命題論理の自然演繹における諸定理 【16】拡大律・付加律　law of addition の証明　(1)

　「A,Bに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、A ⇒ (A∨B)　」は、
　　命題論理における自然演繹の定理。　　　→【証明:1】
　「A,Bに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、B ⇒ (A∨B)　」は、
　　命題論理における自然演繹の定理。　　　→【証明:2】

【証明1】A ⇒ (A∨B)

　・推論規則「∨導入則」にしたがって、
　　　　「A」を「A∨B」へ
　　　　書き換える。
　・推論規則「∨導入則」により、
　　　書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
　　　 書き換え後の「A∨B」は、それぞれ、仮定1「A」 のもとにある。
　・これで、推論規則「∨導入則」による書き換えによって、
　　仮定1「A」から、
　　　「仮定1『A』のもとで『A∨B』」
　　が導出されたことになる。

[step3]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

・推論規則「⇒導入則」にしたがって、「仮定1『A』のもとで『A∨B』」を「A⇒(A∨B)」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
　　　「A⇒(A∨B)」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
　　　書き換え前の仮定「A」から、仮定「A」を差し引いた分だけとなるから、　　　
　　　「A⇒(A∨B)」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなって しまい、
　　　　仮定なしの「A⇒(A∨B)」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
　　「仮定1『A』のもとで『A∨B』」から、
　　仮定なしの「A⇒(A∨B)」が導出されたことになる。

【証明2】B ⇒ (A∨B)

[step2]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

　・推論規則「∨導入則」にしたがって、
　　　　「B」を「A∨B」へ
　　　　書き換える。
　・推論規則「∨導入則」により、
　　　書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
　　　 書き換え後の「A∨B」は、それぞれ、仮定1「B」 のもとにある。
　・これで、推論規則「∨導入則」による書き換えによって、
　　仮定1「B」から、
　　　「仮定1『B』のもとで『A∨B』」
　　が導出されたことになる。

[step3]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

・推論規則「⇒導入則」にしたがって、「仮定1『B』のもとで『A∨B』」を「B⇒(A∨B)」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
　　　「B⇒(A∨B)」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
　　　書き換え前の仮定「B」から、仮定「B」を差し引いた分だけとなるから、　　　
　　　「B⇒(A∨B)」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなって しまい、
　　　　仮定なしの「B⇒(A∨B)」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
　　「仮定1『B』のもとで『A∨B』」から、
　　仮定なしの「B⇒(A∨B)」が導出されたことになる。