a5 , a6 ,…},…, sup{ an , an+1, an+2,… },…}
の極限
を、
数列{an}の上極限
と呼び、
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lim sup
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an ないし
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lim
| an |
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n→∞
| n→∞
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で表す。
※吹田・新保『理工系の微分積分学』は、数列{ ak }の集積値の最大の値を上極限と定義。
高木『解析概論』も上記の定義のあとで、「最大の集積点に他ならない」(p.14:注意)としている。
【文献】
・高木『解析概論』12-3:4例つき
・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161:1例つき;
・杉浦『解析演習』p.5;
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.46
・小平『解析入門I』§1.5.c(pp.38-40)。]
・矢野『距離空間と位相構造』定理A.1６とA.17のあいだ(p.243)
定義：有界数列の下極限 limes inferior,limit inferior,inferior limit
[高木『解析概論』13:4例つき; 吹田・新保『理工系の微分積分学』16:1例つき; 杉浦『解析演習』p.5;
高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.46; 小平『解析入門I』§1.5.c(pp.38-40)。]
→関数の上極限・下極限、上極限集合・下極限集合
・有界数列{an}の下極限
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lim inf
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an ないし
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lim
| an |
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n→∞
| n→∞
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とは、
のこと。
（噛み砕いた説明）
[小平『解析入門I』§1.5.c(pp.38-40) ; 杉浦『解析演習』p.5;]
1.有界な数列{ ak }={ a1, a2 , a3, a4 ,…}から第n項以降を取り出して、
数列{ ak | k≧n}={ an , an+1, an+2,… }をつくる。
2. 数列{ ak }は有界だから、数列{ ak | k≧n}も有界で、下限(最大下界)が常に存在する。
そこで、数列{ ak | k≧n}={ an , an+1, an+2,… }の下限(最大下界)
vn=inf{ ak | k≧n}=inf{ an , an+1, an+2,… } をとる。
（下限(最大下界)infという用語を使わないで同じことを述べると、
「数列{ ak | k≧n}={ an , an+1, an+2,… }の各項がVn以上となる」と言えるような
いろいろなVnのなかで最大の値を選んで、vnと名づける、
となる。）
3. vnの数列={ v1, v2, v3,…, vn,…,}
={inf{ ak | k≧1}, inf { ak | k≧2}, inf { ak | k≧3},…, inf { ak | k≧n},…｝
={ inf { a1, a2 , a3,…}, inf { a2 , a3, a4 ,…}, inf { a3, a4 , a5 ,…}, inf { a4 , a5 , a6 ,…},…, inf { an , an+1, an+2,… },…}
をつくる。
このvnの数列は、単調非増加となる。
（なぜなら、vn は、n=1のときは、{ ak }全体からinfをとるが、
nが大きくなるにつれて、{ ak }の狭い範囲からinfをとることになるから。）
また、このvnの数列は、有界となる。
4. n→∞としたときのvnの極限、
すなわち、
n→∞としたときの数列{inf{ ak | k≧1}, inf { ak | k≧2}, inf { ak | k≧3},…, inf { ak | k≧n},…｝の極限
すなわち、
n→∞としたときの、数列
{ inf { a1, a2 , a3,…}, inf { a2 , a3, a4 ,…}, inf { a3, a4 , a5 ,…}, inf { a4 , a5 , a6 ,…},…, inf { an , an+1, an+2,… },…}
の極限
を、
数列{an}の下極限
と呼び、
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lim inf
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an ないし
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lim
| an |
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n→∞
| n→∞
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で表す。
※吹田・新保『理工系の微分積分学』は、数列{ ak }の集積値の最小の値を下極限と定義。高木『解析概論』も上記の定義のあとで、「最小の集積点に他ならない」(p.14:注意)としている。
定理：有界数列の上極限の性質
有界数列{an}が与えられているとする。
1.任意の正の実数εにたいして、
an≧（{ ak }の上極限）＋ε
となる項anは、高々有限個しかない。
2.任意の正の実数εにたいして、
an>（{ ak }の上極限）−ε
となる項anは、無数に存在する。
【文献】
・小平『解析入門I』§1.5.c(pp.３8-40)
・高木『解析概論』13
定理：有界数列の下極限の性質
有界数列{an}が与えられているとする。
1.任意の正の実数εにたいして、
an≦（{ ak }の下極限）−ε
となる項anは、高々有限個しかない。
2.任意の正の実数εにたいして、
an<（{ ak }の下極限）＋ε
となる項anは、無数に存在する。
【文献】
・小平『解析入門I』§1.5.c(pp.３8-40)
・高木『解析概論』13
定理：有界数列の上極限と下極限の大小関係と数列の収束
有界数列{an}が与えられているとする。
1. 常に、{an}の下極限≦{an}の上極限
2. {an}の下極限＝{an}の上極限 ⇔ {an}がその上極限=下極限に収束
【文献】
・小平『解析入門I』§1.5.c(p.３９)
・高木『解析概論』13
定義：上に有界でない数列の上極限
上に有界でない数列{an}の上極限
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lim sup
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an ないし
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lim
| an |
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n→∞
| n→∞
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については、＋∞と定義する。
【文献】
・小平『解析入門I』§1.5.c(p.40)
・高木『解析概論』13
定義：下に有界でない数列の下極限
下に有界でない数列{an}の下極限
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lim inf
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an ないし
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lim
| an |
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n→∞
| n→∞
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については、
−∞と定義する。
【文献】
・小平『解析入門I』§1.5.c(p.40)
・高木『解析概論』13
定義：上に有界でないが下に有界である数列の下極限
[小平『解析入門I』§1.5.c(p.40) 高木『解析概論』13;。]
定義：下に有界でない上に有界である数列の上極限
[小平『解析入門I』§1.5.c(p.40) 高木『解析概論』13;。]
（reference）
下記も追加参照。
・黒田『微分積分学』§2.7(pp.65-9)
・志賀『解析入門30講』第3講(pp.22-25):ε近傍なし。
・青本『微分と積分1』§1.3(b)(pp.21-22)