| ・数列の上限下限と上界下界/「数列の大小関係」と「数列の上限の大小関係」 ・数列の上限下限と最大最小/有界数列における上限下限の存在 ・「数列の上限下限」と「数列間の和」の順序交換 ・「数列の上限下限」と「数列の定数倍」の順序交換 →数列関連ページ： 数列の定義/数列の極限の定義 数列の極限の性質 →総目次 |
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・数列x1, x2, x3,…の任意の上界 b に対して、 sup xn ≦ b すなわち、 (∀b∈R)((∀n∈N)(xn≦ b)⇒ sup xn≦ b) ・数列x1, x2, x3,…の任意の下界 b に対して、 b ≦ inf xn すなわち、 (∀b∈R)((∀n∈N)(b≦xn)⇒ b ≦ inf xn) ※なぜ？ →上限・下限の定義そのもの。 |
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「任意の自然数n についてxn≦yn」 な らば、sup xn ≦ sup yn cf.「数列の大小関係」と「数列の極限の大小関係」 |
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・数列x1, x2, x3,…に最大値が存在するな らば、 「数列x1, x2, x3,…の上限」は、「数列x1, x2, x3,…の最大値」。 sup xn ＝ max xn ・数列x1, x2, x3,…に最小値が存在するな らば、 「数列x1, x2, x3,…の下限」 は、「数列x1, x2, x3,…の最小値」。 inf xn ＝min xn |
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・上に有界な数列x1, x2, x3,…には、上限 sup xn が存在する。 ・下に有界な数列x1, x2, x3,…には、下限 inf xn が存在する。 ※ワイエルストラスの実数の連続性公理の、特殊例。 |
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cf.「数列の極限」と「数列の四則演算」の順序交換 1. 「数列間の和」と「数列の上限」との順序交換 sup (xn+yn) ≦ sup xn + sup yn 2. 「数列間の和」と「数列の下限」との順序交換 inf (xn+yn) ≧ inf xn + inf yn |
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cf.「数列の極限」と「数列の四則演算」の順序交換 １. 「数列の非負定数倍」と「数列の上限」との順序交換 sup (cxn) ＝ c sup xn (c ≧0) 2. 「数列の符号の逆転」と「数列の上限下限」との順序交換 sup (−xn) ＝−（inf xn ） |
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